玩轉(zhuǎn)高考題
——圓錐曲線幾何性質(zhì)篇

蘇玖

高考題（2019年全國III 卷第10題）雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|=|PF|，則△PFO的面積為（ ）

點(diǎn)撥本題先求出雙曲線的漸近線方程，再求出△POF的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求解面積即可．△PFO實(shí)質(zhì)是等腰三角形，如果沒有指定那兩條邊相等，請(qǐng)看改編題1．

圖1

改編1

雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△PFO為等腰三角形，則△PFO的面積為___________________．

點(diǎn)撥利用分類討論思想求解，關(guān)鍵是哪兩條邊相等.如果已知三角形面積能否求雙曲線方程呢？請(qǐng)看改編題2.

改編2

已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在方程為的漸近線上，Rt△PFO的面積為，求雙曲線的方程．

點(diǎn)撥由于不知道哪個(gè)角是直角，于是利用分類討論思想求解．如果已知雙曲線的漸近線方程，可以求離心率．而幾何條件可以由向量相關(guān)知識(shí)給出，請(qǐng)看改編題3．

改編3

已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在方程為bx-ay=0的漸近線上，點(diǎn)M為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，且，求雙曲線的離心率．

點(diǎn)撥先進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，化簡(jiǎn)已知條件．在近幾年的全國高考試卷中，平面向量與圓錐曲線整合的試題屢見不鮮，請(qǐng)看改編題4.

改編4

已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q分別在兩條漸近線上，若，且．求雙曲線的離心率．

點(diǎn)撥本題抓住雙曲線的對(duì)稱性，得出P與Q關(guān)于y軸對(duì)稱，于是，可以判斷四邊形OFPQ為平行四邊形，再利用向量數(shù)量積找出a，b的關(guān)系，從而求出離心率．OFPQ實(shí)質(zhì)是菱形，給出菱形面積，也可以求雙曲線方程，請(qǐng)看改編題5.

圖2

改編5

已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q分別在兩條漸近線上，若菱形OFPQ的面積為，求雙曲線的方程．

點(diǎn)撥本題菱形是四邊形與兩條漸近線相交產(chǎn)生的．類似地，由圓、拋物線與漸近線相交產(chǎn)生線段長(zhǎng)問題，同學(xué)們可以自己探索．

答案與解析

原題A．

改編1設(shè)，分三種情況：（1）PO=PF，即原題；（2）若PO=OF，則，故；（3）若PF=OF，利用線段OP的中垂線方程為，解之得．故．綜上所述，△PFO的面積為或或．

改編2（1）當(dāng)∠FPO=90°時(shí)，由雙曲線性質(zhì)得．又因?yàn)椋庵?，b=4．（2）當(dāng)∠PFO=90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因此，解之得．綜上所述雙曲線的方程為或．

改編3取OF的中點(diǎn)D，，由題意得，所以，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.又，所以，即．所以，故．

改編4因?yàn)?，所以四邊形OFPQ為平行四邊形，設(shè)，則，于是2x0=c，即，所以．又因?yàn)?，所以，即，即，所以e=2．

另解：首先判斷四邊形OFPQ為菱形，于是∠=∠FOPQOP，又因?yàn)椤螾OF與∠QOF互補(bǔ)，所以，即，故離心率為2．

改編5由改編題4 知，OP=2a，F(xiàn)Q=2b，因此，于是．又因?yàn)?，所以a=1，，故雙曲線方程為．

同學(xué)們可以試試改編下面的高考題，先不看后面的改編題哦！

小試牛刀

題目（2019年全國II 卷第11題）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點(diǎn)，若PQ=OF，則C的離心率為（ ）

圖3

改編題：已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，曲線E：與漸近線bx±ay=0相交于P，Q兩點(diǎn)（分別在第一、四象限），若PQOF=λ，（1）求C的離心率；（2）若，求C的離心率的取值范圍；（3）當(dāng)a≠b時(shí)，求E的離心率e0．

（3）當(dāng)0<λ<1時(shí)，；當(dāng)1<λ<時(shí)，.