時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程新精確解的構(gòu)建

黃 春

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師教育系，四川遂寧629000）

非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程比整數(shù)階偏微分方程更準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實(shí)中的物理現(xiàn)象, 并能夠深刻反映物體內(nèi)在性質(zhì). 非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程在控制理論、金融學(xué)、生物學(xué)、通信、化學(xué)等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用, 因此研究非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程的性質(zhì)以及解的情況具有重要的意義. 構(gòu)建非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解的方法主要有: 首次積分法[1-2]、(G′/G)-展開法[3-4]、指數(shù)函數(shù)法[5-6]、Adomian 分解法[7-8]、Tanh函數(shù)展開法[9-10]等.

考慮如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程[11-12]:

其 中: 0 ≤x≤1,t＞0, 0 ＜α≤1,是修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[13].

修正的Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)由下式定義:

其中Γ(·)為Gamma函數(shù),定義為:

修正的Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有如下性質(zhì):

Gardner方程是一類重要的非線性模型,廣泛應(yīng)用于物理學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)分支, 求其解長期以來為眾多學(xué)者所關(guān)注. 整數(shù)階Gardner 方程的精確解的求解方法有很多，如Painlevé 分析[14]、符號運(yùn)算系統(tǒng)[15]、Darboux 變換法[16]、經(jīng)典李群法[17]等, 但是對于時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程精確解的研究卻很少.Pandir等人[11]利用F-展開法獲得方程（1）的Jacobi 橢圓函數(shù)解, Iyiola 等人[12]采用同倫分析法得到方程（1）的解析解. 本文擬用Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與修正的Tanh 函數(shù)展開法相結(jié)合，構(gòu)建時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程新精確解.

1 方法簡述

考慮如下非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程：

用修正的Tanh 函數(shù)展開法求解方程（7）的步驟包括3個(gè)步驟.

步驟1:作復(fù)變換

這里l,ω為常數(shù).

在計(jì)算過程中需要使用導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t：

將式（8）、（9）代入方程（7）中,方程（7）轉(zhuǎn)化為只含變量ξ的非線性常微分方程：

步驟2: 假設(shè)常微分方程（10）的解可以表示為φ的多項(xiàng)式形式：

其中φ=φ(ξ)滿足如下形式的Riccati方程:

這里的σ為任意常數(shù),ai(i=0,1,2,…,n)為待定常數(shù),正整數(shù)n可由齊次平衡原則確定.

對于φ, 根據(jù)常數(shù)σ的不同取值, 確定如下三種類型的解：

步驟3:將式（11）、（12）代入式（10）中,合并φ的同冪次項(xiàng), 并令各次冪的系數(shù)為0, 得到關(guān)于ai(i=0,1,2,…,n)代數(shù)方程組, 計(jì)算參數(shù)代入（11）式, 得到方程（7）多個(gè)不同類型的精確解.

2 運(yùn)用與結(jié)果

對方程（1）作復(fù)變換：

原方程轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程：

將方程（15）兩邊同時(shí)積分一次, 取積分常數(shù)為0可得：

平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u3和非線性項(xiàng)u′′, 得n=1.因此式（11）為:

將式（12）、（17）代入式（16）, 合并φ的同冪次項(xiàng)并令其系數(shù)為0,得到關(guān)于a0,a1的代數(shù)方程組:

解上述代數(shù)方程組可得:

于是得到原方程在3種不同情形下的解.

情形1:當(dāng)σ＜0時(shí),方程（1）有如下孤立波解:

情形2:當(dāng)σ＞0時(shí),方程（1）有如下周期波解:

情形3:當(dāng)σ=0時(shí),方程（1）有如下有理函數(shù)解:

運(yùn)用Maple 軟件畫出部分解的數(shù)值模擬圖像如圖1-3所示.

3 結(jié)語

本文借助Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合修正的Tanh函數(shù)展開法構(gòu)建時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程的系列新精確解, 其中包括孤立波解、周期波解、有理函數(shù)解, 并對部分解作出三維圖示. 這些解對于理解復(fù)雜的非線性物理現(xiàn)象并預(yù)測其發(fā)展趨勢很有幫助, 該方法簡潔高效, 是求解一般非線性分?jǐn)?shù)階微分方程行之有效的方法.