存同求異 讓分配律“形神兼?zhèn)洹?br/>——以乘法分配律數(shù)學模型構(gòu)建為例

肖加疇

（壽寧縣第二實驗小學，福建 壽寧 355500）

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱課標）的十大核心詞之一。課標指出，模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑，有助于提高學生學習數(shù)學的興趣和應(yīng)用意識。小學運算律的教學，都是從生活情境中抽象出數(shù)學問題，用含有字母的式子表示運算中的變化規(guī)律，并理解、討論這些式子的意義，這就是學生建立和應(yīng)用模型的過程。因此，運算律的教學，是小學數(shù)學模型構(gòu)建的最好體現(xiàn)，是最直接體現(xiàn)模型思想的教學內(nèi)容之一，在小學數(shù)學教學中有著重要的意義。乘法分配律在小學數(shù)學計算領(lǐng)域中，特別是在簡便計算中運用最為廣泛。與其他運算律相比，由于它涉及到兩種不同的運算，有特殊的數(shù)學運算關(guān)系結(jié)構(gòu)，是單元教學的一大難點。為了讓學生更好掌握乘法分配律的“形”，［1］理解其“神”，構(gòu)建“形神兼?zhèn)洹钡某朔ǚ峙渎蓴?shù)學模型，筆者在教學乘法分配律這節(jié)課時，嘗試從對比兩岸不同版本的教材入手，存同求異，為學生構(gòu)建乘法分配律數(shù)學模型搭建橋梁。

通過對比幾套不同版本教材在這一內(nèi)容上的編排，發(fā)現(xiàn)有以下幾個共性之處：

一、在現(xiàn)實情境中引出數(shù)學模型

課標指出，情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)當充分考慮學生的認識水平和活動經(jīng)驗，盡可能地貼近學生的生活，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學知識與方法。從學生熟悉的生活場景引入，可以激發(fā)學生的學習興趣和解決問題的欲望，喚醒已有的學習經(jīng)驗,感受數(shù)學的應(yīng)用價值。分析幾套教材對這一內(nèi)容的編排，發(fā)現(xiàn)都是從學生比較熟悉的生活場景引出數(shù)學問題，并通過觀察比較進而抽象出數(shù)學模型。不管是人教版的植樹問題、北師大版的貼磁磚問題，還是蘇教版班級領(lǐng)跳繩問題，這些都與學生的生活息息相關(guān)。這些熟悉的生活場景，學生很容易從中得到不同的解決方法，為抽象乘法分配律的數(shù)學模型創(chuàng)造條件。即便是臺灣版教材，它的出發(fā)點和大陸也是一致的（如下圖）。

圖1 人教版

圖2 蘇教版

圖3 北師大版

圖4 臺灣版

從具體情境中提出問題、解決問題，形成數(shù)學模型，學生能夠利用情境中的數(shù)學信息從生活的角度解釋數(shù)學模型，理解模型的生活意義，［2］溝通了數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學的價值。

二、在觀察比較中初步建構(gòu)數(shù)學模型

比較在數(shù)學教學中無處不在?？v觀幾套教材的編排，無一不是引導(dǎo)學生觀察比較兩個算式之間的聯(lián)系來初步建立乘法分配律的數(shù)學模型：一是比較兩種解法的結(jié)果相同，兩個算式可以用“=”連接；二是比較這個等式的結(jié)構(gòu)，從算式中數(shù)字和運算順序上找出它們的聯(lián)系和區(qū)別；三是嘗試用自己的話來說說發(fā)現(xiàn)了什么。

不同的是人教版教材只通過一道等式的觀察比較來歸納概括（如圖5），北師大版教材通過兩個式子的觀察比較得出，只有蘇教版教材有要求學生寫出幾道類似的等式來觀察比較，從不同的等式中找出相同的本質(zhì)屬性，為乘法分配律數(shù)學模型的形成提供了充分的素材。筆者認為，充分的比較，是感知模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，從具體到抽象、特殊到一般的不完全歸納，僅僅通過觀察比較一兩道式子的感知，數(shù)量與質(zhì)量上都比較單薄。在多道類似的等式中比較觀察，顯得尤其必要。

圖5 人教版

圖6 北師大版

圖7 蘇教版

三、在抽象概括中數(shù)學建立模型的結(jié)構(gòu)

課標提出“使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性”。三套教材都有在比較具體式子的基礎(chǔ)上要求用字母來表示乘法分配律，引導(dǎo)學生經(jīng)歷分配律的數(shù)學模型從具體到抽象、特殊到一般的過程。讓學生用字母a、b、c 分別表示三個數(shù)來抽象概括乘法分配律，根據(jù)已有的學習經(jīng)驗，學生不難得出（a+b）×c=a×c+b×c。

用語言描述模型的特征，能加深對模型結(jié)構(gòu)的理解，對訓(xùn)練數(shù)學思維能力非常重要。人教版與蘇教版都是在語言闡述的基礎(chǔ)上提出用字母來表示，教材也有呈現(xiàn)具體規(guī)范的語言表述（如圖8、圖9）。教學時，還要引導(dǎo)學生比較字母式與文字表達二者之間的優(yōu)劣，體會模型的優(yōu)越性。例如：人教版與蘇教版都是在學生用語言闡述的基礎(chǔ)上提出用字母來表示的，教材也有呈現(xiàn)具體規(guī)范的語言表述。對比二者的語言表述與字母表示式，不難發(fā)現(xiàn)：一個冗長，一個簡潔。［3］從文字的表述來看，要完全理解“可以先把它們與這個數(shù)相乘，再相加”和“可以把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘”所表達的意思，對四年級的學生來說比較困難，而且比較容易產(chǎn)生歧義。通過比較兩種表達方式，發(fā)現(xiàn)字母表達比文字表達的數(shù)學模型更簡潔、概括，更為重要的是它比文字表達更準確、無歧義。

圖8

圖9

從以上教材比較中可以看出，三套教材都是以“創(chuàng)設(shè)具體情境，提出數(shù)學問題——解決問題，形成具體等式——觀察、比較，抽象數(shù)學模型——運用模型解決問題”的步驟安排教學，側(cè)重點放在從生活意義的角度來解釋和建構(gòu)乘法分配律的數(shù)學模型，學生對它的生活意義及“外形”有了較豐富的認識。但教材對乘法分配律模型實質(zhì)揭示未見“只言片語”，學生對乘法分配律模型的實際意義缺乏有效理解，對模型的直觀感知比較模糊。為了使學生對它的認識更加豐滿，讓乘法分配律數(shù)學模型“形神兼?zhèn)洹?，教學時，筆者從以下三個方面展開。

（一）運用乘法的意義引領(lǐng)乘法分配律教學

運算律是算法的衍生，是對四則運算運算順序的重構(gòu)。乘法的意義是乘法分配律的“神”，乘法分配律實質(zhì)是乘法的意義的運用。這在三套教材的后續(xù)例題與練習安排上都能找到答案（見圖10、圖11）。

可見，教學時借助乘法的意義，來建構(gòu)乘法分配律的數(shù)學模型，突破分配律的實質(zhì)是教學所需。教學時，筆者這樣教（以蘇教版例題為例）。

圖10

圖11

【教學片斷1】

師：剛才我們已經(jīng)知道算式“（4+6）×24”和“4×24+6×24”都是表示四、五年級一共領(lǐng)了多少根跳繩，如果離開例題的圖你能知道“4×24”在數(shù)學上表示的是幾個幾？“6×24”呢？

生1：“4×24”就4 個24。

生2：也可以是24 個4。

師：你們同意嗎？在這里，更確切的是表示幾個幾？為什么？

生：我覺得表示4 個24，因為有4 個班，每班領(lǐng)24根跳繩，所以“4×24”表示“4 個24”。

師：你們同意他的說法嗎？誰再來說說“6×24”表示多少？

生：“6×24”表示6 個24。

師：誰能說說“4×24+6×24”表示多少？

生：“4×24+6×24”表示4 個24 加6 個24。

師：“4 個24 加6 個24”等于幾個幾？

生：“4 個24 加6 個24”等于“（4+6）個24，也是10個24”。

師：誰能說說“（4+6）×24”又是表示多少？

生：表示“（4+6）個24，也是10 個24”。

師：離開例題的圖，誰能說說為什么“（4+6）×24=4×24+6×24”？

生：等式的左邊表示“4+6 個24，也是10 個24”，右邊表示“4 個24 加6 個24 也是10 個24”，所以“（4+6）×24=4×24+6×24”。

師：離開例題的圖我們從乘法的意義上也能解釋這兩個算式為什么相等。像這樣的式子你也能寫出幾個嗎？

學生自主書寫，教師巡視，指名匯報，板書：

（7+8）×6=7×6+8×6

（12+8）×10=12×10+8×10

（25+15）×4=25×4+15×4

（50+20）×13=50×13+20×13

（100+50）×20=100×20+50×20

（21+79）×100=21×100+79×100

……

師：寫得完嗎？你是怎樣驗證它們相等的？有沒有不通過計算也能發(fā)現(xiàn)它們是相等？

生：“（7+8）×6=7×6+8×6”左邊是（7+8）個6 是15個6，右邊是7 個6 加8 個6 也是15 個6，所以它們相等。

師：其他式子也能說說嗎？

……

通過這樣的教學，學生從已有的經(jīng)驗出發(fā)，從乘法意義的角度解釋等式左右兩邊為什么相等，很好地理解了模型的實質(zhì)。同時，結(jié)合之前學過的“兩三位數(shù)乘兩位數(shù)”中的豎式（如下圖），溝通舊知與新知之間的聯(lián)系，體會乘法分配律的數(shù)學意義。

圖12

圖13

（二）借助幾何直觀幫助學生建立數(shù)學模型

在具體情境的解決數(shù)學問題，從具體的算式過渡到字母式，并通過符號來構(gòu)建乘法分配律的數(shù)學模型，得到的數(shù)學模型都比較抽象。人教版等三套教材都沒有給出乘法分配律的幾何模型。教學時，可以通過長方形面積的計算來解釋乘法分配律。為了使學生在頭腦中對乘法分配律的數(shù)學模型有個清晰的輪廓，教學時可以在抽象出字母式后，出示乘法分配律的幾何模型，加深對乘法分配律數(shù)學模型的理解與掌握。

【教學片斷2】

師：剛才我們已經(jīng)學會用字母表示乘法分配律，其實，例題的計算我們也可以用計算長方形面積的方法來表示。如右圖，兩個小長方形合成一個大長方形，大長方形的面積等于兩個小長方形的面積面積之和。你會列式表示大長方形的面積嗎？

指名匯報：（4+6）×24=4×24+6×24

師：誰能圖形來說說它們?yōu)槭裁聪嗟龋?/p>

生：（4+6）是大長方形的長，乘24 就是大長方形的面積，4×24就紅色小長方形的面積，6×24 是黃色小長方形的面積，它們的和就是大長方形的面積。

師：如果用字母來表示，大長方形的面積可以寫成什么？你能解釋它們?yōu)槭裁磿嗟葐幔?/p>

其實，比較文字、符號和幾何圖形三種數(shù)學語言形態(tài)，我們不難發(fā)現(xiàn)，圖形語言與文字語言、符號語言相比，最沒有爭議。長度、面積都不可能是負的，圖形語言比其他兩種更加直觀。數(shù)形結(jié)合應(yīng)用，使學生對乘法分配律模型表象更加清晰、直觀，同時加深了對乘法分配律數(shù)學模型結(jié)構(gòu)的理解。正如著名的數(shù)學家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！?/p>

（三）拓展乘法分配律的變式應(yīng)用

圖14

小學計算教學中，經(jīng)常出現(xiàn)“99×34”“101×59-59”，需要運用“乘法對減法的分配律”來進行簡便計算。由于教學過程中學生沒有見過類似的習題，遇到這類題目還需要教師花上一定的時間進行解釋說明，就教學效率上來說，不見得特別高效。造成這樣的原因是新課標在制定“數(shù)的運算”第二學段目標時，對分配律的定位是乘法對加法的分配律，教材在例題的編排上也就只體現(xiàn)“乘與加”這一內(nèi)容。這點上筆者發(fā)現(xiàn)臺灣版教材可以借鑒（如圖14）。首先它從名稱上把“乘法分配律”叫作“乘法對加減法的分配律”，從名稱上一眼就能清楚乘法分配律不僅適用于加法，也適用于減法。其次，在例題的設(shè)計上，通過同一道例題的條件，提出用加法和減法解決問題，并將乘法對加法和減法的分配律同時呈現(xiàn)出來。對比幾套教材例題的情境設(shè)計，不管是植樹問題，還是領(lǐng)跳繩問題和貼磁磚問題，學生在情境圖中提出和解決減法問題都是比較容易的。教學時，不妨進行這方面的嘗試，當然，也要考慮教學時間的安排，對減法的分配律可以作為課后的拓展，做如下教學。

【教學片斷3】

師：如果例題的問題改為“四年級比五年級多領(lǐng)多少根跳繩？”你會解決嗎？

生1：6×24-4×24

生2：（6-4）×24

師：這兩個式子它們相等嗎？用等號連接：（6-4）×24=6×24-4×24

觀察這個式子你發(fā)現(xiàn)了什么？我們已經(jīng)知道兩個數(shù)的和乘一個數(shù)，會等于這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再相加，這里是兩個數(shù)的差乘一個數(shù)，結(jié)果會怎樣呢？乘法分配律對減法也同樣適用嗎？帶著這個問題，課后自己用今天學習的方法進行驗證。

通過這樣的拓展，解決了知識“到哪里去”的問題，為學生的思考提供素材，體現(xiàn)了乘法分配律數(shù)學模型的價值。

總之，比較不同版本的教材，汲取不同教材的精華，就可拓寬教學視野，存同求異，借教材的“他山之石”以攻教學效率之“玉”，提高教學質(zhì)量，促進教師、學生的發(fā)展。