例析運(yùn)用放縮法證明數(shù)列求和不等式的策略

貴州省黔西第一中學(xué)

放縮法是一種有意識(shí)地對(duì)相關(guān)的數(shù)或者式子的取值進(jìn)行放大或縮小的方法.證明數(shù)列求和不等式通常采用放縮法，這類題對(duì)學(xué)生的思維層次、綜合應(yīng)用能力的要求較高，如果把證明數(shù)列求和不等式與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，將會(huì)出現(xiàn)在高考試卷的壓軸題位置，這需要借助放縮技巧才能比較完美地解答，對(duì)考生而言，充滿挑戰(zhàn).

放縮法中“放”的過程是指：要證明A＜B成立，先將A放大成中間量C，即A＜C，后證C＜B；“縮”的過程是指：要證明A＞B成立，先將A縮小成中間量C，即A＞C，后證C＞B.而以數(shù)列求和為背景的不等式證明過程常常借助特殊數(shù)列求和、分項(xiàng)求和、倒序相加求和、裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和等方法.如何把握放縮的尺度，做到“恰如其分”，就需要把握放縮的策略，包括類型辨識(shí)策略和精確度控制策略.

一、類型辨識(shí)策略

觀察要求證的不等式形式，分析式子可以放縮成什么求和類型.常見數(shù)列求和不等式的結(jié)構(gòu)模型為(或者類型辨識(shí)即為觀察數(shù)列{an}的形式，分析an可以放縮成什么類型的bn，從而使用數(shù)列求和方法達(dá)到化簡的目標(biāo).

1 等比求和型

不等式中數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列通項(xiàng)公式相似，如果不能直接使用等比數(shù)列求和公式，則將數(shù)列{an}的通項(xiàng)放縮成等比數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步求和化簡.

例1(2014年高考全國Ⅱ卷文理第17(2)題) 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式證明：

分析由要證明的不等式從左到右需要“放大”，聯(lián)想到“糖水不等式”：若a＞b＞0,則可將式子“放大”成即就可以使用等比數(shù)列求和公式.

解由

所以

命題得證.

后記此題容易落入將分母上的-1“丟掉”的陷阱，將分母上的-1“丟掉”也能化成等比數(shù)列的通項(xiàng)但是這個(gè)過程是“縮小”，即與所要證明的不等式形式不同.

同類型題(2016年高考四川卷理科第19(2)題)：已知數(shù)列{en}的通項(xiàng)公式為證明：

2 裂項(xiàng)相消型

有的數(shù)列通項(xiàng)公式是分式，可以分裂成兩項(xiàng)之差，求和后再放縮.但如果數(shù)列的通項(xiàng)公式不能分裂成兩項(xiàng)之差時(shí)，可先把通項(xiàng)公式放縮后裂項(xiàng)，每一項(xiàng)按照相同的規(guī)律放縮后裂項(xiàng)，求和后再放縮.

例2(2013年高考廣東卷文科第19(3)題)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1，n ∈N?，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有

分析這個(gè)不等式從左到右需要“放大”，由可以采用裂項(xiàng)相消求和，再放縮.

解由所以

不等式得證.

事實(shí)上，例1也可以放縮成裂項(xiàng)相消型，參看文[1].

3 特殊不等式型

運(yùn)用基本不等式、x+1≤ex、x-1≥lnx等特殊不等式進(jìn)行放縮，尤其有些函數(shù)題第(1)問證明一個(gè)特殊不等式，第(2)問就運(yùn)用這個(gè)不等式證明另一個(gè)不等式.

例3(2017年高考全國III卷第21題)已知函數(shù)

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)求m的最小值.

分析觀察式子是n項(xiàng)的乘積，而函數(shù)f(x)的解析式中含有對(duì)數(shù)，于是聯(lián)想到將真數(shù)的乘積轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的和，從而進(jìn)行放縮再求和.

解第(1)問解答略，可得a=1；

(2)由(1)知，當(dāng)x ∈(1,+∞)時(shí)，x-1-lnx＞0，即lnx＜x-1，所以因?yàn)?/p>

二、精確度控制策略

即使確定了需要放縮的不等式的類型，知道目標(biāo)是什么，證明數(shù)列求和不等式也未必能“一帆風(fēng)順”，按照常規(guī)經(jīng)驗(yàn)放縮有可能“放”得過大或者“縮”得過小，此時(shí)得考慮選擇合適的式子或者留下部分項(xiàng)精確計(jì)算，從中間某一項(xiàng)開始放縮.

1 選擇合適式子

例4(昆明市2020屆昆一中聯(lián)考卷四理科第21題改編)證明：

分析這個(gè)式子從左到右需要“放大”，也就是將分母減小，一個(gè)常規(guī)的想法是將分母(n+1)2減小為n(n+1)，下面嘗試這種放縮是否可行.

第一次嘗試由所以

分析結(jié)果1比大，說明放得過大，原因是將(n+1)2減小為n(n+1)時(shí)，減少的值為n+1，這是隨n增大而增大的數(shù)，能否將每項(xiàng)的分母減少固定的值，比如都減少1呢?

第二次嘗試由

所以

分析結(jié)果雖然相對(duì)較小，但仍然比大.減1的目的是為了配成平方差，從而可以裂項(xiàng)相消，能否將每項(xiàng)的分母減少的值再小一點(diǎn)，比如呢?

第三次嘗試由

命題得證.

后記第三次嘗試選擇的式子是合適的，進(jìn)一步思考能否將每項(xiàng)的分母減少的值再小一點(diǎn)?顯然這是不行的，因?yàn)榱秧?xiàng)之后要保證相鄰兩項(xiàng)能抵消，則裂開的兩項(xiàng)的分母之差不能小于1，所以每項(xiàng)的分母減少時(shí)式子的值最精確.

2 留項(xiàng)計(jì)算

在已經(jīng)辨識(shí)清楚不等式的類型，明確放縮的目標(biāo)后，通過幾次嘗試仍然不能得到最精確的式子時(shí)，就需要留下不等式的前幾項(xiàng)直接計(jì)算，從中間某一項(xiàng)開始放縮，提高放縮的精確度.

例5(2014年高考廣東卷文科第19(3)題)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n，n ∈N?，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有

分析確定這個(gè)式子可以放縮成裂項(xiàng)相消型，由根據(jù)常規(guī)思路“放大”到裂項(xiàng)相消以后得到的結(jié)果是“小于”，說明放得過大，但又不容易找到最精確的式子，于是采用留下前面的項(xiàng)直接計(jì)算.

解當(dāng)n=1時(shí)，成立，當(dāng)n＞1時(shí)，由

所以

命題得證.

同類題型(2013年高考廣東卷理科第19(3)題)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2，n ∈N?，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有

如果學(xué)生能夠靈活運(yùn)用放縮法，那么對(duì)其發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力提升大有裨益，在解題中起到事半功倍的效果，同時(shí)也在提升學(xué)生邏輯思維能力、分析能力和創(chuàng)造能力中都很有幫助.在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在放縮過程中學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)思考和學(xué)會(huì)表達(dá)，通過分析、歸納、總結(jié)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).