二元函數(shù)可導(dǎo)性與可微性的探討

王仲梅 ,孟獻(xiàn)青

（1.湖南工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410205；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

1 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及可微的概念

定義1如果，則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)。如果f(x,y)在區(qū)域D上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)。

定義2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作即類似地，函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為

定義3如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分，記為dz，即dz=AΔx+BΔy。

2 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及可微的重要定理

關(guān)于二元函數(shù)f(x,y)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微已有的相關(guān)定理。

定理1若z=f(x,y) 在點(diǎn)(x,y) 可微分，則z=f(x,y)在(x,y)處連續(xù)。

定理2若z=f(x,y) 在點(diǎn)(x,y) 可微分，則z=f(x,y)在(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在。

定理3若z=f(x,y)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，則z=f(x,y)在(x,y)處可微。

定理4如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)都在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi)，即二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求偏導(dǎo)的先后次序無(wú)關(guān)[1-3]。

3 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及可微的主要結(jié)論

結(jié)論1二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在，但在該點(diǎn)可能不連續(xù)。

例1函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)在。

解故f(x,y)在點(diǎn)(0,0) 處極限不存在、不連續(xù)；fx(0,0)=同理，fy(0,0)=0，故f(x,y) 在點(diǎn)(0,0) 處偏導(dǎo)數(shù)存在且fx(0,0)=fy(0,0)=0。

結(jié)論2二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在，但是在該點(diǎn)不可微。

例2函數(shù)在點(diǎn)(0,0) 處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在且fx(0,0)=fy(0,0)=0，但f(x,y)在(0,0)不可微。

解由夾逼定理有

點(diǎn)(0,0)處連續(xù)；又同理，fy(0,0)=0，故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在且fx(0,0)=fy(0,0)=0；而

不存在，故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微。

結(jié)論3二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微、但是偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，即定理3的逆命題不成立。

例3函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微，但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。

解故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)；

同理，fy(0,0)=0，故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在且fx(0,0)=fy(0,0)=0；又

故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微；

當(dāng)x2+y2≠0時(shí)，fx(x,y)=不存在，故不存在，所以fx(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)。

結(jié)論4二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的混合偏導(dǎo)數(shù)不一定相等。

例4函數(shù)fxy(0,0)，fyx(0,0)存在，但是不相等。

所以

類似可得fyx(0,0)=1。