例析高中數(shù)學函數(shù)解題思路的多元化

◇ 山東 伊淑橋

1 直接觀察法（定義域法）

例1求解函數(shù)的定義域及值域.

解析

由此推出函數(shù)的值域為［3，+∞）.

點評

針對較為簡單的函數(shù)類問題，根據(jù)題目所給條件，利用觀察法我們就可以快速地分析出此題重點考查學生算術(shù)平方根的性質(zhì)，隨后再根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)即可正確解題.

2 函數(shù)單調(diào)性法

例2求解函數(shù)f（x）=3ln的定義域及值域.

解析

點評判斷函數(shù)的單調(diào)性有多種方法，學生可以使用定義法直接判斷所給函數(shù)在給定區(qū)間是否單調(diào)，同時還可利用復(fù)合函數(shù)分析法，由“同增異減”來確定函數(shù)單調(diào)性.另外，針對較為常見的函數(shù)，學生也可以利用圖象法來判斷函數(shù)的單調(diào)性.

3 反函數(shù)求解法

例3求解函數(shù)的值域.

解析

點評

反函數(shù)在高中階段并不常用，但教師在教學過程中要引導(dǎo)學生掌握一定的反函數(shù)基礎(chǔ)，為進一步的數(shù)學學習奠定基礎(chǔ).

4 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是一種重要的解題方法，教師在日常的數(shù)學教學中可以借助現(xiàn)代化信息技術(shù)，培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的思維.例如利用幾何畫板等軟件為學生展示標準圖形，讓學生更加直觀清晰地了解函數(shù)圖象的變化過程，加深學生對于函數(shù)作圖步驟的印象，從而有效提升學生的解題效率.

5 巧用對稱性

常見的對稱類型函數(shù)包括：過原點的一次函數(shù)、三次函數(shù)（其函數(shù)圖形為中心對稱圖形），正弦、余弦函數(shù)（其函數(shù)圖象為軸對稱圖形）……

例4若函數(shù)f（x）=2sin（2x+t-）（0＜t＜π）是偶函數(shù)，求t的值.

解析

方法1定義法

因為f（x）為偶函數(shù)，所以對任意實數(shù)x，f（-x）=f（x）恒成立.

從而我們可以得到

方法2巧用對稱性

因為f（x）為偶函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱.所以，當x=0時，函數(shù)f（x）取得最

點評根據(jù)題目所給信息，將偶函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成對稱問題，再利用三角函數(shù)特殊的對稱性來解決問題，進而可以顯著減少解題運算量，幫助學生更好地理解數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì).

6 三角換元法

三角換元法是高中階段數(shù)學教師應(yīng)逐步引導(dǎo)學生形成、領(lǐng)會的一個重要的解題方法.

例5已知函數(shù)，求函 數(shù)f（x）的定義域及值域.

解析

由算數(shù)平方根的性質(zhì)得6-x≥0并且6x≥0，我們可以很容易地得出f（x）的定義域為［0，6］.

易知f（x）≥0，令x=6sin2t，其中t 的取值范圍為代入f（x）表達式得

點評

利用三角函數(shù)sin2x+cos2x=1 的性質(zhì)，采取三角函數(shù)的特殊換元形式對根式下的內(nèi)容進行化簡，進一步降低了數(shù)學計算的復(fù)雜性，提高了學生數(shù)學解題的正確率.

7 結(jié)語

作為高考數(shù)學的重要題型之一，函數(shù)知識是學生高中階段數(shù)學知識學習的重點，同樣也是難點，并且貫穿于整個高中數(shù)學知識學習中，在高中數(shù)學各個知識點之間起著重要的銜接作用.因此，掌握多樣化的函數(shù)題解題技巧，利用多種思維方式求解與函數(shù)有關(guān)的題目，不僅對于發(fā)展學生的創(chuàng)新思維能力、實際應(yīng)用能力等具有極其重要的作用，同樣也對提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)具有極其重要的價值.