高考試題中的數(shù)學(xué)文化價(jià)值
——以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)I卷第4題為例

林文賢，林睿忻

（1.韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041；2.中南大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410012）

作為組成人類(lèi)文化與人類(lèi)文明的重要部分，數(shù)學(xué)文化對(duì)人類(lèi)歷史文化進(jìn)程產(chǎn)生了關(guān)鍵和重大的影響.數(shù)學(xué)文化是人類(lèi)文化中不可或缺的一部分，促進(jìn)了人類(lèi)的發(fā)展與繁榮，其文化內(nèi)涵豐富而深刻，為人類(lèi)認(rèn)識(shí)和改造自然奠定了思想和方法的基礎(chǔ).人類(lèi)的思想解放與數(shù)學(xué)文化密不可分，現(xiàn)代人類(lèi)文明的發(fā)展變化須臾也離不開(kāi)現(xiàn)代數(shù)學(xué)文化的發(fā)展進(jìn)步.

新中國(guó)建立初期，百?gòu)U待興，面臨很多新問(wèn)題，但中央人民政府非常重視基礎(chǔ)教育.中央人民政府教育部于1952年公布了《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》［1］.大綱明確要求：在教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)使學(xué)生注意數(shù)學(xué)在文化史上的巨大價(jià)值.但遺憾的是，多年以來(lái)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)側(cè)重于基本知識(shí)的傳授和基本技能的訓(xùn)練，教師的最大愿望和學(xué)生的主要任務(wù)就是追求高分，而對(duì)于如何揭示與剖析知識(shí)和技能背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，提升學(xué)生創(chuàng)造性思維能力等缺乏足夠的認(rèn)知和踐行.北京大學(xué)第26任校長(zhǎng)丁石孫教授曾說(shuō)：“我們長(zhǎng)期以來(lái)不僅沒(méi)有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的文化教育功能，甚至不了解數(shù)學(xué)是一種文化……這種狀況在相當(dāng)程度上影響了數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育”［2］.

令人欣喜的是，近些年來(lái)，這種情形正在悄然發(fā)生著變化，數(shù)學(xué)文化在課堂教學(xué)中的滲透正逐漸常態(tài)化.此外, 數(shù)學(xué)文化越來(lái)越引起數(shù)學(xué)高考命題專(zhuān)家的重視，每年高考試卷中，總有一些體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的試題，成為高考數(shù)學(xué)試卷的一道靚麗風(fēng)景線(xiàn)，并且對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮著春風(fēng)化雨、潤(rùn)物無(wú)聲的作用.數(shù)學(xué)文化因這些高考題目而頗受一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師的注重，而且由于數(shù)學(xué)文化的傳播，這些高考試題也成為經(jīng)典的考試試題，并被廣泛討論和流傳.

2019年高考文理科數(shù)學(xué)全國(guó)試題I卷第4題就是一道彰顯數(shù)學(xué)文化、凸顯了科學(xué)與人文兼顧的好題，真正把“立德樹(shù)人”作為高考命題的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力呈現(xiàn)，其立意深遠(yuǎn)、構(gòu)思精巧、內(nèi)涵豐富，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極的導(dǎo)向作用.一經(jīng)出現(xiàn)，就傳遍大江南北，深受考生、家長(zhǎng)、教師和網(wǎng)民的廣泛關(guān)注與熱評(píng)，也使數(shù)學(xué)文化得以廣為傳播.

1 試題呈現(xiàn)

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

2 試題背景

維納斯雕像（見(jiàn)圖1）是1820年2月希臘愛(ài)琴海的米洛斯島上的一位農(nóng)民伊奧爾科斯在刨地時(shí)挖掘到的一尊女姓雕像，出土?xí)r她分為上、下兩截，雙臂下垂，手撫衣衿，左手臂伸過(guò)頭，握著一個(gè)蘋(píng)果，并與臺(tái)座和一些斷片散落在田地下.當(dāng)時(shí)法國(guó)駐米洛斯的領(lǐng)事得知此事，立即與該農(nóng)民商議，要高價(jià)購(gòu)買(mǎi)此雕像，也得到同意.但由于領(lǐng)事手頭沒(méi)有那么多現(xiàn)金，只好連夜派人到土耳其君士坦丁堡向住在那兒的法國(guó)大使匯報(bào)與請(qǐng)示，大使立即作出決定同意收買(mǎi)雕像，并指派秘書(shū)帶齊足夠現(xiàn)金前往米洛斯島購(gòu)買(mǎi).不料天有不測(cè)風(fēng)云，農(nóng)民伊奧爾科斯突然變卦，并已將雕像賣(mài)給一位希臘商人，準(zhǔn)備裝船啟運(yùn).這時(shí)，對(duì)這件古希臘最偉大的藝術(shù)品情有獨(dú)鐘的法國(guó)人非常氣憤，當(dāng)即決定不惜代價(jià)武力奪取.英國(guó)得知這一消息，也派出軍艦前來(lái)爭(zhēng)搶.霎那間，平日寧?kù)o無(wú)比的米洛斯島因維納斯雕像而戰(zhàn)云密布，大動(dòng)干戈，刀光劍影，多方展開(kāi)了一場(chǎng)激烈交戰(zhàn)，在混戰(zhàn)中雕像被拋到地上，雙臂不幸摔斷，成為了現(xiàn)在的“斷臂維納斯”.

最終志在必得的法國(guó)人在爭(zhēng)搶中占了上風(fēng)，雕像被轉(zhuǎn)運(yùn)到法國(guó)艦艇上.后來(lái)法國(guó)人又把款項(xiàng)足額交到島上，正式辦理了買(mǎi)賣(mài)手續(xù).這樣，“斷臂維納斯”真正成為法國(guó)國(guó)家財(cái)產(chǎn).雕像順利運(yùn)抵巴黎時(shí)，全國(guó)上下一片沸騰，人們視之為國(guó)寶，并將其獻(xiàn)給法蘭西國(guó)王.

當(dāng)時(shí)雕像登記的名稱(chēng)是“在希臘群島中的米洛斯所發(fā)現(xiàn)的維納斯像”，簡(jiǎn)稱(chēng)為“米洛斯維納斯”，珍藏于法國(guó)國(guó)家博物館和藝術(shù)陳列館，就是著名的盧浮宮.米洛斯維納斯每年都吸引著數(shù)以萬(wàn)計(jì)來(lái)自世界各地的人們絡(luò)繹不絕地慕名前往一睹芳容.米洛斯維納斯已經(jīng)成為贊頌女性人體美的代名詞.這尊雕像表達(dá)的是古希臘理想美的觀念，其端莊秀麗，平靜安詳，高貴典雅，純潔神圣，身軀豐腴飽滿(mǎn)，充滿(mǎn)著青春、健美和充沛的生命力，令人嘆為觀止.

3 黃金分割

生活中并不缺少美，只是缺少發(fā)現(xiàn).自然界中美麗的蝴蝶，一片樹(shù)葉，生活中的蒙娜麗莎像，五角星圖、以及古埃及的金字塔、古希臘的雅典帕特農(nóng)神廟和法國(guó)巴黎的埃菲爾鐵塔等都給人以最優(yōu)美、最令人賞心悅目的視覺(jué)，為什么它們能令人有如此的感受呢？中世紀(jì)德國(guó)的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)指出：“幾何學(xué)中有兩大瑰寶，一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理，一個(gè)是黃金比.”

黃金分割其實(shí)是一種數(shù)學(xué)比例關(guān)系.傳說(shuō)是由公元前6世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在街上聽(tīng)到鐵匠鋪里的打鐵聲的節(jié)奏所發(fā)現(xiàn)，有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)涵著豐富的美學(xué)價(jià)值.黃金分割是指將整體分成兩部分，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，即較大部分成為整體部分和較小部分的比例中值.用數(shù)學(xué)式子表示為：

公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯對(duì)這個(gè)比例進(jìn)行系統(tǒng)研究，其研究成果被寫(xiě)進(jìn)公元前3世紀(jì)歐幾里得的《幾何原本》，成為最早有關(guān)黃金分割的論著.下面我們求此黃金比.

圖2

另外，黃金比可以寫(xiě)成連分?jǐn)?shù)形式，即

黃金分割被稱(chēng)為“黃金”分割，黃金比被稱(chēng)為“黃金”比，是形容這個(gè)“分割”和這個(gè)“比”在視覺(jué)上給人極大的愉悅感，非常難得，如黃金一樣珍貴.

4 試題解答

對(duì)于上面的試題，根據(jù)黃金分割理論有如下解法.

解法1：由于頭頂至脖子下端比頭頂至咽喉要長(zhǎng)，于是這個(gè)人咽喉至肚臍的長(zhǎng)度至多：26÷0.618=42（cm），肚臍至足底的長(zhǎng)度至多：（42+26） ÷0.618=110（cm），于是這個(gè)人身高至多為：110+42+26=178（cm）.又腿長(zhǎng)比肚臍至足底短，于是這個(gè)人的肚臍至頭頂?shù)拈L(zhǎng)度至少：105×0.618=64.89（cm），身高至少為：105+64.89=169.89（cm）.因而這個(gè)人身高應(yīng)該介于169.89cm 與178cm 之間，故選B.

由于黃金比的倒數(shù)近似等于1.618，于是得到下列解法：

解法2：這個(gè)人的身高至多為：26÷0.618×1.618÷0.618×1.618=178.218767（cm），身高至少為105×1.618=169.89（cm），故答案選B.

利用斐波那契數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之比近似等于0.618，于是得到下列解法：

解法3：由于頭頂至脖子下端為26 cm，其一半即為13 cm，正好是斐波那契數(shù)列的第7項(xiàng).假設(shè)這個(gè)人頭頂至咽喉的長(zhǎng)度為13 cm，則咽喉到肚臍的長(zhǎng)度為21 cm，于是頭頂至肚臍的長(zhǎng)度為34 cm，因而肚臍至足底的長(zhǎng)度為55 cm，故這個(gè)人身高至多為89 cm，因此這個(gè)人身高應(yīng)至多為89×2=178 cm.故答案選B.

5 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象，早已是人們的共識(shí)，美國(guó)數(shù)學(xué)史家M.克萊因（M.Kline）說(shuō)：“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門(mén)藝術(shù)或一種語(yǔ)言.數(shù)學(xué)更主要是一門(mén)有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對(duì)自然科學(xué)家、社會(huì)科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時(shí)影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說(shuō)；滿(mǎn)足了人類(lèi)探索宇宙的好奇心和對(duì)美妙音樂(lè)的冥想；甚至可能有時(shí)以難以察覺(jué)到的方式但無(wú)可置疑地影響著現(xiàn)代歷史的進(jìn)程.”20世紀(jì)80年代，北京大學(xué)的孫小禮和鄧東皋教授合編的《數(shù)學(xué)與文化》，武漢大學(xué)原校長(zhǎng)齊民友教授著的《數(shù)學(xué)與文化》中都指出了數(shù)學(xué)思維的文化意義，以及數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象的內(nèi)涵，肯定數(shù)學(xué)作為文化存在的價(jià)值，營(yíng)造數(shù)學(xué)文化的人文色彩.

現(xiàn)在，國(guó)際數(shù)學(xué)教育界己經(jīng)有了一種發(fā)展趨勢(shì)——數(shù)學(xué)文化教育，并將其體現(xiàn)在教材和課程上.美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（National Council of Teachers of Mathematics）于1989年公布了《學(xué)校數(shù)學(xué)課程評(píng)價(jià)規(guī)范》，強(qiáng)調(diào)應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的理解和數(shù)學(xué)交流的學(xué)習(xí)，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和合作精神，這些都是數(shù)學(xué)文化的領(lǐng)域.2000年，該協(xié)會(huì)進(jìn)一步提出了數(shù)學(xué)文化的要求.

2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中也明確提出對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求.2011 年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中.為此，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用、以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類(lèi)文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美.”［3］

2017年教育部頒布的數(shù)學(xué)高考大綱中明確了數(shù)學(xué)文化這一考點(diǎn)［4］.2018年1月頒布的的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》也指出：“數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)；將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，將有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開(kāi)拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”［5］

因此，自新課程標(biāo)準(zhǔn)改革以來(lái)，數(shù)學(xué)文化受到廣泛的關(guān)注［6-17］.對(duì)于基礎(chǔ)教育來(lái)說(shuō)，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生掌握必要的基本知識(shí)和技能，而且要讓他們了解數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，如數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神，學(xué)會(huì)理性地思維、嚴(yán)密地求證、準(zhǔn)確地表達(dá)、邏輯地推理、合理地量化等，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的獨(dú)特功能，進(jìn)一步提升育人價(jià)值，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落到實(shí)處，真正使學(xué)生終身受益.因而，在課堂教學(xué)中要力求揭示數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的形成經(jīng)過(guò)，暴露解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索過(guò)程.

總之，高考試題越來(lái)越重視數(shù)學(xué)文化.數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家和一線(xiàn)教師將越來(lái)越重視數(shù)學(xué)文化的培養(yǎng).只有這樣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的關(guān)注才會(huì)不知不覺(jué)地受到影響，一線(xiàn)教師也進(jìn)一步將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)結(jié)合起來(lái).