“不等式選講”存在問題分析及解決對(duì)策

福建省龍巖市教育科學(xué)研究院 (364000) 盧燕霞

不等式選講為全國卷高考選考內(nèi)容之一,題型較穩(wěn)定，屬中檔題.主要考查絕對(duì)值不等式的求解、不等式證明的基本方法(比較法、綜合法、分析法等)及根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍、用基本不等式研究代數(shù)式的最值及證明不等式等問題，交匯考查集合的概念、絕對(duì)值的概念、函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次不等式、基本不等式等內(nèi)容.試題分兩問，第一問多為考查解絕對(duì)值不等式或利用基本不等式求最值；第二問多為考查不等式恒成立問題或根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍或利用基本不等式證明不等式.考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.下面我將對(duì)學(xué)生在此專題學(xué)習(xí)過程中存在的主要問題進(jìn)行剖析，并提出相應(yīng)的解決問題對(duì)策.

一、存在的問題及原因分析

1．絕對(duì)值不等式求解技能掌握不到位

解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，然后用已有方法求解.但面對(duì)具體問題的多樣形式有不同的求解方法與技巧，如平方法、零點(diǎn)分段討論法、利用絕對(duì)值的幾何意義等，不少同學(xué)對(duì)此掌握不到位.

例1 (2017全國Ⅰ卷23(1))已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|．當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集.

解析:當(dāng)a=1時(shí)，f(x)≥g(x)等價(jià)于-x2+x+4≥|x+1|+|x-1|①.

2．不能對(duì)條件進(jìn)行正確的等價(jià)轉(zhuǎn)化

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中的作用往往體現(xiàn)為化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉，但在考試中不少同學(xué)對(duì)不等式的有關(guān)條件不能進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化而導(dǎo)致失誤.

例2 (2017全國Ⅲ卷23(2))已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

解析:原式等價(jià)于存在x∈R，使f(x)-x2+x≥m成立，即[f(x)-x2+x]max≥m.

設(shè)g(x)=f(x)-x2+x，由已知得

當(dāng)x≤-1時(shí)，g(x)=-x2+x-3

評(píng)析:本題主要考查不等式解集的概念、絕對(duì)值的意義、二次函數(shù)區(qū)間上最值等基礎(chǔ)知識(shí).解答中的主要問題還是在題意的理解與問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.錯(cuò)點(diǎn)一，將“不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空”等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)max≥x2-x+m解集非空，忽略了右邊的代數(shù)式也是隨著x的變化而變化，左右兩邊的x表示的是同一個(gè)數(shù)；錯(cuò)點(diǎn)二，將“不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“m≤g(x)min”，錯(cuò)在對(duì)“解集非空”的理解上.所謂“解集非空”即存在x使得不等式f(x)≥x2-x+m成立，等價(jià)于存在x使得不等式|x+1|-|x-2|-x2+x≥m成立，等價(jià)于(|x+1|-|x-2|-x2+x)max≥m即可.

3.不等式證明思路不清，無法迅速找到切合題意的證明方法

不等式的證明首先需要把握思路，沒有明確的證題思路就會(huì)陷于混亂之中，導(dǎo)致簡單問題復(fù)雜化，或者證明過程不完善.

例3 (2019全國Ⅰ卷23)已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1，證明：

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

(2)由基本不等式且a,b都是正數(shù)得a+b≥

評(píng)析:本題主要考查基本不等式、不等式的證明方法等基礎(chǔ)知識(shí)，難點(diǎn)在于尋找突破口，不懂利用已知條件abc=1，合理轉(zhuǎn)化為待證不等式，導(dǎo)致無從下手；另外，解題思路不清晰，盲目解答，目標(biāo)導(dǎo)向意識(shí)與解題策略選擇意識(shí)不強(qiáng)，不能依據(jù)題意合理選擇不等式的證明方法.

4.知識(shí)掌握不到位，無法優(yōu)選算法化簡求解過程

不少不等式問題的求解與求證可有不同的角度，即不同的方法，這時(shí)不同方法的選擇就會(huì)對(duì)求解(證)過程的繁簡產(chǎn)生影響，而是否能優(yōu)選算法依賴于對(duì)知識(shí)與方法的到位與熟練的把握，依賴于平時(shí)對(duì)相關(guān)問題的反思與感悟.

解析:(法一)因?yàn)閍>0，所以

綜上,得f(x)≥2成立.

評(píng)析:法二根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)直接證得結(jié)論，相比法一快捷明了.本題的主要問題在于對(duì)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)掌握不到位，導(dǎo)致無法快速求解.

二、解決問題的對(duì)策

1．強(qiáng)化絕對(duì)值不等式的求解訓(xùn)練

絕對(duì)值不等式的求解問題是高考全國卷?？贾R(shí)點(diǎn)，可以歸納為寫成分段函數(shù)求解、利用函數(shù)圖象求解、利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)求解等方法.應(yīng)全面加強(qiáng)基本概念、基本方法、基本技能的學(xué)習(xí)，熟練掌握解絕對(duì)值不等式問題的常規(guī)題型，重視不等式證明的通性通法，做到既能正確分類，又能合理整合，準(zhǔn)確快捷解答，同時(shí)注意對(duì)求解過程等價(jià)性的關(guān)注.

2．加強(qiáng)對(duì)不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”等幾種模型的識(shí)別及求解能力

不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常見模型，解決問題的關(guān)鍵是對(duì)其進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)轉(zhuǎn)換，并借助函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)圖象、函數(shù)最值等來解決問題.復(fù)習(xí)過程中可通過一題多變強(qiáng)化對(duì)上述各種模型的識(shí)別，掌握其解決方案.

3．關(guān)注基本不等式、絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用

基本不等式、絕對(duì)值不等式性質(zhì)在求最值、證明不等式等方面都有很重要的作用.應(yīng)用基本不等式或絕對(duì)值不等式性質(zhì)求最值時(shí)，均應(yīng)注意等號(hào)成立的條件是否具備，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立的條件具備時(shí)方可應(yīng)用其求最值，這也是用基本不等式或絕對(duì)值不等式性質(zhì)求最值的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，應(yīng)引起關(guān)注.

4．加強(qiáng)審題能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)審題意識(shí)

應(yīng)加強(qiáng)審題能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)審題意識(shí)，鍛煉審題耐心.備考中可適當(dāng)總結(jié)一些典型題型，歸納解題的思想方法，學(xué)會(huì)具體問題具體分析的解題意識(shí)，對(duì)于有多種解法的情形，應(yīng)學(xué)會(huì)選擇最有效的方法.