預(yù)報(bào)模型及建模序列長(zhǎng)度對(duì)鐘差短期預(yù)報(bào)精度影響研究*

郭忠臣，孫 朋，李致春，白洪偉

(宿州學(xué)院環(huán)境與測(cè)繪工程學(xué)院，安徽 宿州 234000)

衛(wèi)星鐘差(Satellite Clock Bias, SCB)是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)實(shí)現(xiàn)高精度定位、導(dǎo)航和授時(shí)的重要參數(shù)之一，但國(guó)際GNSS服務(wù)(International GNSS Service, IGS)發(fā)布的精密鐘差產(chǎn)品會(huì)有一定程度的延遲[1-2]，為實(shí)現(xiàn)用戶實(shí)時(shí)、高精度的使用要求，對(duì)衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)進(jìn)行研究就成為當(dāng)前的重要任務(wù)之一。

用于衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的模型主要有二次多項(xiàng)式模型[3]、灰色模型[4-5]、自回歸滑動(dòng)平均(Autoregressive Moving Average, ARMA)模型[6]、卡爾曼(Kalman)濾波[7]和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8-9]等，不同模型在預(yù)報(bào)時(shí)均有各自的優(yōu)勢(shì)和局限性[8]。由于全球定位系統(tǒng)星載原子鐘的類型不完全相同，其特性及穩(wěn)定性也有所不同，故其適用的預(yù)報(bào)模型也不一定相同[10]。不少學(xué)者對(duì)鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，主要是驗(yàn)證模型的預(yù)報(bào)精度，并沒(méi)有對(duì)不同類型原子鐘更適合哪種模型進(jìn)行分析。另外，在研究預(yù)報(bào)模型的過(guò)程中，多是選取固定長(zhǎng)度的原始鐘差序列進(jìn)行預(yù)報(bào)，鮮有考慮采用不同長(zhǎng)度的原始鐘差序列建模對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響，且多數(shù)實(shí)驗(yàn)選擇變化趨勢(shì)較為穩(wěn)定的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，也沒(méi)有對(duì)鐘差具有一定波動(dòng)情況下不同模型的預(yù)報(bào)精度進(jìn)行分析。

本文選取灰色模型、灰色 + 自回歸模型和二次多項(xiàng)式模型對(duì)全球定位系統(tǒng)衛(wèi)星鐘差的短期預(yù)報(bào)進(jìn)行研究，首先，分析采取不同預(yù)報(bào)模型時(shí)，不同類型原子鐘的預(yù)報(bào)精度；其次，對(duì)不同類型原子鐘預(yù)報(bào)時(shí)，選取不同長(zhǎng)度的鐘差序列進(jìn)行建模，研究不同衛(wèi)星在不同模型下的最佳建模長(zhǎng)度；最后，選取鐘差序列波動(dòng)的時(shí)間段進(jìn)行預(yù)報(bào)，分析鐘差序列波動(dòng)大小對(duì)不同模型預(yù)報(bào)精度的影響。

1 預(yù)報(bào)模型

1.1 二次多項(xiàng)式模型

Xi=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+ε，

(1)

其中，i=1,2,…,n；t0為參考時(shí)刻；ti為歷元時(shí)刻；a0，a1和a2分別為t0時(shí)刻的鐘差、鐘速和鐘漂；ε為誤差。當(dāng)原始鐘差序列長(zhǎng)度n大于3時(shí)，即可根據(jù)最小二乘原理解算參數(shù)。

1.2 灰色模型

對(duì)X(1)建立微分方程((3)式)，即可根據(jù)最小二乘原理求得參數(shù)。

(2)

其中，a為模型的發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。

依據(jù)(2)式的響應(yīng)函數(shù)，可得X(1)的預(yù)報(bào)模型為

(3)

其中，k為參與建模的原始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，對(duì)預(yù)報(bào)的x(1)(k)序列依次執(zhí)行累減即可得到原始序列的預(yù)測(cè)結(jié)果。

1.3 自回歸模型

Xn=α1Xn-1+α2Xn-2+…+αpXn-p+εn，

(4)

其中，αi為模型系數(shù)；p為模型階數(shù)；εn為白噪聲。

自回歸模型階數(shù)通常由赤池信息準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion, AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterion, BIC)確定，之后根據(jù)最小二乘法解算模型系數(shù)。本文采用貝葉斯信息準(zhǔn)則確定模型最佳階數(shù)，貝葉斯信息準(zhǔn)則定義如下[12]：

BIC(p)=plnn-2lnL，

(5)

其中，p為模型階數(shù)；n為樣本量；L為似然函數(shù)。

2 實(shí)驗(yàn)分析

為分析不同因素對(duì)鐘差預(yù)報(bào)精度的影響，本文選取IGS發(fā)布的2016年10月01日至10月31日共31天的精密鐘差產(chǎn)品作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采樣間隔為5 min。考慮到全球定位系統(tǒng)星載原子鐘有不同類型[12]，主要選取具有代表性的PRN02(IIR RB)，PRN06(IIF RB)，PRN08(IIF CS)和PRN29(IIR-M RB)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，采用二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和灰色 + 自回歸模型3種預(yù)報(bào)算法分別進(jìn)行預(yù)報(bào)，以研究原子鐘類型、原始鐘差序列長(zhǎng)度及其波動(dòng)情況對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響，采用最大值(MAX)、最小值(MIN)、平均值(MEAN)和均方根誤差(RMS)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的精度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

2.1 不同類型原子鐘預(yù)報(bào)精度分析

全球定位系統(tǒng)星載原子鐘種類不同，為分析不同類型原子鐘的預(yù)報(bào)精度，分別以前一天的鐘差(24 h，288個(gè)歷元)作為原始鐘差序列建模，預(yù)報(bào)接下來(lái)時(shí)長(zhǎng)為6 h，12 h和24 h的鐘差，如采用10月01日24 h的鐘差數(shù)據(jù)建模對(duì)10月02日前6 h，12 h和24 h的鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，重復(fù)預(yù)報(bào)30次，并對(duì)30次預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。由于搭載銫鐘的衛(wèi)星較少，除上述4顆衛(wèi)星外，增加PRN24(IIF CS)一同進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。由于篇幅問(wèn)題，文中只給出了5顆衛(wèi)星24 h的鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果，見(jiàn)圖1至圖5，表1給出了5顆衛(wèi)星不同情況下的預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)。

表1 3種模型預(yù)報(bào)不同時(shí)長(zhǎng)的精度統(tǒng)計(jì)(單位：ns)Table 1 Accuracy statistics of three models with different prediction time length (unit: ns)

圖1 PRN02 24 h預(yù)報(bào)誤差Fig.1 24 h prediction errors of PRN02

圖2 PRN06 24 h預(yù)報(bào)誤差Fig.2 24 h prediction errors of PRN06

圖3 PRN08 24 h預(yù)報(bào)誤差Fig.3 24 h prediction errors of PRN08

圖4 PRN24 24 h預(yù)報(bào)誤差Fig.4 24 h prediction errors of PRN24

圖5 PRN29 24 h預(yù)報(bào)誤差Fig.5 24 h prediction errors of PRN29

通過(guò)分析可知：

(1)從3種算法預(yù)報(bào)誤差的波動(dòng)情況看，銣鐘(PRN02, PRN06, PRN29)誤差波動(dòng)幅度均在3 ns以內(nèi)，部分情況的波動(dòng)誤差在1 ns，3種算法的預(yù)報(bào)誤差波動(dòng)幅度類似，主要由于銣鐘較為穩(wěn)定；銫鐘(PRN08, PRN24)的預(yù)報(bào)誤差波動(dòng)幅度受算法影響較大，二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)誤差波動(dòng)明顯較大，可達(dá)12 ns，灰色模型和灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)誤差波動(dòng)幅度可控制在3 ns。另外對(duì)3種算法預(yù)報(bào)結(jié)果的平均值和均方根誤差對(duì)比，也說(shuō)明灰色模型和灰色 + 自回歸模型對(duì)于銫鐘的預(yù)報(bào)相對(duì)二次多項(xiàng)式模型更穩(wěn)定。

(2)銫鐘雖然穩(wěn)定性低于銣鐘，但從預(yù)報(bào)結(jié)果的平均值和均方根誤差可知，銫鐘采用灰色模型和灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)精度可與銣鐘相當(dāng)甚至部分情況下優(yōu)于銣鐘，這也從側(cè)面說(shuō)明了灰色模型的抗干擾能力較強(qiáng)，而二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)銫鐘的誤差較大，說(shuō)明二次多項(xiàng)式模型更適合對(duì)變化趨勢(shì)較為穩(wěn)定的鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)。

(3)對(duì)比不同衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果，總體來(lái)說(shuō)，當(dāng)原始序列長(zhǎng)度為24 h時(shí)，采用灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)效果最好，這是因?yàn)榻M合模型從一定程度上繼承了單一灰色模型的優(yōu)點(diǎn)且降低了灰色模型的預(yù)報(bào)風(fēng)險(xiǎn)，而自回歸模型對(duì)灰色模型的擬合殘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，也起到對(duì)灰色模型修正的作用，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。

2.2 原始鐘差序列長(zhǎng)度對(duì)建模預(yù)報(bào)結(jié)果的影響

不同模型在預(yù)報(bào)時(shí)，模型參數(shù)主要依據(jù)最小二乘原理解算，因此，建模序列的長(zhǎng)度對(duì)模型參數(shù)的計(jì)算會(huì)產(chǎn)生一定的影響，不同的模型參數(shù)也會(huì)導(dǎo)致模型的預(yù)報(bào)結(jié)果有所差別。為分析建模序列長(zhǎng)度對(duì)鐘差預(yù)報(bào)精度的影響，分別以前一天2～24 h的鐘差序列構(gòu)建二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和灰色 + 自回歸模型對(duì)PRN02，PRN06，PRN08和PRN29 4顆衛(wèi)星接下來(lái)24 h的鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，重復(fù)預(yù)報(bào)30次，并以平均值和均方根誤差作為精度評(píng)價(jià)指標(biāo)。各衛(wèi)星采用不同長(zhǎng)度鐘差序列預(yù)報(bào)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)見(jiàn)圖6～圖9。

圖6 PRN02不同長(zhǎng)度鐘差序列建模預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)Fig.6 Prediction accuracy statistics of different length modeling series of PRN02

圖7 PRN06不同長(zhǎng)度鐘差序列建模預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)Fig.7 Prediction accuracy statistics of different length modeling series of PRN06

圖8 PRN08不同長(zhǎng)度鐘差序列建模預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)Fig.8 Prediction accuracy statistics of different length modeling series of PRN08

圖9 PRN29不同長(zhǎng)度鐘差序列建模預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)Fig.9 Prediction accuracy statistics of different length modeling series of PRN29

對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析可知：

(1)不同模型的預(yù)報(bào)精度與原始建模序列有一定關(guān)系，其中二次多項(xiàng)式模型受影響最大，當(dāng)建模序列較短時(shí)，預(yù)報(bào)誤差較大，隨著建模序列增長(zhǎng)，預(yù)報(bào)誤差逐漸變??；灰色模型和灰色 + 自回歸模型受建模序列長(zhǎng)度的影響相對(duì)較小，模型抗干擾能力強(qiáng)，預(yù)報(bào)結(jié)果較為穩(wěn)定，這也說(shuō)明灰色模型在數(shù)據(jù)量較少的情況下建模效果比較好，但灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)效果優(yōu)于灰色模型。以PRN02為例，當(dāng)建模序列長(zhǎng)度為2 h時(shí)，二次多項(xiàng)式模型和灰色 + 自回歸模型預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)的平均值和均方根誤差分別是7.235 ns，0.775 ns和8.743 ns，0.974 ns，當(dāng)建模序列長(zhǎng)度為24 h時(shí)，二次多項(xiàng)式模型和灰色 + 自回歸模型預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)的平均值和均方根誤差分別是1.821 ns，1.093 ns和1.823 ns，1.160 ns，與2 h的建模序列預(yù)報(bào)結(jié)果相比，二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)精度提高了79.15%，灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)精度降低了19.10%。另外，對(duì)于2 h和24 h的鐘差序列建模預(yù)報(bào)結(jié)果，灰色 + 自回歸模型的精度較二次多項(xiàng)式模型分別提高了88.86%和36.37%，說(shuō)明二次多項(xiàng)式模型適合原始數(shù)據(jù)量較多時(shí)的建模預(yù)報(bào)，而灰色 + 自回歸模型受原始建模序列長(zhǎng)度的影響較小，預(yù)報(bào)效果較為穩(wěn)定。

(2)不同衛(wèi)星預(yù)報(bào)24 h的最佳建模序列長(zhǎng)度因使用模型的不同而不同。對(duì)二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)結(jié)果分析可知，PRN02在序列長(zhǎng)度為4 h時(shí)的預(yù)報(bào)效果最佳，而PRN06，PRN08和PRN29的最佳序列長(zhǎng)度分別為6 h，24 h和22 h；對(duì)于灰色模型，PRN02，PRN06，PRN08和PRN29的最佳序列長(zhǎng)度分別為4 h，2 h，15 h和24 h；對(duì)于灰色+自回歸模型，PRN02，PRN06，PRN08和PRN29的最佳序列長(zhǎng)度分別為2 h，2 h，15 h和24 h。

(3)銣鐘受建模序列長(zhǎng)度的影響總體上小于銫鐘，當(dāng)原始鐘差序列長(zhǎng)度增加到一定程度時(shí)，銣鐘和銫鐘的鐘差預(yù)報(bào)精度會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定。

2.3 原始鐘差序列波動(dòng)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響

通過(guò)衛(wèi)星鐘差的趨勢(shì)變化情況可知，衛(wèi)星鐘差具有緩慢下降或者上升的趨勢(shì)，但部分衛(wèi)星的鐘差也會(huì)在一些時(shí)段內(nèi)波動(dòng)較大。對(duì)2016年10月24日的鐘差數(shù)據(jù)波動(dòng)情況分析可知，PRN12(IIR-M RB)和PRN21(IIR RB)的鐘差序列存在波動(dòng)情況，且PRN12的波動(dòng)幅度明顯大于PRN21，兩顆衛(wèi)星的鐘差序列見(jiàn)圖10，為研究原始鐘差序列波動(dòng)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，將其與鐘差序列平穩(wěn)變化時(shí)間段的預(yù)報(bào)情況進(jìn)行對(duì)比。通過(guò)對(duì)2016年10月24日附近時(shí)間段內(nèi)IGS發(fā)布的PRN12和PRN21的鐘差產(chǎn)品比較，發(fā)現(xiàn)2016年6月27日的鐘差序列波動(dòng)較為平穩(wěn)(見(jiàn)圖11)，分別采用二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和灰色 + 自回歸模型對(duì)10月24日和6月27日后一天的PRN12和PRN21的鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，為便于對(duì)比，預(yù)報(bào)均以24 h的鐘差序列建模，圖12和圖13給出了兩種情況在不同模型下的預(yù)報(bào)誤差，PRN121和PRN211表示鐘差序列具有一定波動(dòng)，PRN122和PRN212表示鐘差序列變化趨勢(shì)較為平穩(wěn)，圖中從上到下分別為二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)誤差，表2給出了兩種情況的預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)。

圖10 PRN12和PRN21鐘差序列(2016年10月24日)Fig.10 Satellite clock bias of PRN12 and PRN21 (October 24, 2016)

圖11 PRN12和PRN21鐘差序列(2016年6月27日)Fig.11 Satellite clock bias of PRN12 and PRN21 (June 27, 2016)

圖12 PRN12預(yù)報(bào)誤差對(duì)比Fig.12 Prediction errors comparison of PRN12

圖13 PRN21預(yù)報(bào)誤差對(duì)比Fig.13 Prediction errors comparison of PRN21

對(duì)圖12～圖13和表2分析可知：

表2 鐘差波動(dòng)時(shí)預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)(單位： ns)Table 2 Statistics of prediction results when clock bias fluctuates (unit: ns)

(1)原始鐘差序列波動(dòng)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果有一定影響，對(duì)比不同模型的預(yù)報(bào)結(jié)果可以看出，當(dāng)鐘差序列變化趨勢(shì)平穩(wěn)時(shí)，預(yù)報(bào)誤差總體上變化較為平緩，且變化幅度小，預(yù)報(bào)精度高。PRN121和PRN122采用二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和灰色 + 自回歸模型預(yù)報(bào)誤差的均方根誤差PRN121分別提高了18.6%，32.0%和9.6%；PRN211和PRN212采用二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和灰色 + 自回歸模型預(yù)報(bào)誤差的均方根誤差分別為2.191 ns，2.572 ns，2.572 ns和1.675 ns，1.261 ns，1.240 ns，PRN212的預(yù)報(bào)精度較PRN211分別提高了23.6%，51.0%和51.8%。

(2)不同模型的預(yù)報(bào)結(jié)果與鐘差序列的波動(dòng)幅度大小有關(guān)。當(dāng)鐘差序列波動(dòng)較大時(shí)，灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)效果較好，PRN121采用灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)精度較二次多項(xiàng)式模型和灰色模型分別高了36.2%和34.9%，當(dāng)鐘差序列波動(dòng)幅度不大時(shí)，二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)效果較好，PRN211采用二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)精度較灰色模型和灰色 + 自回歸模型分別高了14.8%和14.8%。

3 結(jié) 論

本文選取3種預(yù)報(bào)模型從不同角度對(duì)全球定位系統(tǒng)星載原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明：

(1)從不同類型原子鐘的預(yù)報(bào)結(jié)果可知，銣鐘短期預(yù)報(bào)的穩(wěn)定性總體上優(yōu)于銫鐘，但根據(jù)預(yù)報(bào)模型不同，銫鐘的預(yù)報(bào)精度也可與銣鐘相當(dāng)?；疑Ｐ秃突疑?+ 自回歸模型對(duì)于銣鐘和銫鐘的預(yù)報(bào)結(jié)果均比較穩(wěn)定，誤差變化幅度不大，且預(yù)報(bào)精度相差不多，但二次多項(xiàng)式模型對(duì)銫鐘的預(yù)報(bào)誤差波動(dòng)幅度較大，而銣鐘預(yù)報(bào)誤差的波動(dòng)幅度較小，可與灰色模型和灰色 + 自回歸模型相當(dāng)?？傮w來(lái)說(shuō)，當(dāng)建模序列為24 h時(shí)，采用灰色 + 自回歸模型的預(yù)報(bào)效果最好。

(2)不同模型、不同長(zhǎng)度的鐘差序列建模預(yù)報(bào)效果不同。二次多項(xiàng)式模型受建模序列長(zhǎng)度的影響最大，灰色 + 自回歸模型受到的影響最小，灰色模型的預(yù)報(bào)效果隨建模序列長(zhǎng)度變化的趨勢(shì)與灰色 + 自回歸模型相似；采取不同模型預(yù)報(bào)時(shí)，不同類型原子鐘的最佳序列長(zhǎng)度也有所區(qū)別；另外，在一定程度上，銣鐘受建模序列長(zhǎng)度的影響小于銫鐘，但當(dāng)建模序列增加時(shí)，銣鐘和銫鐘的預(yù)報(bào)精度趨于穩(wěn)定。

(3)當(dāng)建模序列長(zhǎng)度為24 h時(shí)，鐘差序列變化趨勢(shì)穩(wěn)定時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果優(yōu)于鐘差序列波動(dòng)時(shí)的結(jié)果，當(dāng)鐘差波動(dòng)幅度不同時(shí)，不同預(yù)報(bào)模型受到的影響也有所差別。