回歸知識(shí)本質(zhì) 形成解題思路
——以一道解析幾何證明題為例

北京市第八十中學(xué) (100102) 孫世林

解析幾何研究的是幾何問(wèn)題,其研究方法是代數(shù)方法,即解析幾何的知識(shí)的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題;解析幾何題綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求高，在高考中普遍存在解題思路不清、方法選擇不當(dāng)、計(jì)算不過(guò)關(guān)等現(xiàn)象，下面就談?wù)勅绾位貧w解析幾何知識(shí)本質(zhì),從多角度探究解析幾問(wèn)題.

圖1

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)(點(diǎn)P不是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn))，AP的中點(diǎn)為M．直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過(guò)O且平行于AP的直線與直線x=4交于點(diǎn)E．求證:∠ODF=∠OEF.

思路一:本題的第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單,第二問(wèn)是證明兩個(gè)角相等.要想證明這兩個(gè)角相等,我們先看這兩個(gè)角是怎樣形成的?P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)M與原點(diǎn)O連接并延長(zhǎng)與直線x=4相交，形成了點(diǎn)D，點(diǎn)E是過(guò)O且平行于AP的直線與直線x=4相交形成的，這樣才出現(xiàn)了線段DF和EF，從而有了∠ODF與∠OEF,可見(jiàn)這兩個(gè)角與點(diǎn)P有緊密的聯(lián)系，所以可以從直線AP的方程或點(diǎn)P的坐標(biāo)入手.

評(píng)析：解析幾何綜合問(wèn)題常在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中探究某些不變的性質(zhì)與規(guī)律，對(duì)于這類運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，解題時(shí)要從已知出發(fā)深入探究產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源，從產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源入手，解法一從直線AP的方程入手，解法二從點(diǎn)P的坐標(biāo)入手，對(duì)比發(fā)現(xiàn)解法二運(yùn)算量小，究其原因是因?yàn)楸绢}運(yùn)動(dòng)變化的根源是點(diǎn)P，所以解題時(shí)要選擇好從直線方程入手還是從點(diǎn)的坐標(biāo)入手，這樣就可以優(yōu)化解題過(guò)程,減少計(jì)算量，自然快捷地解決此類問(wèn)題．

思路2:本題的第二問(wèn)是一道證明題,我們可以從結(jié)論出發(fā)反推成立的條件,若∠ODF和∠OEF相等,則它們的三角函數(shù)值就應(yīng)該相等.我們選擇哪種三角函數(shù)?如圖不難發(fā)現(xiàn)∠ODF=∠ODH-∠FDH，而∠ODH和∠FDH分別位于Rt△ODH和Rt△FDH中,可見(jiàn)這些角的正切值很容易得到；同理∠OEF=∠OEH-∠FEH也容易求得正切值，這樣我們就可以借助證明兩個(gè)角的正切值相等來(lái)說(shuō)明兩個(gè)角相等.

評(píng)析:解決解析幾何綜合問(wèn)題時(shí)，有時(shí)直接求解，常常感覺(jué)不知從何入手，我們可以嘗試從結(jié)論入手，本解法中我們借助證明兩個(gè)角的正切值相等來(lái)說(shuō)明兩個(gè)角相等，這就實(shí)現(xiàn)了由幾何條件向代數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)；幾何條件代數(shù)化的途徑很多，如本題我們也可以求出三角形的三邊借助余弦定理求角的余弦值，也可以借助向量的數(shù)量積求角的余弦值，選擇哪種途徑要依據(jù)題目的特點(diǎn)，要有利于接下來(lái)的代數(shù)運(yùn)算.

思路3:在解決解析幾何的綜合題時(shí),要善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從多個(gè)角度,用不同的方法探究同一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于本題我們還可以繼續(xù)深入探究題目中圖形的幾何特征,從幾何角度尋求突破!本題是證明兩角相等,觀察圖形發(fā)現(xiàn),兩個(gè)角分別位于有公共邊OF的兩個(gè)三角形中,由此可以聯(lián)想到三角形的外接圓,聯(lián)想有公共弦的兩個(gè)圓,如果這兩個(gè)圓的半徑相等,那么其公共弦所對(duì)圓周角相等,這樣我們便有了本題的第4種解法:

點(diǎn)評(píng):“解析幾何”研究的是幾何問(wèn)題，恰當(dāng)利用平面幾何知識(shí)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題,也是不可或缺的方法，解析幾何問(wèn)題中蘊(yùn)含很多幾何條件，這些幾何條件間有什么關(guān)系？從這些幾何關(guān)系出發(fā)又能得到什么樣的新幾何關(guān)系？某些幾何關(guān)系成立需要有怎樣的幾何條件？隨著這些疑問(wèn)的探究和解決，解題思路也就自然的生成了.