逼近插值于一體的二次Bézier曲線同次擴展

程黃和

（汕頭職業(yè)技術學院 自然科學系，廣東 汕頭 515078）

用Bernstein基函數(shù)定義的Bézier曲線曲面［1-2］是計算機輔助幾何設計（CAGD）中一個經(jīng)典的造型工具，它具有許多優(yōu)良的性質，在實際的工程中也得到了廣泛應用.然而，Bézier曲線曲面也存在不足，如給定控制頂點后，Bézier曲線曲面的形狀是唯一的，如果要調整曲線曲面的形狀，就必須修改控制頂點，而且Bézier曲線只具有插值作為端點的控制頂點，對其他控制頂點不具有插值的特性，但插值曲線也是CAGD的主要研究對象.為了克服上述不足，學者們研究諸多帶形狀參數(shù)的Bézier曲線曲面［3-9］，通過引入形狀參數(shù)，使新的Bézier曲線曲面具有更加靈活的形狀可調性.但現(xiàn)有帶形狀參數(shù)的n 次Bézier 曲線曲面，多是由一組n+1 次多項式基函數(shù)來定義的，也就是說擴展了的n 次Bézier 曲線，雖然引入了可調整曲線形狀的參數(shù)，但提高了基函數(shù)的次數(shù)，且所定義的帶形狀參數(shù)的n次Bézier曲線曲面只具有類似Bézier曲線曲面逼近控制頂點的性質，而不可插值控制頂點.

本文給出了二次Bézier曲線的一種同次擴展，在不改變Bézier曲線基函數(shù)次數(shù)的情況下，引入一個形狀參數(shù)，使得曲線有更多的自由度，更加的靈活調整曲線形狀，特別地，當形狀參數(shù)λ=-1 時，所生成的曲線具有插值所有控制頂點的特性，能更好地滿足實際應用中不同的需求.

1 二次λ-Bernstein 基函數(shù)及其性質

首先給出帶形狀參數(shù)的二次λ-Bernstein 基函數(shù)，再討論其性質.

定義1：對?t ∈[0,1],0 ≤λ ≤1,稱關于t的多項式

為帶形狀參數(shù)λ 的二次λ-Bernstein 基函數(shù).

二次λ-Bernstein 基函數(shù)（1）具有下列性質

性質1 當λ ∈[0,1),二次λ-Bernstein 基函數(shù)b0,2(λ,t),b1,2(λ,t),b2,2(λ,t)是線性無關性的.

性質3 非負性.即對?t ∈[0,1],0 ≤λ ≤1,有bi,2(λ,t)≥0(i=0,1,2);特別地當λ=0 時

此時二次λ-Bernstein 基函數(shù)為二次Berstein基函數(shù).

當λ=1時

當λ=-1時

性質5 對稱性.b0,2(λ,t)=b2,2(λ,1-t)，b1,2(λ,t)=b1,2(λ,1-t).

2 帶形狀參數(shù)的二次Bézier曲線

本節(jié)給出帶形狀參數(shù)的二次Bézier曲線的定義及其性質.

定義2 給定控制頂點Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,...2n)和節(jié)點u0＜u1＜…＜un，對?u ∈[ui-1,ui],

i=1,2,…n,定義多項式曲線段

則曲線C (λi,u)(i=1,2,…n)是定義在[u1,un]上的分段多項式曲線，是二次Bézier曲線的推廣.通過改變形狀參數(shù)λi(i=1,2,…n)可以改變曲線的形狀.

性質6 式（6）所定義的曲線段首末端點及導矢

即該曲線段插值首末端點，但僅當λi=0(i=1,2,…n)時才與控制多邊形的首邊和末邊相切.

性質7 由λ-Bernstein 基函數(shù)的性質3 知，當λi=-1(i=1,2,…n)時，曲線段Ci(λi,t)不僅過首末端點P2(i-1),P2i，且過控制點P2i-1.此時曲線C (λi,u)(i=1,2,…n)由若干插值曲線段組成.

由二次λ-Bernstein 基函數(shù)的性質，容易得到式（6）所定義的曲線還具有對稱性、凸包性和幾何不變性.

3 曲線的應用

圖3-1給出了形狀參數(shù)λ 取不同值得二次λ-B 基的圖像.從圖3-1可以看出當λ(0 ≤λ ≤1)值較小時，3個二次λ-B 基圖像的切線斜率變化較大，因此當λ(0 ≤λ ≤1)值較小時，本文所定義的帶形狀參數(shù)的二次Bézier曲線更靠近控制多邊形.

圖3-2給出了具有相同控制頂點，但形狀參數(shù)λ 取不同值的帶形狀參數(shù)的二次Bézier曲線.圖3-2中虛線為控制多邊形，實線部分依次為λ=2,1,0.5,0,-0.5,-1,2 時帶形狀參數(shù)的二次Bézier 曲線.可見，當0 ≤λ ≤1 時，曲線位于控制多邊形內，且λ 越小，曲線越靠近控制多邊形；當λ =-1 時，曲線為過3各控制頂點的插值多項式曲線，λ =1 時，曲線為連接首末端點的線段，且這些性質具有一般性.

圖3-3和圖3-4給出了λ =0.5,0.3,0,-1時的星形花瓣、六角形花瓣的應用實例.

本文所定義的帶形狀參數(shù)λ 的二次Bézier 曲線，當0 ≤λ ≤1 時，所生成的曲線位于二次Bézier曲線與連接控制頂點首末端點的線段之間，隨著形狀參數(shù)λ 的改變，可以調整曲線的形狀，當λ=-1時，所生成的曲線為插值控制頂點的二次多項式曲線.后續(xù)將進一步討論用（2）式定義一般的帶形狀參數(shù)的n次Bézier曲線，并討論其性質.

圖3-1

圖3-2

圖3-3 λ=0.5,0.3,-1

圖3-4 λ=0.5,0.3,0,-1