面向裝配序列規(guī)劃的最小生成樹方法

馮立艷，何世偉，耿 浩，關(guān)鐵成

（華北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063210）

1 引言

裝配序列是將裝配件表示為一定約束條件下的零件序列[1]。對(duì)于包含零件多、要求精度高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、裝配空間狹小的產(chǎn)品，裝配產(chǎn)生的費(fèi)用將會(huì)達(dá)到產(chǎn)品制造成本的（30～50）%。若一個(gè)裝配體由N個(gè)零件組成，每個(gè)零件至少有m種可能的裝配方法，則可能的裝配序列為mNN！種。因此規(guī)劃最優(yōu)裝配序列具有重要意義，它可以明顯改善裝配速度，提高裝配質(zhì)量，降低成本[2-4]。

國內(nèi)很多學(xué)者對(duì)裝配序列的產(chǎn)生方法進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[5]通過對(duì)有向裝配連接圖的割集分解計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了裝配序列生成；文獻(xiàn)[6]建立了基于符號(hào)有序二叉決策圖模型及操作的可行裝配序列生成技術(shù)；文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一個(gè)基于自動(dòng)拆卸過程的裝配序列生成算法。通過建立裝配體的零件連接圖，對(duì)連接零件之間的密切程度進(jìn)行量化計(jì)算并賦予它們之間的邊，再通過運(yùn)籌學(xué)中求解最小生成樹的破圈法對(duì)零件連接圖的邊進(jìn)行破除，最后得到最優(yōu)的裝配序列。

連通且不含環(huán)的無向圖稱為樹。最小生成樹在數(shù)學(xué)上定義為連接所有節(jié)點(diǎn)的子網(wǎng)，所有連接權(quán)重之和最小，不存在循環(huán)。破圈法是一種簡(jiǎn)單直觀的尋找最小生成樹的算法。

2 裝配關(guān)系密切程度的量化指標(biāo)

裝配模型是裝配序列規(guī)劃的基礎(chǔ)，所依據(jù)的裝配模型是零件連接圖，用頂點(diǎn)表示零件，用連接頂點(diǎn)之間的邊表示零件之間的連接關(guān)系。裝配體中的一個(gè)零件可與多個(gè)零件存在裝配關(guān)系，影響兩零件間裝配關(guān)系密切程度的因素有很多，可歸納為以下3個(gè)可量化的指標(biāo)[8-10]。

2.1 穩(wěn)定支撐指標(biāo)

裝配后有直接接觸的兩個(gè)零件i、j，當(dāng)零件i的重力方向垂直且穿過兩零件的接觸面時(shí)，稱j對(duì)i有穩(wěn)定支撐作用。若兩零件互相有穩(wěn)定支撐作用，則記兩零件間穩(wěn)定支撐指標(biāo)值bij=2；若只有一個(gè)零件對(duì)另一零件有穩(wěn)定支撐作用，記bij=1；否則記bij=0。

設(shè)一裝配體中任意兩零件間最大的穩(wěn)定支撐指標(biāo)值為bmax，則歸一化后的穩(wěn)定支撐指標(biāo)值為：

2.2 約束自由度指標(biāo)

零件的裝配方向?yàn)榱鶄€(gè)平動(dòng)方向，約束自由度指標(biāo)cij指兩零件互為固定件時(shí)，另一個(gè)零件裝配后減少的平動(dòng)自由度的和。

式中：cij—以零件i為固定件時(shí)，零件j減少的平動(dòng)自由度；cji—以零件j為固定件時(shí)，零件i減少的平動(dòng)自由度。

設(shè)一裝配體中任意兩零件間最大的約束自由度指標(biāo)值為cmax，則歸一化后的約束自由度指標(biāo)值Cij為：

2.3 連接強(qiáng)度指標(biāo)

兩零件連接的越穩(wěn)固，那么它們?cè)谘b配后作為一個(gè)整體參與后續(xù)裝配時(shí)抵抗裝配關(guān)系被破壞的能力就越強(qiáng)。

在偵查成本與偵查效益的運(yùn)行關(guān)系中，如果偵查決策正確、恰當(dāng)，那么偵查成本與偵查效益將會(huì)呈現(xiàn)出一種同向運(yùn)行狀態(tài);而如果偵查決策不恰當(dāng)，那么偵查成本與偵查效益將會(huì)出現(xiàn)一種異向運(yùn)行狀態(tài)。

零件i和j之間裝配關(guān)系的歸一化后連接強(qiáng)度指標(biāo)值為Dij，若兩零件只是表面接觸，則記Dij=0。參照LEE 建立的常見聯(lián)接類型的聯(lián)接強(qiáng)度指標(biāo)[8]，以焊接為最穩(wěn)固連接，建立其他裝配類型的連接強(qiáng)度歸一化后的指標(biāo)值，如表1 所示。

表1 連接強(qiáng)度指標(biāo)值Tab.1 Connection Strength Index Value

綜合上述三個(gè)量化指標(biāo)，用λij表示裝配關(guān)系密切值，代表零件i與零件j之間裝配關(guān)系的密切相關(guān)程度，評(píng)分值越高，表示越推薦這兩個(gè)零件進(jìn)行直接裝配，有：

式中：ωB、ωC、ωD—穩(wěn)定支撐指標(biāo)、約束自由度指標(biāo)和連接強(qiáng)度指標(biāo)所占比重，因此有：

3 裝配關(guān)系干涉的表達(dá)

在零件連接圖中，零件i與零件j之間的連線代表兩零件裝配關(guān)系，記作eij。若裝配關(guān)系eij先于其他裝配關(guān)系完成時(shí)，會(huì)影響其他n個(gè)裝配關(guān)系，則稱該裝配干涉值為n，記為eij=n。

以圖1（a）的子彈解剖圖為例，說明零件連接圖及裝配干涉eij的取值。其零件連接圖如圖1（b）所示。圖1（a）中，在彈頭與彈殼裝配后，就無法再裝入火藥，即裝配關(guān)系e13干涉了裝配關(guān)系e23；而若彈殼在與底火裝配之前裝入火藥，雖然不會(huì)使底火無法裝配，但大大增加了底火的裝配難度，即裝配關(guān)系e23干涉了裝配關(guān)系e34；裝配關(guān)系e34不會(huì)干涉e13和e23。因?yàn)閑13和e23都干涉了1 個(gè)裝配關(guān)系，而e34沒有干涉任何裝配關(guān)系，則e13=1、e23=1、e34=0。標(biāo)注干涉值后的子彈零件連接圖，如圖1（c）所示。

圖1 子彈解剖圖及其裝配體生成樹Fig.1 Bullet Section View and Its Assembly Spanning Tree

4 基于破圈法的裝配序列求解方法

獲得裝配序列的流程圖，如圖2 所示。對(duì)其主要內(nèi)容解釋如下。

4.1 破圈

用破圈法尋找最小生成樹的步驟如下：

（1）先任取一個(gè)圈，從圈中去掉一條權(quán)重最大的邊。若在同一圈中有2 條或2 條以上權(quán)重最大邊，則任選其中之一去掉。

（2）在余下的子圈中，重復(fù)上述步驟，直至沒有圈為止。

所有破圈完成后，則由零件連接圖得到最大密切程度的裝配體生成樹。

4.2 裝配序列的生成

分析樹中每個(gè)裝配關(guān)系的干涉值，并標(biāo)在對(duì)應(yīng)邊上，則可根據(jù)標(biāo)注有干涉值的裝配體生成樹產(chǎn)生裝配序列，步驟如下：

（1）任選標(biāo)號(hào)為0 的兩零件開始裝配。

（2）每裝配一步，將裝配好的兩零件（或子裝配體）視為一個(gè)零件，再對(duì)余下的裝配關(guān)系重新進(jìn)行干涉值分析并賦值。

重復(fù)以上步驟，同時(shí)按順序記錄已裝配零件的序號(hào)，直到所有零件裝配完畢，記錄好的零件順序即為最優(yōu)裝配序列（根據(jù)裝配方向集中原則，進(jìn)行一步裝配之后，若條件允許，應(yīng)優(yōu)先選擇同一條樹枝上的零件繼續(xù)裝配）。

圖2 裝配序列獲取流程圖Fig.2 Assembly Sequence Acquisition Flow Chart

5 實(shí)例分析

以汽油機(jī)驅(qū)動(dòng)的水泵作為實(shí)例，如圖3 所示。說明提出的裝配序列生成方法。

水泵由15 個(gè)零件組成，通過汽油機(jī)的曲軸5 轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)泵葉片10 轉(zhuǎn)動(dòng)，將由進(jìn)水嘴14 進(jìn)入的水通過排水嘴2 噴出。其中閥1 與排水嘴2、泵塞15 與泵箱4、曲軸5 與泵葉片10、泵蓋6與泵箱4、排水嘴2 與泵箱4、進(jìn)水嘴14 與泵箱4 均為螺紋聯(lián)接；密封圈B（8）與彈簧9 為間隙配合；泵箱4 與輪蓋墊圈12、泵箱4與膠皮墊13、密封圈A（7）與密封圈B（8）、彈簧9 與泵葉片10 僅有表面接觸；其余鄰接零件的裝配均為過盈連接。

圖3 汽油機(jī)驅(qū)動(dòng)的水泵裝配分解圖Fig.3 Assembly Decomposition Diagram of Water Pump Driven by Gasoline Engine

第一步：建立水泵的零件連接圖，如圖4（a）所示。并對(duì)環(huán)中所有邊進(jìn)行裝配關(guān)系密切值計(jì)算，處于封閉環(huán)中的邊有4-11，4-12，4-13，4-14，5-7，5-8，5-9，5-10，6-7，6-8，7-8，8-9，9-10，11-12，13-14。取ωB，ωC，ωD分別為0.3、0.3、0.4，裝配關(guān)系密切值的計(jì)算過程，如表2 所示。將計(jì)算所得λij賦給對(duì)應(yīng)的邊，如圖4（b）所示。

圖4 水泵零件連接圖與裝配關(guān)系密切值賦值Fig.4 Connection Diagram of Pump Parts and Osculation-Value

第二步：對(duì)零件連接圖破圈。如在封閉環(huán)6-7-8 中，7 與8 之間的裝配關(guān)系密切值最小，則去掉7 與8 之間的邊，這樣，6-7-5-8 則形成一個(gè)封閉環(huán)，其中5-7、5-8 同時(shí)為裝配關(guān)系密切值最小的邊，則任選一條去掉即可，如去掉5-8。在余下的子圈中，重復(fù)上述工作，直至沒有圈為止，得到裝配體生成樹，如圖5（a）所示。

第三步：干涉分析。若將泵箱4 和泵蓋6 先裝配起來，則會(huì)導(dǎo)致7、8、9、10、11、12 這6 個(gè)零件無法裝配，故e46=6；若將曲軸5與泵葉片10 先進(jìn)行裝配，則會(huì)導(dǎo)致6、7、8、9 這4 個(gè)零件無法裝配，故e510=4。將所有干涉值賦予對(duì)應(yīng)的邊，如圖5（b）所示。第四步：生成序列。水泵的裝配過程，如圖6 所示。在圖5（b）中，選擇干涉值為0 的裝配關(guān)系先進(jìn)行裝配。先把1，2，3，4，15 五個(gè)零件裝配在一起，并將其視為一個(gè)部件參與以后的裝配，如圖6（a）所示；圖6（b）中，11-12，13-14 裝配后，將11 與12，13 與14視為一個(gè)部件再與部件1-2-3-4-15 裝配時(shí)，原本的干涉就不存在了，故對(duì)應(yīng)的干涉值由1 改為0。以此類推，余下的裝配過程，如圖6（c）～圖6（g）所示。

表2 裝配關(guān)系密切值的計(jì)算Tab.2 Calculation of Assembly Relation Osculation-Value

圖5 水泵裝配體生成樹及干涉分析Fig.5 Assembly Spanning Tree and Interference Analysis

圖6 水泵裝配序列生成過程Fig.6 Sequence Generation of Pump Assembly

6 結(jié)論

（1）將最小生成樹問題與裝配序列規(guī)劃有機(jī)結(jié)合起來，提出了一種裝配序列規(guī)劃的新方法。（2）分析了影響零件間裝配關(guān)系密切程度的主要因素，建立了裝配關(guān)系密切值的定量計(jì)算方法。該方法為后續(xù)工作，如裝配序列評(píng)價(jià)提供了便利。（3）運(yùn)用破圈法剔除了大量無效序列，一定程度上簡(jiǎn)化了裝配序列規(guī)劃的求解，裝配體零件數(shù)量越大，簡(jiǎn)化程度越明顯。（4）最優(yōu)序列伴隨干涉分析的進(jìn)行而自動(dòng)生成，生成的序列能夠較為真實(shí)的反映實(shí)際的裝配需求。

該方法的基本原理也可作為框架使用，即根據(jù)不同的裝配需求和實(shí)際情況，可添加其他裝配關(guān)系密切程度的量化指標(biāo)，不僅僅局限于提出的三個(gè)量化指標(biāo)，使該方法靈活性大大增強(qiáng)。