認(rèn)真審題，選擇順序，輕松解題
——一道習(xí)題的解法及啟示

邵一明

今天老師讓我上黑板板書了一道習(xí)題，這是一道橢圓中直線求斜率的題目.老師看了我的板書后，表?yè)P(yáng)了我的解題方法，我很高興.仔細(xì)想來(lái)，我在解題過(guò)程中有一些體會(huì)，與大家分享.

【問(wèn)題呈現(xiàn)】

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C的右準(zhǔn)線方程為x=4，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，斜率為2的直線l經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，且點(diǎn)F到直線l的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點(diǎn)P，當(dāng)B，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線時(shí)，試確定l的斜率.

【解題經(jīng)歷】

●分●析 本題是一道比較簡(jiǎn)單的求橢圓方程和直線斜率的題目.題目看似簡(jiǎn)單，但我認(rèn)為內(nèi)涵豐富.第（1）問(wèn)考查橢圓方程求法，屬基礎(chǔ)題，利用待定系數(shù)法易求出橢圓方程為.第（2）問(wèn)，我一看到題目就想到先設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是就有了如下解法：

●解●法●1 設(shè)直線方程為y=k（x-2），

代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得（3+4k2）x2-16k2x+（16k-12）=0，

因?yàn)锽，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，又已知，

解題結(jié)束，回顧解題過(guò)程，我覺(jué)得很煩瑣，想起數(shù)學(xué)老師每次講完一道題總會(huì)問(wèn)我們一句：“你們還有其他什么方法嗎？”那這道題，除此解法，還會(huì)有什么簡(jiǎn)潔的方法嗎？我仔細(xì)看了一眼插圖，當(dāng)看到B，F(xiàn)，P三點(diǎn)時(shí)，忽然想起“當(dāng)B，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線時(shí)”我豁然開(kāi)朗，點(diǎn)B，F(xiàn)坐標(biāo)是已知條件，lBF：顯而易見(jiàn)，由此我想到了以下解法：

又因?yàn)锳（2，0），所以.

圖2

【反思感悟】

此題雖然不算太難，但我總認(rèn)為能有多種解題方法的題目都不失為一種好題目.解題過(guò)程中，我還得出一些感悟：解題不要漏看題目中的插圖，好的圖形有助于打開(kāi)解題思路.解題除了可以用常規(guī)思路求解，還要學(xué)會(huì)反思，在反思中提高數(shù)學(xué)思維能力，在反思中找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

【老師點(diǎn)評(píng)】

解析幾何的運(yùn)算是不少高中學(xué)生所懼怕的，這里既有題目的難易因素，也有做題的心理因素.邵一明同學(xué)在練習(xí)時(shí)能夠沉著冷靜，注意觀察題目的條件和圖形結(jié)構(gòu)，選擇了第二種方法，順利解出了本題.從中同學(xué)們能夠得到什么啟發(fā)呢？

（邵一明，江蘇省興化中學(xué)高三（6）班；指導(dǎo)老師：徐永忠）

本期“牛刀小試”“真題練”參考答案

P9“真題練”：1.（1）2或6；（2）存在定點(diǎn)P（1，0），過(guò)程略.

P38“牛刀小試”：（1）1；（2）｛1｝；（3）略.

改編1：（1）｛x|-2≤x≤3｝；（2）（-∞，-6］∪［2，+∞）.