豎向均布荷載作用下拱形蜂窩梁的撓度研究

袁偉斌，周蒸鑫，余 峰

(浙江工業(yè)大學 土木工程學院，浙江 杭州 310023)

拱形蜂窩梁的開孔形狀有很多種，目前應用最廣泛的是腹板開六邊形孔和圓孔，相對于六邊形孔，圓孔蜂窩梁的開孔在一定程度上減輕了截面開孔區(qū)域的應力集中問題。近年來，國內外學者對曲梁和蜂窩梁進行了大量的研究，Sapountzakis等[1]考慮了耦合擴展、彎曲、扭轉、不均勻變形和剪切變形的影響，對曲梁進行了廣義彎曲分析。Arici等[2]提出曲梁翼緣中線上的剪切變形是導致開口和閉口薄壁構件在不均勻扭轉和截面畸變上理論差異的因素，并找到了解決該問題的方法。Tufekci等[3]分析了平面曲梁微分方程，考慮了軸向拉伸和剪切變形對曲梁穩(wěn)定的影響，建立了有限曲面梁的有限元公式。Soltani等[4]用有限元模型分析了開孔形狀分別為六邊形和八邊形的蜂窩梁的極限承載力。Daryan等[5]通過試驗和有限元模型模擬分析了簡支蜂窩梁的側扭屈曲和腹板局部屈曲。Martin等[6]研究了正弦波孔蜂窩梁的承載力性能。郭彥林等[7]研究了兩端固支鋼拱平面外穩(wěn)定的側向支撐剛度閥值，用能量法推導得出鋼拱平面外穩(wěn)定的剛度閥值，并用有限元模型加以驗證。吳曉等[8]根據彈性理論，提出了拉壓彈性模量不同對曲梁的平面應力及位移的影響。王培軍等[9]研究了不同開孔形式和腹板剪切變形對蜂窩梁屈曲性能的影響。趙滇生等[10]對蜂窩梁的強度和剛度進行了研究。袁偉斌等[11-13]從理論上研究了純彎作用下蜂窩梁的側向扭轉屈曲，并提出了不同邊界條件下的臨界荷載解析解。

2019年4月為止，拱形蜂窩梁力學性能的研究分析十分稀少，針對上述拱形蜂窩梁研究存在的問題，提出了能量法，并考慮腹板剪切變形的影響，推導豎向均布荷載作用下拱形蜂窩梁跨中撓度的理論計算公式，并研究腹板開孔尺寸、構件曲率和構件長度對撓度的影響。其次使用有限元方法，利用ABAQUS對相應尺寸的拱形蜂窩梁進行了幾何非線性分析，驗證理論的準確性。

1 曲梁物理模型和基本公式

拱形曲梁幾何尺寸如圖1所示，坐標系為柱坐標系，O為坐標系的原點，x軸為柱坐標系的極軸，z軸為柱坐標系高度。設構件翼緣寬度和厚度為bf和tf，腹板高度和厚度為hw和tw，α1和α2分別為拱形曲梁右端和左端的極角，H、L和R分別為拱形曲梁截面形心軸的拱高、跨長和曲率半徑，構件兩端簡支。q為豎向均布荷載值，e為曲梁截面中性層與形心軸的偏心距，θ和ρ分別為梁上任意點的極角和極徑。根據卡氏第二定理，在拱頂施加單位力F，取豎直向上為正。對于一般的梁構件，其應變能主要由截面正應變和切應變分別產生的應變能組成，其中截面上的薄膜力與彎矩共同作用產生正應變和截面上的剪力作用產生切應變。

圖1 拱形曲梁計算簡圖Fig.1 Calculation sketch of arched curved beams

構件任意截面上的平面內彎矩、軸力和剪力分別為

(1)

(2)

(3)

構件正應變能為構件上任意點正應變能密度的集合，即

(4)

將式(4)中的彈性模量E和曲梁截面面積A提出，將體積積分轉換為多重積分后，對ρ和z先積分并化簡得到正應變能表達式為

(5)

為了更精確地計算拱形曲梁的撓度，將簡化后的剪切應變能代入結構的總能量式中，再用能量法推導其撓度表達式，可以較精確地計算拱形曲梁的撓度。假設曲梁截面上切應力沿z軸方向均勻分布，根據切應力互等原理，從整體中取一微弧段，微弧段切割面上切應力大小相等，且微段兩端正應力方向相反可以疊加計算。根據以上假設，寬度為b的曲梁微段切割面上的切應力與截面兩端正應力的差值抵消能保持微段的受力平衡，則其平衡方程為

(6)

式中：τ為截面上的切應力，沿z軸方向均勻；b為曲梁微弧段寬度；A′為曲梁切割體的截面面積。因為研究的是淺曲梁，截面上不同極徑的微弧段可以用截面形心軸的微段代替，即ds≈Rdθ。根據式(1～3)換算得到簡支拱形曲梁在均布荷載作用下彎矩和軸力分別與剪力的對應關系為

(7)

(8)

取剪力與構件截面積的比值為截面平均切應力，并引入截面剪切放大系數，得到簡化后的曲梁截面切應力表達式為

τ=αsτ0

(9)

(10)

圖2 曲梁微段受力簡圖Fig.2 The stress on curved beam micro-segment

微弧段長度取截面形心軸的曲率半徑與曲梁微弧段的積，通過換算后得到曲梁截面剪切應變能表達式為

(11)

根據卡式第二定理計算曲梁跨中撓度，將假設的拱頂作用力F和均布荷載共同作用下的截面內力替換僅在豎向均布荷載作用下的構件內力，并將式(5，11)相加得到構件的總應變能為

(12)

(13)

設γ=α2-α1為曲梁所跨越的圓心角，先變分再分部積分得到等效剛度法計算的曲梁跨中撓度計算式為

(14)

2 拱形蜂窩梁跨中撓度的計算

圓孔拱形蜂窩梁尺寸如圖3(a)所示，采用柱坐標系，右端和左端的極角分別為α1和α2，梁截面形心軸的拱高、跨長和曲率半徑分別為H、L和R，構件兩端簡支。采用Timoshenko提出的等效抗彎剛度理論，將圓孔拱形蜂窩梁近似化處理，計算其等效慣性矩，以能量法推導的拱形曲梁跨中撓度計算公式為基礎，根據費氏空腹桁架理論計算其跨中撓度的近似解。

圖3 幾何參數簡圖Fig.3 Geometrical dimensions of arched castellated beam

圓孔拱形蜂窩梁腹板開孔如圖3(b)所示，孔間距g和開孔半徑r均取1/3hw，開孔的圓心在構件截面形心線上，其等效后的截面可看成由三部分組成的夾心梁，上翼緣和上部腹板連續(xù)的梁橋部分組成的T形截面和下翼緣與下部連續(xù)梁橋部分組成的T形截面可看作圓孔拱形蜂窩梁的“新翼緣”，腹板開洞部分截面可看成“新腹板”?！靶乱砭墶苯M成的空腹截面定義為空腹梁，其等效截面慣性矩根據I′=r0Ae計算為

Ik=rkAkek

(15)

式中：Ik為空腹梁截面的等效截面慣性矩；rk為空腹梁截面的中性層極徑值；Ak為空腹梁的截面面積；ek為空腹梁截面中性層與形心軸偏心距。定義與拱形蜂窩梁相同尺寸，腹板不開孔的梁為實腹梁，同理可以求得實腹梁的等效截面慣性矩為

Is=rsAses

(16)

式中：Is為實腹梁截面的等效截面慣性矩；rs為實腹梁截面的中性層極徑值；As為實腹梁的截面面積；es為實腹梁截面中性層與形心軸偏心距。圖3為扇形孔單元梁段，其綜合等效截面慣性矩可設為實腹梁和空腹梁沿弧長方向的均值，將g=r代入后，其綜合等效慣性矩為

(17)

同理可以求得拱形蜂窩梁綜合等效截面面積(圖4)為

(18)

圖4 腹板簡化示意圖Fig.4 Procedure of web simplify

由于圓孔拱形蜂窩梁與拱形曲梁所受荷載條件和邊界條件相同，兩者的內力分布也相同。圓孔拱形蜂窩梁的綜合等效慣性矩和綜合等效截面面積分別代替拱形曲梁等效慣性矩和截面面積，代入式(14)，得到豎向均布荷載作用下，圓孔簡支拱形蜂窩梁的跨中撓度計算式為

(19)

3 有限元分析

對拱形蜂窩梁有限元分析中，利用殼掃掠的方法建立模型，采用殼單元進行彈性分析，材料的屬性統(tǒng)一采用如下定義：彈性模量E=210 GPa，泊松比v=0.3，殼體材質均勻且為各項同性的彈性材料。拱形蜂窩梁模型為平面外簡支，左右端截面z軸方向位移設置為零，左端截面中心x，y軸位移為零；右端截面中心y軸位移為零，且上翼緣施加豎直向下的均布面荷載。采用10 mm×10 mm的網格尺寸，曲率控制的最大偏離因子為0.01。拱形蜂窩梁模型截面如表1所示。表1中：翼緣寬度為bf；翼緣厚度為tf；腹板高度為hw；腹板厚度為tw；蜂窩梁形心軸的曲率半徑為R；構件跨長為L；荷載為q。構件模型詳見圖5。

表1 拱形蜂窩梁截面參數表Table 1 Section parameters of arched castellated beams

圖5 有限元模型圖Fig.5 Finite element models

通過截面B、C與截面A的結果對比，在構件跨長和撓度關系圖(圖6～8)中：對于相同截面和曲率的構件，其跨中撓度的有限元解和理論解均隨跨長呈非線性增長趨勢；對于開孔為2/3腹板高度的構件，其理論解與有限元解比值隨跨長增大而增大，且小于1；對于腹板開孔為1/2腹板高度的構件，其比值隨跨長增大而減小，且始終處于1.07～0.97。由圖6～8還可知：曲率小，其理論解與有限元解的比值小，準確性好；當構件單元數較少時，開孔構件理論解相對于有限元解偏小且誤差較大，是因為在截面和曲率不變的情況下，構件長度越短，其跨高比越大，截面剪切變形的影響也隨之增大，筆者理論計算過程中，剪切應變能近似化計算過程的誤差可能會在這種情況下被放大，且在計算構件應變能時，對構件腹板孔洞進行了簡化，簡化后得到的綜合等效截面慣性矩和截面面積不能完全反應原始構件的相應力學性能。

圖6 拱形蜂窩梁跨長與撓度關系圖(模型A)Fig.6 Relationship between length and deflection(model A)

圖7 拱形蜂窩梁跨長與撓度關系圖(模型B)Fig.7 Relationship between length and deflection(model B)

圖8 拱形蜂窩梁跨長與撓度關系圖(模型C)Fig.8 Relationship between length and deflection(model C)

4 結 論

利用能量法求解的簡支拱形曲梁和簡支圓孔拱形蜂窩梁跨中撓度的計算公式準確性較好，能夠作為簡化撓度計算或驗證簡化計算公式的依據。蜂窩梁跨中撓度考慮剪切變形時的理論解數值較不考慮剪切變形的約大30%；腹板開孔尺寸對撓度計算公式的準確度有一定影響，尤其在高跨比較大時，小開孔組的筆者理論解最大值比大開孔組大約20%；曲率對筆者理論解的影響較小且不超過4%。理論計算中的假設與實際情況存在一定的差異，因此撓度的推導公式存在一定的誤差，通過等效剛度法和增加剪切能量項的方法，利用截面剪切變形對圓孔拱形蜂窩梁跨中撓度的影響，可以有效地提高撓度推導公式的準確性，使撓度值與有限元分析的結果比較吻合。