淺談在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何促進(jìn)“數(shù)學(xué)理解”

高原

[摘? 要] 數(shù)學(xué)理解是一種理解的深度，是一種體驗的高度，是一種創(chuàng)新的廣度.有深度的數(shù)學(xué)理解，從揭示知識的來龍去脈開始，從呈現(xiàn)教師的思維過程出發(fā)，從暴露學(xué)生的思維過程展開，并在自編題中實現(xiàn)從理解知識到數(shù)學(xué)應(yīng)用的升華.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)理解;暴露思維;自編題

目前，高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在著以下困惑：數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)以及例題等的講解一聽就懂了，而在習(xí)題訓(xùn)練或考試中卻無從下手，這是當(dāng)下嚴(yán)重影響學(xué)生數(shù)學(xué)成績提升的一大“瓶頸”. 目前，狂刷習(xí)題是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常態(tài)，尤其是高三學(xué)生，刷題的時間和數(shù)量是無以計數(shù)的，而效果卻又是極小的. 這與師生中普遍存在的認(rèn)識“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是做題和計算”有著相當(dāng)大的關(guān)聯(lián)，久而久之，就會出現(xiàn)學(xué)生缺乏對所學(xué)數(shù)學(xué)知識必要而深刻的理解，自認(rèn)為知識的掌握已經(jīng)成型，而事實上卻是淺顯的、模仿性的.

章建躍先生提出需“理解數(shù)學(xué)”，所謂的“數(shù)學(xué)理解”，就是學(xué)生的頭腦中形成一個強大的知識網(wǎng)絡(luò)，吸收該數(shù)學(xué)知識的同時，使之快速與已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，從而內(nèi)化為一個完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，在不斷建構(gòu)和修正數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中可以促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的形成. 一般來說，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的前提條件. 不少一線教師對數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)理解不夠透徹，在把握教學(xué)本質(zhì)上有所偏差，僅僅追求表面上的知識輸送，從而抑制學(xué)生思維的發(fā)展. 因此，在教學(xué)中如何促使學(xué)生深刻理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識是值得廣大數(shù)學(xué)教師研究的問題. 下面筆者就圍繞“促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識”這一主題，談?wù)勛陨淼囊稽c思考，與同行交流.

數(shù)學(xué)理解，從揭示知識的來龍去脈開始

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容所包含的不僅僅是數(shù)學(xué)的結(jié)論，還需囊括數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程以及其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法. 這樣一來，教師就不可以機械地將數(shù)學(xué)結(jié)論拋給學(xué)生，而需注重學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識，尤其是數(shù)學(xué)概念、定理、公式、發(fā)展等的學(xué)習(xí)過程，從而真正理解其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的真正理解[1].

例如，在教學(xué)“等差數(shù)列的通項公式”時，筆者為了讓學(xué)生真正理解定義的來龍去脈，讓學(xué)生親身經(jīng)歷等差數(shù)列定義an-an-1=d（n≥2）向通項公式an=a1+（n-1）d的推導(dǎo)過程，使學(xué)生對公式中每一個字母的含義有深層次的認(rèn)識，并實現(xiàn)滲透“消項累加”的數(shù)學(xué)思想的目的.

案例1：在“球體的體積”的教學(xué)過程中，筆者沒有直接呈現(xiàn)球體的體積公式V=πR3，而是引導(dǎo)學(xué)生逐步探究和推導(dǎo)此公式，讓學(xué)生對探求方法有一定的認(rèn)識，對體積公式有深刻的理解. 具體探究過程如下：

首先，研究如何計算半徑為R的半球體積，借助一個幾何體，該幾何體與半球相同高度，且在用任何水平面截取時，所得截面面積均相等. 接著，設(shè)與大圓平行且與球心距離是l的平面截半球所得圓面半徑是r=，可得截面面積S1=πr2=π（R2-l2）=πR2-πl(wèi)2. 此處的S1可視為在半徑是R的圓面被挖掉一個半徑是l的同心圓而得出的圓環(huán)面積. 然后，取一個底面半徑與高都為R的圓柱，并去掉一個以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點的圓錐，將得到的幾何體和半徑為R的半球置于同一水平面.最后，任意水平面截取這兩個幾何體，得到的截面分別為圓面與圓環(huán)面. 由此可得：圓環(huán)大圓半徑是R，小圓半徑是l，面積是S2=πR2-πl(wèi)2，可得S1=S2，據(jù)祖暅原理，以上兩個幾何體的體積相等，則有V=πR2R-πR2R=πR3. 因此球的體積V=πR3.

數(shù)學(xué)作為一門理性學(xué)科，理解和思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵詞. 在課堂教學(xué)中，只有充分暴露知識的形成過程，才能讓學(xué)生生成最真實的體驗，才能真正地理解數(shù)學(xué)知識，獲取數(shù)學(xué)知識. 這樣的經(jīng)歷過程，是一種有效的、必要的體驗，只有當(dāng)學(xué)生獲得了對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解，學(xué)生在應(yīng)用時才能做到游刃有余[2].

數(shù)學(xué)理解，從呈現(xiàn)教師的思維過程出發(fā)

在課堂教學(xué)中，教師不僅需將教材中的思維結(jié)果傳授給學(xué)生，更需要向?qū)W生呈現(xiàn)自身的思維過程，使學(xué)生得到啟迪. 教師將自身的思路或是從學(xué)生的角度進(jìn)行思考的過程分析給學(xué)生，將自己解決問題時遇到的一系列困惑、難題甚至于失敗暴露給學(xué)生，將自身的調(diào)整、修正以及一步步走向成功解題的過程演示給學(xué)生. 這樣一來，在教師與學(xué)生的同步思維中，可以幫助學(xué)生正面解決困難，促進(jìn)對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)認(rèn)識.

案例2：以一道拋物線習(xí)題的探究過程為例

問題呈現(xiàn)：一直線過拋物線y2=2px（p>0）的焦點，并與該拋物線相交，兩個交點縱坐標(biāo)y1，y2，證明：y1y2=-p2.

生（證明過程略）

師：現(xiàn)將條件“過焦點”向“過定點（a，0）”推廣，可得到什么結(jié)論？

探究1：一直線過定點（a，0）并與拋物線y2=2px（p>0）相交于縱坐標(biāo)為y1，y2的兩點，那么y1y2為常數(shù).

因為直線過定點（a，0），設(shè)直線方程y=k（x-a），聯(lián)立拋物線方程y2=2px（p>0），消掉x后，可得y2-y-2pa=0，所以y1y2=-2pa，即為常數(shù).

探究2：已知拋物線y2=2px（p>0）上的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且有y1y2=k（k為常數(shù)），那么直線恒過定點.

設(shè)直線AB方程是x=my+a，代入拋物線方程y2=2px，可得y2-2pmy-2pa=0，有y1y2=-2pa. 又y1y2=k，則有k=-2pa，a= -，所以直線恒過定點

教師以教材中的一道習(xí)題為載體，有目的地向?qū)W生重點暴露變式探究的思維過程，讓學(xué)生看到例題、習(xí)題的多種變化，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，讓學(xué)生真正參與到知識的生產(chǎn)和發(fā)展中來，讓學(xué)生牢牢把握思維問題的本質(zhì)，對知識體系有一個全面認(rèn)識，讓學(xué)生從教師的探索過程中，汲取營養(yǎng)、受到啟示，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)、理解知識.

數(shù)學(xué)理解，從暴露學(xué)生的思維過程展開

當(dāng)然，作為教師，不僅僅需向?qū)W生展示自己的思維過程，讓學(xué)生獲得深層次的理解，取得思維方法的借鑒，還需善于引導(dǎo)學(xué)生暴露自身的思維過程，展示學(xué)生問題解決的思維過程，暴露學(xué)生解決問題過程中的錯誤. 教師再以“錯”來做文章，讓學(xué)生既能找到自身錯誤的根源并糾正，又能在展示中逐步學(xué)會探究性學(xué)習(xí)，并實現(xiàn)再創(chuàng)造等高階思維的培養(yǎng)[3].

很顯然，以上的錯誤源于求解過程中學(xué)生忽略了x，y之間的相互制約關(guān)系. 教師點撥和誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤根源，并與學(xué)生一同探究得出正確的解題思路，從而深化了學(xué)生的認(rèn)識.由此得出以下正確解題思路：

讓學(xué)生在自編題中實現(xiàn)從理解知識到數(shù)學(xué)應(yīng)用的升華

作為一名數(shù)學(xué)教師，要清楚地指引學(xué)生深層次理解數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵步子在哪里. 鼓勵學(xué)生多做自編題這種新的探究活動，高起點地吸引學(xué)生的注意力，迫使學(xué)生轉(zhuǎn)變被動接受知識的現(xiàn)狀，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)他們的挑戰(zhàn)和智慧，促發(fā)學(xué)生更高的求知欲.

例如，在學(xué)完“幾何體積公式”這一內(nèi)容后，筆者會引導(dǎo)學(xué)生自編與體積相關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 學(xué)生們躍躍欲試，形成了多種創(chuàng)編思路，盡管所編題目較為淺顯，有些還略顯“低級”，不過很顯然他們都參與到了積極思考的氛圍中去，有效迫使學(xué)生自主回歸知識基礎(chǔ)并完善自身的知識體系，做到了用“自編題”進(jìn)入數(shù)學(xué)思維火熱碰撞的殿堂.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的終身學(xué)習(xí)能力. 因此，教師需轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)的思想，真正從學(xué)生出發(fā)，基于學(xué)生視角去演繹教學(xué). 只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)才能事半功倍，學(xué)生火熱的思維才能得到提煉，得以深化，從而不斷提高他們的思維水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 余業(yè)兵，李蓉. 揭示數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的有序建構(gòu)——例談高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程建構(gòu)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（06）.

[2]? 袁永春. 注重知識形成過程的初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（02）.

[3]? 張昆，張乃達(dá). 暴露數(shù)學(xué)思維過程的課堂教學(xué)研究——透過培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視點[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（04）.