逆向分析，一招制勝
——有試驗(yàn)終止條件的事件的概率求法

余建國(guó)

例1(2019年全國(guó)Ⅰ理科卷第15題)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0．6，客場(chǎng)取勝的概率為0．5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1 獲勝的概率是____．

破題“甲隊(duì)以4∶1 獲勝”意味著什么？

這其實(shí)就是指甲隊(duì)通過5 場(chǎng)比賽獲得了勝利，并且甲隊(duì)第5 場(chǎng)(主場(chǎng))比賽獲勝，前四場(chǎng)(兩個(gè)客場(chǎng)、兩個(gè)主場(chǎng))對(duì)乙隊(duì)的戰(zhàn)績(jī)是三勝一負(fù)．

解析由于主客場(chǎng)勝率不一樣，前四場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率分布還不是“二項(xiàng)分布”，于是再進(jìn)行更細(xì)致的分類．

記“甲隊(duì)第5 場(chǎng)(主場(chǎng))比賽獲勝”為事件A，則P(A)=0.6；記“甲隊(duì)前四場(chǎng)比賽三勝一負(fù)”為事件B，由于各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，由表1 可知，P(B)=2[(1－0.6)×0.6×0.52+0.62×(1－0.5)×0.5]=0.3．

由于各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，“甲隊(duì)以4:1 獲勝”即為事件AB，所以P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.3=0.18．

例2(2019年全國(guó)Ⅱ理科卷第18題)11 分制乒乓球比賽，每贏一球得1 分，當(dāng)某局打成10:10 平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2 分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0．5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0．4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10:10 平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．

表1

（1）求P X(2)=；

（2）求事件“X=4 且甲獲勝”的概率．

破題第（1）小題，事件“X=2”是什么意思呢？

這其實(shí)是指10∶10 平后，兩人又打了2 個(gè)球該局比賽結(jié)束．根據(jù)比賽規(guī)則，更清楚地講，這2 個(gè)球均由甲得分(甲先發(fā)一球，乙后發(fā)一球)，從而該局比賽以甲對(duì)乙12∶10結(jié)束；或者這2 個(gè)球均由乙得分(甲先發(fā)一球，乙后發(fā)一球)，從而該局比賽以甲對(duì)乙10∶12 結(jié)束．

解析（1）“X=2”是兩個(gè)互斥事件“2 個(gè)球均由甲得分”與“2 個(gè)球均由乙得分”的和，因而P(X=2)=0.5×0.4+(1 -0.5)×(1 -0.4)=0.5．

解析（2）“第1、2 球甲一勝一負(fù)”并不是二項(xiàng)分布概型．記“第1、2 球甲一勝一負(fù)”為事件A，“第3、4 球均為甲勝”為事件B，則“X=4 且甲獲勝”就是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A與B的積，即“X=4 且甲獲勝”=AB．由題意，P(A)=0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4=0.5，P(B)=0.5×0.4=0.2，所以P(AB)=0.5×0.2=0.1，事件“X=4且甲獲勝”的概率為0.1．

破題第（2）小題，事件“X=4且甲獲勝”意味著什么呢？

這其實(shí)就是指10∶10 平后，兩人又打了4 個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4 個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1 分，后兩球均為甲得分，對(duì)甲而言，實(shí)際比分是13∶11．

例3（蘇教版2-3“探究?拓展”題）袋中有7 個(gè)白球，3 個(gè)紅球，每次從中任取1 個(gè)，直到取到白球?yàn)橹梗畬?duì)應(yīng)于下面兩種取法，分別求取球的次數(shù)X的概率分布：

（1）取到的紅球不放回；

（2）取到的紅球放回．

解析（1）逆向分析每一個(gè)事件，可得取球的次數(shù)X的概率分布為表2．

（2）記“取到紅球”為事件A，于是有，則“取到白球”為事件．

取球的次數(shù)X的概率分布為表3．

我們知道，概率分布表有個(gè)特點(diǎn)：

p1+p2+…+pn=1．

那么表3 中的概率和又為多少呢？其意義是什么？

這里用到了無窮遞縮等比數(shù)列(公比q滿足)求和公式．p和=1 表明，無限次取下去，終有一次取到白球．

破題第（1）小題，由于取到的紅球不放回，且紅球只有3 個(gè)，所以第4 次一定取到白球，X=1,2,3,4.

表2

破題第（2）小題由于沒有“強(qiáng)行終止”條件，理論上講，取球游戲可以無限進(jìn)行下去，即X=1，2，…，n，….

表3

敲黑板

在有試驗(yàn)終止條件的事件的概率問題中，只要仔細(xì)分析終止條件，逆向追溯，將所求概率的事件分解為若干互斥事件的和或獨(dú)立事件的積，就能準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化，順利求解．