基于具體形式下的現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀念的數(shù)學(xué)解題

蔣玲

[摘? 要] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究離不開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)觀念的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也必然是在一定的數(shù)學(xué)觀念（又稱(chēng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)）下的學(xué)習(xí).在我國(guó)，考試是學(xué)生學(xué)習(xí)成果的重要檢測(cè)方式，因此“會(huì)解題”就變得格外重要，數(shù)學(xué)觀念與解題之間的關(guān)聯(lián)便成為重要的研究方向.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)觀念;數(shù)學(xué)素養(yǎng);解題;數(shù)學(xué)思維

關(guān)于解題，波利亞與舍費(fèi)爾德有著矚目的研究，但是由于他們著作中的案例都與當(dāng)今數(shù)學(xué)課程內(nèi)容相去甚遠(yuǎn)，雖然在學(xué)術(shù)界影響頗大，但是對(duì)于一線的教師，特別是我國(guó)的一線教師，還不能夠很好地應(yīng)用其理論，因此，我們應(yīng)當(dāng)結(jié)合當(dāng)代數(shù)學(xué)課程、結(jié)合當(dāng)代數(shù)學(xué)的教學(xué)特點(diǎn)、結(jié)合當(dāng)代學(xué)生的特點(diǎn)，將這些卓越的數(shù)學(xué)教育思想與中國(guó)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來(lái)，形成現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)教學(xué)思想.

我國(guó)現(xiàn)代教育中的數(shù)學(xué)觀念

數(shù)學(xué)觀念是一個(gè)開(kāi)放的、不斷發(fā)展的觀念，是人類(lèi)社會(huì)活動(dòng)的產(chǎn)物，因此，在“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念下，教育部引領(lǐng)一批優(yōu)秀的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家充分借鑒國(guó)際課程改革的優(yōu)秀成果，提煉出適合我國(guó)學(xué)生應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)發(fā)展的符合現(xiàn)代化人才培養(yǎng)需要的數(shù)學(xué)觀念.

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》第一次明確提出了“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，指出：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)”，在對(duì)教學(xué)活動(dòng)的認(rèn)識(shí)中強(qiáng)調(diào)：“通過(guò)有效的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.”使學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、思維的訓(xùn)練、技能的提升的過(guò)程中逐步形成良好的數(shù)學(xué)觀念，同時(shí)通過(guò)已經(jīng)形成的或正在形成的數(shù)學(xué)觀念反過(guò)來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)行調(diào)整、定向，直至向更高層次推進(jìn);也即在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)觀念可以看作數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的產(chǎn)物，亦可作為思維活動(dòng)的催化劑.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》更是聚焦“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，發(fā)展“三會(huì)”：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界. 這些行為表現(xiàn)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)的抽象、推理、建模、運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)化于人的結(jié)果. 我國(guó)的高中生，普遍處于16-18歲的年齡，正是瘋狂接受知識(shí)、學(xué)習(xí)的黃金年齡，因此作為義務(wù)教育階段后普通高級(jí)中學(xué)主要課程的高中數(shù)學(xué)課程，其數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)從以升學(xué)考試為目的向培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目的轉(zhuǎn)變，從零散知識(shí)的學(xué)習(xí)向綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件.

解題的現(xiàn)代含義

解題，是數(shù)學(xué)教育中一種最基本的活動(dòng)形式，常常是教師們通過(guò)一些例題的講解，對(duì)題目進(jìn)行歸類(lèi)，總結(jié)其共有的解題步驟，形成解題模板，然后進(jìn)行大量重復(fù)的鞏固練習(xí)，以達(dá)到學(xué)生熟練解題的目的. 不置可否，這樣的訓(xùn)練對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的初期，能夠起到一定的作用，對(duì)解題能力的提高有一定的作用，但是這樣訓(xùn)練出來(lái)的解題能力，只能是現(xiàn)代解題能力的初級(jí)階段（會(huì)做題）. 然而，會(huì)做題就等同于會(huì)解題了嗎？當(dāng)然不是！

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞稱(chēng)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”這里的解題不是說(shuō)我們能夠解出一道中考題或者一道高考題的答案，而是在看到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠通過(guò)一系列的思維活動(dòng)和運(yùn)算過(guò)程，最終得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，因而，解題就是尋找數(shù)學(xué)題的解的過(guò)程，它包含的不僅僅是題目的答案，更多的是在尋求答案的過(guò)程中涉及的思維活動(dòng)以及所用的數(shù)學(xué)方法. 因此數(shù)學(xué)解題作為一種有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程，既包含著新舊知識(shí)的同化和順應(yīng)，又有新舊解題策略的同化和順應(yīng)，解題就是要在所有新舊知識(shí)之間建構(gòu)起非人為的和實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過(guò)程. 數(shù)學(xué)家的解題往往是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過(guò)程，而對(duì)于初等教育階段的學(xué)生而言，解題是學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過(guò)程.

數(shù)學(xué)觀念在解題中的具體表達(dá)形式

數(shù)學(xué)觀念的具體表現(xiàn)形式是怎樣的？這里借鑒張乃達(dá)先生在《數(shù)學(xué)思維教育學(xué)》中的說(shuō)法：“整體意識(shí)、抽象意識(shí)、化歸意識(shí)、推理意識(shí)、數(shù)學(xué)美的意識(shí)可以看作是數(shù)學(xué)觀念的具體表現(xiàn)形式.”

（一）整體意識(shí)

所謂整體意識(shí)指從全局上考慮問(wèn)題的習(xí)慣. 合理運(yùn)用整體意識(shí)解題，可以使學(xué)生在探明思路時(shí)優(yōu)化方法，在拓展思路中力求獨(dú)創(chuàng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性、廣泛性與深刻性.

例題1 橢圓+=1上有兩點(diǎn)P，Q，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP，OQ的斜率之積為-，求證：

分析：充分利用（cosα）2+（sinα）2=1的整體特征將P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)設(shè)出P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ），便能夠得出定值. 通過(guò)此例可以看出，整體觀念在解題中的運(yùn)用離不開(kāi)聯(lián)想和構(gòu)造，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是大有裨益的.

（二）抽象意識(shí)

抽象意識(shí)是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中形成的一種思維習(xí)慣. 它包括了能有意識(shí)地區(qū)分復(fù)雜事物與現(xiàn)象的主要因素與次要因素、本質(zhì)現(xiàn)象與表面現(xiàn)象，能抓住本質(zhì)去解決問(wèn)題.

于是得到f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0.在此題的解答過(guò)程中，我們不僅要學(xué)習(xí)應(yīng)用以前所形成的數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)當(dāng)在過(guò)程中學(xué)習(xí)形成這些知識(shí)的抽象概括方法，學(xué)會(huì)如何在復(fù)雜的關(guān)系運(yùn)算中揚(yáng)棄一些非本質(zhì)的屬性，抽象出本質(zhì)的特征，通過(guò)這樣的探究分析訓(xùn)練，便可以在學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步提高抽象概括的能力.

（三）化歸意識(shí)

化歸意識(shí)指解決問(wèn)題的過(guò)程中有意識(shí)地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橐呀?jīng)解決或易于解決的問(wèn)題;它還意味著用聯(lián)系、發(fā)展、運(yùn)動(dòng)變化的眼光來(lái)觀察問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題.

例題3 已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：x+y=1，x+y=2，x1x2+y1y2=，則+的最大值為_(kāi)____.

分析：結(jié)合所學(xué)相關(guān)圓、向量的相關(guān)知識(shí)，認(rèn)識(shí)到+的幾何意義為A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離d1與d2之和，由兩平行線的距離可得所求最大值.將代數(shù)上的最值問(wèn)題求解轉(zhuǎn)換為幾何中的最值問(wèn)題求解，不僅形象直觀，使問(wèn)題更簡(jiǎn)單，更準(zhǔn)確，而且充分地體現(xiàn)了解題的本質(zhì)：建立新舊知識(shí)的橋梁，使問(wèn)題中各種概念及概念之間的相互關(guān)系具體明確，感受數(shù)與形的有效結(jié)合.

（四）推理意識(shí)

推理意識(shí)指推理或講理的自覺(jué)意識(shí)，是數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性的反映.

例題4 已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足：f（a·b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，an=（n∈N+），求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

分析：在這里數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式未知，因此，想要用定義法證明就需要先求解出其通項(xiàng)公式，而f（x）又是一個(gè)抽象函數(shù)，其解析式也不易于求解. 這里我們采用歐拉的歸納法解決. 設(shè)a≠0，由a，b的任意性，我們觀察f（a2），f（a3），f（a4），…，歸納猜想f（an）=nan-1f（a）（n∈N+），下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，

算出，即可利用等比數(shù)列的定義證明.在此題的解答過(guò)程中，應(yīng)用到由特殊到一般的思想，具有由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，擁有理性認(rèn)識(shí)的特點(diǎn)，其步驟可以看作是歸納、演繹法的結(jié)合，對(duì)于數(shù)學(xué)理性思維的形成有著重要的作用.

（五）數(shù)學(xué)美的意識(shí)

數(shù)學(xué)美是較為抽象的科學(xué)美，徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講中》首次提出：數(shù)學(xué)美的本質(zhì)是數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與作為審美主體的人的意向的融合. 對(duì)于數(shù)學(xué)美的意識(shí)的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用，會(huì)結(jié)合多方面的數(shù)學(xué)觀念，是一種綜合性意識(shí)的體現(xiàn)，因此也進(jìn)一步驗(yàn)證了數(shù)學(xué)美作為一種高級(jí)數(shù)學(xué)意識(shí)的觀點(diǎn).

例題5 已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

分析：對(duì)于此題的解答，學(xué)生很容易萌發(fā)出“正推”和“逆推”兩種對(duì)等的數(shù)學(xué)觀念，我們從兩種觀念分別出發(fā)，探討在解題過(guò)程中所隱含的數(shù)學(xué)思維方法. 在“逆推”的過(guò)程中，首先思考，要證明：x1+x2<2成立，我們應(yīng)當(dāng)如何入手.由結(jié)論出發(fā)，逐步分析，簡(jiǎn)化解題的思維過(guò)程，將結(jié)論中不等式的證明等價(jià)于新構(gòu)造出來(lái)的不等式的證明，由“簡(jiǎn)單”的結(jié)論推導(dǎo)出“復(fù)雜”的不等式. 再結(jié)合分析，回歸題目，證出結(jié)論. 接著從“正推”的思路來(lái)解決這一題目.

帶來(lái)的啟示

在中學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)一直扮演著重要的角色，而它又以題量繁多且復(fù)雜成為眾多學(xué)生的苦惱，如何教會(huì)學(xué)生解題必然是每一位教師最關(guān)心的問(wèn)題，這里我們要清楚中學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思維，即數(shù)學(xué)觀念與意識(shí). 而“數(shù)學(xué)觀念與意識(shí)”的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，在此過(guò)程中，教師首先應(yīng)當(dāng)樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀念，并以此來(lái)指導(dǎo)教學(xué)工作，避免出現(xiàn)教師一切的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)都圍繞“高考指揮棒”轉(zhuǎn)， 大搞“題海戰(zhàn)術(shù)”將升學(xué)率作為數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的唯一標(biāo)準(zhǔn)，而是應(yīng)當(dāng)秉承數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的基本要求，加強(qiáng)數(shù)學(xué)觀念的教育，以此培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)觀念. 其次對(duì)于學(xué)生而言，大多數(shù)學(xué)生在將來(lái)未必能夠用上較為高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是數(shù)學(xué)思想方法卻有著普遍的意義，不僅能夠應(yīng)用于數(shù)學(xué)研究，也可以用于人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)的各個(gè)方面，因此作為數(shù)學(xué)思想方法核心結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)觀念就尤為重要. 具有良好的數(shù)學(xué)觀念不僅能夠幫助我們很好地面對(duì)目前的學(xué)科學(xué)習(xí)的檢測(cè)，而且在未來(lái)的科技與經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，也起著舉足輕重的作用.