例析函數(shù)性質(zhì)的理性之美

北京市第一0一中學(xué)懷柔分校 (101407) 李加軍 馬 沖

我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出:"在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中,學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)."

課程目標(biāo)首先要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(簡稱“四基”)；其次，在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)；進(jìn)而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)這兩個過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；最后，能夠會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界(簡稱“三會”)．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，“三會”是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)．

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.本文通過對函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,來闡述如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落實到基礎(chǔ)教育的主陣地——課堂教學(xué).

一、直觀發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)，開門見山之美

(A)充分必要條件 (B)充分而不必要條件

(C)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件

-f(b)=f(-b),有a≥-b，即a+b≥0．故選(A)．

例2 (2012全國聯(lián)賽試題)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x2，若對任意的x∈[a,a+2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

例3 (2017全國聯(lián)賽試題)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)x有f(x+3)f(x-4)=-1，又當(dāng)0≤x<7時，f(x)=log2(9-x)，則f(-100)的值為.

(A)0 (B)m(C)2m(D)4m

評注：課程目標(biāo)要求會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界．在上述4個例子中，根據(jù)所掌握的基礎(chǔ)知識，通過敏銳觀察，發(fā)現(xiàn)所研究函數(shù)具有的奇偶、單調(diào)、周期、對稱等性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)快速合理地解決問題，閃現(xiàn)于眼前一種開門見山之美感．

二、深刻挖掘函數(shù)性質(zhì)，曲徑通幽之雅

例5 (2017清華大學(xué)領(lǐng)軍計劃試題)滿足(3x+y)5+x5+4x+y=0的點(x,y)( ).

(A)在一條直線上 (B)在一條拋物線上

(C)有有限個 (D)有無限個

解:由(3x+y)5+x5+4x+y=0得(3x+y)5+3x+y=-(x5+x)，令f(t)=t5+t，則f(t)在R上是增函數(shù)且為奇函數(shù)，于是由f(3x+y)=-f(x)得f(3x+y)=f(-x)，所以3x+y=-x，即4x+y=0，故答案選(A)(D)．

例6 (2015四川省預(yù)賽試題)設(shè)x+sinxcosx-1=0，2cosy-2y+π+4=0，則sin(2x-y)的值是.

例7 (2008全國聯(lián)賽試題)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(0)=2008，且對任意x∈R，滿足f(x+2)-f(x)≤3·2x，f(x+6)-f(x)≥63·2x，則f(2008)=.

解:令g(x)=f(x)-2x，則g(x+2)-g(x)=f(x+2)-f(x)-2x+2+2x≤3·2x-3·2x=0，于是g(x+6)-g(x)=f(x+6)-f(x)-2x+6+2x≥63·2x-63·2x=0，所以g(x+2)≤g(x)，g(x+6)≥g(x)，故g(x)≤g(x+6)≤g(x+4)≤g(x+2)≤g(x)，所以g(x+2)=g(x)，所以g(2008)=g(0)=f(0)-1=2007，所以f(2008)=g(2008)+22008=22008+2007．

評注：課程目標(biāo)要求用數(shù)學(xué)思維思考世界．上述4個例子中，通過對題目條件和結(jié)論適當(dāng)變形，找到隱含的函數(shù)結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的性質(zhì)，然后利用函數(shù)性質(zhì)對題目進(jìn)行詳細(xì)剖析，得到問題的結(jié)果，使人享受到曲徑通幽之快樂．

三、靈活運用函數(shù)性質(zhì)，豁然開朗之妙

gmin(x)=0，于是fmax(x)+fmin(x)=2．

(A)0 (B)2 (C)4 (D)前三個答案都不對

例12 (2017清華大學(xué)領(lǐng)軍計劃試題)若方程有2|x-1|+acos(x-1)=0唯一解，則( ).

(A)a的值唯一 (B)a的值不唯一

(C)a的值不存在 (D)以上答案都不對

解:令f(x)=2|x-1|+acos(x-1)，因為f(2-x)=f(x)，所以f(x)關(guān)于直線x=1對稱，所以f(x)的唯一零點只可能是1，即f(1)=0，所以1+a=0，解得a=-1，此時f(x)=2|x-1|-cos(x-1)≥1-1=0，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=1取到，即函數(shù)f(x)有唯一零點1，即方程有2|x-1|+acos(x-1)=0唯一解，故選(A)．

例13 (2012河南省預(yù)賽試題)若α是方程xex=2011的解，β是方程xlnx=2011的解，則αβ=.

解:令f(t)=tet，易知f(t)=tet在(0,+)上是增函數(shù)，由條件知αeα=2011且βlnβ=2011，即αeα=2011且(lnβ)elnβ=2011，所以f(α)=f(lnβ)，故α=lnβ，所以αβ=βlnβ=2011．

例14 (2018中科大自主招生試題)已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)是單射．對任意x>0，有xf(x)>1，f(xf(x)-1)=2，則f(2)=.

評注:課程目標(biāo)要求會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界．?dāng)?shù)學(xué)的應(yīng)用性使得數(shù)學(xué)煥發(fā)出無窮的魅力．上述7個例子說明有意識地培養(yǎng)靈活的函數(shù)觀念，積極解決數(shù)學(xué)自身問題，對提高一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著極大的幫助．深刻認(rèn)識題目中所蘊含的函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)，會讓人體驗到豁然開朗之愉悅．