氣墊導(dǎo)軌黏性阻尼系數(shù)和重力加速度的測量與分析

李玉珍 ,呂寶華

(1.運(yùn)城學(xué)院工科實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)中心,山西運(yùn)城 044000;2.運(yùn)城學(xué)院應(yīng)用化學(xué)系,山西運(yùn)城 044000)

氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中是比較常見的，它可以做許多力學(xué)中的常見實(shí)驗(yàn)，如牛頓第二定律的驗(yàn)證，速度和重力加速度的測量，碰撞實(shí)驗(yàn)等。對(duì)于實(shí)驗(yàn)精度要求不高，只作驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)的定性研究，可以近似為理想運(yùn)動(dòng)情況，但在嚴(yán)格情況下，通過實(shí)驗(yàn)測量值發(fā)現(xiàn)，需要對(duì)理想值進(jìn)行修正，修正項(xiàng)來自于空氣阻力，好多學(xué)者對(duì)其修正公式和相關(guān)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了研究[1-6]。本文考慮了修正項(xiàng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，通過實(shí)驗(yàn)測量了空氣阻力的粘黏阻尼系數(shù)，以及在考慮空氣阻力情況下測量了當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

1 實(shí)驗(yàn)原理

滑塊在氣軌上運(yùn)動(dòng)受有與速度成正比的空氣阻力，在兩光電門之間的平均阻力[7]

其中，b為黏性阻尼系數(shù)，vA、vB分別為滑塊在兩個(gè)光電門處的速度。

在調(diào)平的導(dǎo)軌上，滑塊運(yùn)動(dòng)過程中所受合力即為阻力，由功能原理得

其中，s為兩光電門之間的距離，則

考慮到調(diào)平的導(dǎo)軌上滑塊從兩個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)的速度損失ΔνAB,將（3）式改寫為

調(diào)平氣軌后，將氣軌一端墊高h(yuǎn)，氣軌下兩支腳間距離為L，當(dāng)滑塊從傾斜氣軌上下滑時(shí)，視為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩光電門之間的距離為s，滑塊在兩個(gè)光電門的速度分別為vA、vB，滑塊由光電門A到光電門B所用時(shí)間為t，滑塊的加速度為a。上滑時(shí)視為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，兩光電門之間的距離為s′，由光電門B到光電門A所用時(shí)間為t′，滑塊的加速度為a′。

設(shè)氣軌傾斜角為θ，則根據(jù)牛頓第二定律，下滑時(shí)：

上滑時(shí)：

當(dāng)s=s′時(shí)，聯(lián)立(5)式和(6)式有

當(dāng)s≠s′時(shí)，聯(lián)立(5)式和(6)式有

2 實(shí)驗(yàn)介紹及數(shù)據(jù)處理

本實(shí)驗(yàn)使用氣墊導(dǎo)軌簡圖如圖1所示，主要測量數(shù)據(jù)t,v,a由J0201-CHJ存儲(chǔ)式數(shù)字毫秒計(jì)測量，m用電子天平測量。安裝好實(shí)驗(yàn)儀器，正確接好毫秒計(jì)和光電門之間的連線，并使它們處于正常工作狀態(tài)。導(dǎo)軌水平時(shí)測速度由功能鍵選擇S2鍵測出滑塊經(jīng)過兩光電門時(shí)的速度，數(shù)據(jù)見表1。將導(dǎo)軌墊高3 cm，滑塊在傾斜氣軌上下滑、上滑時(shí)，我們選擇功能鍵a，可以依次記錄滑塊經(jīng)過光電門A的時(shí)間(光電門第一前沿和第二前沿間距1 cm），由光電門A到光電門B所用的時(shí)間，經(jīng)過光電門B的時(shí)間，經(jīng)過光電門A、B的速度，以及滑動(dòng)過程的加速度。傾斜氣墊導(dǎo)軌如圖2。

圖1 氣墊導(dǎo)軌水平時(shí)簡圖

圖2 氣墊導(dǎo)軌傾斜時(shí)簡圖

下滑過程，主要測量固定點(diǎn)自由下滑，這時(shí)導(dǎo)軌受到人為震動(dòng)是最小的，導(dǎo)軌是最穩(wěn)定的，測量數(shù)據(jù)也是最準(zhǔn)確的。本實(shí)驗(yàn)在兩個(gè)不同的s值下，測量了數(shù)組滑塊自由下滑的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。具體測量數(shù)據(jù)見表2，3，4。表2是在s相同，滑塊上滑和下滑平均速度近似相等情況下的測量數(shù)據(jù)以及b和g的計(jì)算值。在這里，我們通過t觀察是否近似相等。表3是在s相同，上滑和下滑平均速度不等情況下的測量數(shù)據(jù)以及b的計(jì)算值。表4是在s不同，上滑和下滑平均速度vˉ不等情況下的測量數(shù)據(jù)以及b的計(jì)算值。

同時(shí)，將測量所得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用Origin作了滑塊滑動(dòng)過程的加速度隨經(jīng)過兩光電門間距所用時(shí)間的關(guān)系圖（以下簡稱a-t關(guān)系圖），見圖3和4。圖3是滑塊在傾斜氣墊導(dǎo)軌上下滑，上滑及理想運(yùn)動(dòng)（只考慮重力作用）時(shí)的a-t曲線，此時(shí)t值取得相對(duì)集中。圖4是滑塊在傾斜氣墊導(dǎo)軌上下滑時(shí)的a-t曲線，t的取值范圍較廣，從600～1120 ms。

圖3 s 相同時(shí)a-t 關(guān)系圖

圖4 s不同時(shí)下滑a-t 關(guān)系圖

3 結(jié)果與討論

表1 滑塊在水平氣軌上滑行時(shí)的v 和b 值

表2 傾斜氣軌上，s相同近似相等上下滑各物理量值

表2 傾斜氣軌上，s相同近似相等上下滑各物理量值

表3 傾斜氣軌上，s相同不等上下滑各物理量值

表3 傾斜氣軌上，s相同不等上下滑各物理量值

表4 傾斜氣軌上，s不同不等上下滑各物理量值

表4 傾斜氣軌上，s不同不等上下滑各物理量值

根據(jù)表1～4的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，氣墊導(dǎo)軌水平時(shí)求得黏性阻尼系數(shù)b值較小，氣墊導(dǎo)軌傾斜時(shí)求得的b值較大，都在2.5～5這個(gè)范圍，由此可以看出本文的實(shí)驗(yàn)測量方法是比較可行的，可以測出合理的黏性阻尼系數(shù)b。

由圖3可以看到滑塊在下滑時(shí)的加速度小于理想情況的加速度gsinθ，上滑時(shí)的加速度絕對(duì)值大于理想情況的加速度，這與理論很吻合。我們知道，下滑時(shí)滑塊所受重力向下，空氣阻力向上，所以加速度比理想值小，而在上滑時(shí)滑塊受重力與空氣阻力都是向下，所以比理想值大。

由圖4可以看到滑塊在下滑時(shí)的a-t變化趨勢，無論是s=35.41 cm還是s=39.43 cm，隨著時(shí)間t的增加，加速度值也在增加。加速度的增加意味著受到的作用力增大，而重力分量不變，變化的是與速度有關(guān)的空氣粘滯阻力，隨著時(shí)間增大，下滑平均速度減少，空氣粘滯阻力減少，下滑加速度增大，與理論相一致。

對(duì)稱操作補(bǔ)償法抵消阻力，在測量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中選取與下滑時(shí)平均速度近似相等的，也就是在s相等的情況下，經(jīng)過兩光電門間距所用時(shí)間t是基本相等的。根據(jù)表2中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用(9)式計(jì)算得當(dāng)?shù)刂亓铀俣绕骄禐?9.7963 m/s2。理論計(jì)算地球表面重力加速度公式為[8]：

g0為標(biāo)準(zhǔn)重力加速度，其值為9.80665；φ為測量點(diǎn)緯度，h為測量點(diǎn)海拔高度，R為地球平均半徑，其值為6370 km；由GPS檢測得到運(yùn)城學(xué)院的緯度為35.12626°，海拔399.2 m，計(jì)算得當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間=9.7842 m/s2。實(shí)驗(yàn)測量值與理論計(jì)算值的絕對(duì)誤差為0.0121，相對(duì)誤差為0.12%。與理論值非常接近。說明這種方法可以準(zhǔn)確測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。而且公式中用到的量都來自于直接測量量。只要測量時(shí)減少人為誤差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可行性較高，可以在學(xué)生實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用。