習(xí)題講評(píng)應(yīng)注重思維的提升

沈俊

[摘? 要] 無論是數(shù)學(xué)教學(xué)還是復(fù)習(xí)迎考，習(xí)題講評(píng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中都處于十分重要的位置，它是知識(shí)技能的綜合，它是知識(shí)水平的升華，它是解題能力的體現(xiàn)，它是思維能力的展現(xiàn). 文章詳細(xì)記述了多個(gè)例題的解析過程，教師從思維過程的暴露、多元表征的重視、解題方法的歸納等三個(gè)方面入手，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);習(xí)題講評(píng);思維品質(zhì);提升

習(xí)題講評(píng)是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要組成部分，習(xí)題的有效講評(píng)成為教育工作的重心，可以充分激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性，有助于學(xué)生思維能力的提升.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅是模仿和記憶，更需要的是思維和感悟，數(shù)學(xué)思維能力作為核心素養(yǎng)中首屈一指的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的本源需要，是問題解決的需要. 因此，在習(xí)題講評(píng)時(shí)教師需將思維的提升置于首位.那么如何解決這一難題呢？筆者通過本文進(jìn)行了方法的探究和思考.

暴露思維突破思維障礙

在數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)中，教師需強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體意識(shí)，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的探究精神，讓學(xué)生充分暴露自身原有的思維過程，這樣一來，對(duì)于思維障礙的突破會(huì)起到出其不意的效果.當(dāng)然，習(xí)題講評(píng)中思維暴露的方法多種多樣，如可以通過診斷性題目的講解，或是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型錯(cuò)誤的討論，讓學(xué)生在表達(dá)和探討中充分暴露思維過程，達(dá)到突破思維障礙的目的，也在一定程度上可以有效防止消極思維定式的形成.

例1：已知二次函數(shù)f（x）=ax2-4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），那么+的最小值為________.

這是一道得分率較高的填空題，全班做錯(cuò)的學(xué)生寥寥無幾，在試卷講評(píng)的過程中，筆者請(qǐng)學(xué)生講解一下自己的解題思路，而結(jié)果卻出乎意料，盡管學(xué)生都可以解出正確答案，而解題思路卻是漏洞百出.以下為一名學(xué)生的解題過程：

因?yàn)槎魏瘮?shù)f（x）=ax2-4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），則有f（x）≥0，所以Δ=16-4ac≤0，則ac≥4.

所以+≥+=+=.

因?yàn)閍c≥4，所以a2+c2≥2ac≥8，a+c≥2≥4，所以≥=，故最小值為.

通過學(xué)生解題過程的展示，可以發(fā)現(xiàn)以下兩處錯(cuò)誤：

（1）f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），有Δ=16-4ac≤0. 此處不難看出，這是典型的思維定式下給出的解答，當(dāng)學(xué)生看到f（x）≥0就想當(dāng)然地認(rèn)為需遵循f（x）≥0恒成立，從而運(yùn)用“二次不等式恒成立”這一知識(shí)點(diǎn)來解答，致使這樣的錯(cuò)誤出現(xiàn).當(dāng)將此錯(cuò)誤指出的時(shí)候，該學(xué)生滿是驚訝，想必已經(jīng)被此思維定式造成的錯(cuò)誤困擾多時(shí).本題中f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），則可以轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值=0，即ac=4.

（2）從ac≥4，a2+c2≥8，a+c≥4，可得≥，此處是源于不等式性質(zhì)的應(yīng)用錯(cuò)誤導(dǎo)致的.而很明顯，這一錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生在解答到這一步的時(shí)候突然找不到突破口，于是乎就將數(shù)字直接代入，反正填空題也僅僅是呈現(xiàn)結(jié)果而已，對(duì)過程并無要求.

還有其他錯(cuò)誤嗎？從其他學(xué)生的答案中才知道，還有一些學(xué)生得出ac=4之后，居然將a=c=2直接代入并求出結(jié)果，問及這樣解答的原因時(shí)，學(xué)生都不知所措.

以下為本題的正確解題過程：

因?yàn)閒（x）=ax2-4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），所以a>0，所以=0，即ac=4. 所以+=+==-.

因?yàn)閍c=4，a>0，所以c>0，a+c≥2≥4，從函數(shù)y=-在[4，+∞）上單調(diào)遞增，可得-≥，故最小值為.

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師在進(jìn)行習(xí)題講評(píng)時(shí)，會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生去講解和點(diǎn)評(píng)，在暢談思路中將其真實(shí)思維過程盡數(shù)展示，從而便于思維障礙的有效突破.而很明顯，以上案例中也正是通過思維過程的暴露，才最大限度地將學(xué)生的隱形錯(cuò)誤挖掘出來，消除了思維障礙的延續(xù).

多元表征優(yōu)化動(dòng)態(tài)思維

在解題教學(xué)中，若解題思路僅僅局限于單一型的思維模式，便無法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力. 多元表征對(duì)學(xué)生解題思路的形成具有極其重要的影響，它是學(xué)生解決問題的基石，也是解決問題中的信息儲(chǔ)存與加工的有效表現(xiàn). 多元表征可以有效拉長(zhǎng)學(xué)生解決問題的思維長(zhǎng)度，可以激活學(xué)生已有的知識(shí)體系，形成多種解題思路. 因此，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)充分誘發(fā)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、分析和聯(lián)想，從而尋求多種途徑解決同一問題的思路，并通過比較和歸納最終提煉出最優(yōu)解法，發(fā)散學(xué)生的思維，優(yōu)化學(xué)生的解題思路.

例2：設(shè)x，y∈R，證明：+>.

方法1：變形原不等式. 可以先將不等式左邊視為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)A（8，3），B（2，-5）的距離和，而后去求AB的距離，再根據(jù)“三角形的三邊關(guān)系”即可得證.

方法2：溝通方法1，不難聯(lián)想到橢圓的定義，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為a，且A，B為兩焦點(diǎn)，令+=2a，而2c=10，但有2a>2c，從而必定大于，得證.

方法3：聯(lián)想“向量模的形式”，則可以想到用向量不等式進(jìn)行求證. 令a=（x-8，y-3），b=（x-2，y+5），則有a+b>a-b=10>，得證.

本案例中，引領(lǐng)學(xué)生去觀察、去思考、去聯(lián)想，從而在全方位和深層次的思考中，打開了學(xué)生的思路，在最廣闊的解題范圍內(nèi)應(yīng)用幾何不等式、橢圓和向量的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題. 通過以上三種不同的解題方法，充分展現(xiàn)了多變的解題思路，更具體呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性.讓學(xué)生在思考的過程中，在對(duì)問題的辨析中，在不同解法的不斷轉(zhuǎn)換中，增強(qiáng)了思維的參與程度，提高了解題能力，使思維品質(zhì)得到有效培養(yǎng).

方法歸納提升思維品質(zhì)

高中時(shí)期學(xué)生的學(xué)習(xí)科目眾多，學(xué)生獲取知識(shí)的途徑較為單一，題海戰(zhàn)術(shù)是高中教師實(shí)施解題教學(xué)的“慣用伎倆”，而在這個(gè)過程中，學(xué)生僅僅是圍繞教師思維打轉(zhuǎn)，無法形成自己的數(shù)學(xué)思考，甚至于不少學(xué)生會(huì)陷入一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)定教師的解題思路就是最優(yōu)方法，學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力缺失. 因此，這就要求廣大數(shù)學(xué)教師在學(xué)生的解題過程中，不僅僅是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題，還需引導(dǎo)學(xué)生去感悟和提煉解題過程中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)去歸納、總結(jié)和提煉，讓學(xué)生在習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)技能的同時(shí)，獲得數(shù)學(xué)思想方法，從而使學(xué)生能力的提升水到渠成.

例3：已知方程2sin2x-cosx-a=0有實(shí)根，試求出參數(shù)a的取值范圍.

思路探究：學(xué)生經(jīng)過思考，不少學(xué)生令t=cosx，從而將原方程轉(zhuǎn)化為2t2+t+a-2=0，且t∈[-1，1]，則可以將原題轉(zhuǎn)化為方程2t2+t+a-2=0在[-1，1]內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，試求出a的取值范圍.

解法1：從t=，可得-1≤≤1或-1≤≤1，可得-1≤a≤.

此解法的關(guān)鍵在于三角方程向代數(shù)方程的轉(zhuǎn)化.利用方程的根與范圍，改造不等式，結(jié)合解不等式，終于獲得突破，從而彰顯了轉(zhuǎn)化思想.而后，筆者適時(shí)追問：“還有其他解法嗎？”學(xué)生躍躍欲試，最后達(dá)成共識(shí)，將原方程轉(zhuǎn)換為函數(shù)，并在自主探究中形成了多種解法的精彩場(chǎng)面.

解法2：將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題：求函數(shù)a=-2t2-t+2，t∈[-1，1]的值域，經(jīng)過思考不難得出結(jié)果-1≤a≤.

該思路借助分離參數(shù)轉(zhuǎn)化原題為求函數(shù)值域問題，很快奏效，進(jìn)一步明確了方程與函數(shù)的關(guān)系.

解法3：將原題轉(zhuǎn)化為：直線y=a與拋物線y=-2t2-t+2，t∈[-1，1]相交，試求出a的取值范圍. 利用數(shù)形結(jié)合，又獲得一解，得出結(jié)果-1≤a≤.

解法4：設(shè)將原題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f（x）=2x2+x+a-2在[-1，1]內(nèi)與x軸有交點(diǎn)，試求出a的取值范圍. 結(jié)合函數(shù)圖像，得出f（x）min≤0，f（1）≥0，解得-1≤a≤.

“數(shù)”上構(gòu)“形”，讓知識(shí)具體化和形象化，解決“數(shù)”的問題. 數(shù)形結(jié)合思想有效結(jié)合數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形，使“數(shù)”與“形”各展其長(zhǎng)，架起邏輯思維和形象思維之間的橋梁，從而順利、有效地解決問題.

此案例中借助一題多解，引領(lǐng)學(xué)生多方位、多角度進(jìn)行思維活動(dòng)，潛移默化中實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用，從而有效提高了學(xué)生的思維品質(zhì).

總之，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維的科學(xué)，學(xué)生思維品質(zhì)的靈活性、廣闊性、深刻性等都需通過分析和解決問題表現(xiàn)出來. 當(dāng)然，在習(xí)題講評(píng)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)不是一蹴而就的，只有讓數(shù)學(xué)思維始終浸潤(rùn)在習(xí)題講評(píng)過程中，學(xué)生才能充分體會(huì)到數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能感覺到數(shù)學(xué)是富有魅力的，才能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，從而達(dá)到真正提升學(xué)生思維水平的目的.