巧用反例培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思辨能力

李玉琴

摘要：初中生思維領(lǐng)域的跨度以及思維的靈活性、創(chuàng)新性是初中生能否學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。然而在很多情況下，學(xué)生們的思辨能力沒有被很好地開發(fā)出來，容易受思維定式的束縛，思域狹窄、思維僵化。在本文中，筆者就培養(yǎng)學(xué)生思辨能力的課題提出了自己的看法，在反例應(yīng)用方面提出了自己的獨到見解，希望對初中生思維能力的培養(yǎng)有一定的參考價值。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);思維定式;思辨能力;靈活性

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2020）16-0158-01

小學(xué)階段，數(shù)學(xué)教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生們的形象思維和想象力為主，而初中數(shù)學(xué)知識邏輯性較強(qiáng)，知識的關(guān)聯(lián)性也更為密切。然而，很多學(xué)生們的思辨能力較弱，導(dǎo)致解題思維混亂。反例是從不同思維角度來證明命題邏輯思維錯誤的一種思維方式，有助于辨析命題的真假和概念間的不同。因此，筆者在本文中重點論述了利用反例來培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思辨能力的有效途徑，希望能夠借此拓展學(xué)生們的思域的寬廣程度，改變思維僵化的窘?jīng)r，讓學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力得到更好地發(fā)展。

1.應(yīng)用反例強(qiáng)化學(xué)生們思維的邏輯性

數(shù)學(xué)概念和定理主要闡釋數(shù)學(xué)符號、知識模塊間的關(guān)系，條件性、邏輯性都非常強(qiáng)。一般情況下，初中數(shù)學(xué)教師會通過朗讀、分析或者構(gòu)建新舊知識之間的聯(lián)系來正向解析這些概念、公式和定理的內(nèi)涵。然而，正向解釋是從教師的專業(yè)角度和成人的思維視角出發(fā)，學(xué)生們的思維視角和教師的視域存在一定思維差異，因此，學(xué)生們對這些概念、定理和公式的適用范圍、條件變化后解題思維的變異性和靈活度掌控力不足，容易受教師思路和教材范例所引導(dǎo)的思維定式的影響。但是反例屬于逆向思維，能夠彌補學(xué)生們在理解方面的思維漏洞，讓學(xué)生們能夠從不同角度來看待數(shù)學(xué)概念、公式及定理的內(nèi)涵外延，避免學(xué)生們條件的遺忘、思維的疏漏，增加理解的清晰度和透徹程度。

例如，5是25的平方根和25的平方根是5這兩個命題看似都包含平方根這一概念，但是二者所闡述的邏輯關(guān)系并不相同，因此，這兩個命題一個為真，一個為假。教師可以通過反例來來提示學(xué)生們注意數(shù)學(xué)語言在表達(dá)上所應(yīng)該具有的嚴(yán)謹(jǐn)性。25的算術(shù)平方根是5，它的平方根有兩個，一個是5，另一個是-5，因此，5是25的兩個平方根中的一個，這種論斷在邏輯表達(dá)方面沒有問題;而25的平方根是5就缺乏表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)度。因為-5也是25的平方根，由此，由條件推斷結(jié)果的時候得出了不一樣的結(jié)論，證明這個論斷是一個偽命題。

2.借用反例來完善對命題條件的認(rèn)知

很多情況下，數(shù)學(xué)命題成立與否要受命題條件的約束，如果能夠通過條件推斷出相應(yīng)結(jié)論，則命題為真，而如果根據(jù)這個條件得出的推論與命題結(jié)果相異，則命題為假。因此，學(xué)生們對命題條件的認(rèn)知是否完備，完全可以通過反例來進(jìn)行驗證。

如果正向解析三角形全等的判定方法，教師會要求學(xué)生們注意兩個疑似全等的三角形在對應(yīng)角和對應(yīng)邊之間所存在數(shù)量對等關(guān)系。例如，其中一個判定定理就是“兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等”。正向解析應(yīng)該是兩個疑似全等的三角形之間是否存在兩個邊數(shù)值相等，并且這兩個邊所形成的夾角是否同時對應(yīng)相等，如果兩個條件同時成立，則這兩個三角形全等。這樣的解釋已經(jīng)定理所涉及的數(shù)學(xué)要素間的條件極其邏輯關(guān)系闡述得非常清晰。然而在真正的數(shù)學(xué)解題實戰(zhàn)訓(xùn)練過程中，學(xué)生們往往看到角或邊相等就認(rèn)為符合條件而忽視角和邊對等的前提條件是二者必須具有對應(yīng)關(guān)系。實踐證明，筆者正向講解、正向強(qiáng)調(diào)多次，學(xué)生們?nèi)匀辉谶@方面錯誤率較高。而筆者把學(xué)生們的錯題當(dāng)成反例來講解，讓學(xué)生們通過反例糾錯的方式來發(fā)現(xiàn)此類題的處理原則就會避免學(xué)生們對對應(yīng)條件的忽略。例如，如圖

在△ABC與△ABD中，∠ACD=∠ADC，則可以推出AC=AD。那么可知AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但是很明顯△ABC與△ABD并不全等。夾角和一邊的角絕不是同一概念，不要偷換。這樣一來，通過圖形對比和邏輯分析，學(xué)生們就會對邊角邊這一三角形全等定理有了更清晰的認(rèn)知。

3.應(yīng)用反例來提升學(xué)生們的辨析能力

學(xué)生們的思辨能力不足，對命題的闡釋會產(chǎn)生各種錯誤的理解，導(dǎo)致命題結(jié)果所涵蓋內(nèi)容的擴(kuò)大或者縮小。應(yīng)用反例可以有效提升學(xué)生們的辨析能力，正確辨析相似度高的概念，明晰其確切適用范圍，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識認(rèn)知的精確度。

例如，在初中數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)，學(xué)生們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系之后，就要辨析銳角和第一象限的角是否是同一概念。當(dāng)學(xué)生們舉例400°、430°等角也在第一象限的時候，就會發(fā)現(xiàn)，對銳角的定義是大于0°而小于90°的角，而第一象限的角是一個集合，其取值范圍為（2kπ，2kπ+π/2），其中k為整數(shù)，只有k等于0的時候才是銳角，其他時候都會大于360°.借助這樣的反例，學(xué)生們對第一象限的角和銳角都有了精準(zhǔn)的定義和認(rèn)知。

綜上所述，隨著學(xué)生們思維認(rèn)知能力的提升，初中數(shù)學(xué)知識的抽象性和邏輯性也逐漸增強(qiáng)。學(xué)生們要具備良好的辨析能力才會明辨命題的真?zhèn)巍⒚魑}條件的確切含義以及對命題結(jié)果的限制作用，并且對相似度高的概念進(jìn)行正確區(qū)分，對A是B正確，但B是A并不一定正確這樣的思維認(rèn)知的辨析尤其有效。反例的使用能夠拓展學(xué)生們的思維空間，探查到思維意識上的漏洞并指出認(rèn)知的錯誤，讓學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維更為清晰、發(fā)散方向更為廣闊，辨析能力更為強(qiáng)悍，是教師教學(xué)和學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的得力助手，應(yīng)該被妥善應(yīng)用。