證券買賣速度受制約下的最優(yōu)交易策略*

林 輝， 楊 念*， 吳廣謀

(1. 南京大學經(jīng)濟學院， 南京 210093； 2. 東南大學經(jīng)濟管理學院， 南京 211189)

0 引 言

現(xiàn)實中證券市場的供給與需求不是完全彈性的，故為保證交易的公平性，證券監(jiān)管部門往往對投資者瞬間交易大額數(shù)量證券的行為實施限制，并為此制定了各種監(jiān)管制度(1)例如，為防止市場操縱，上海證券交易所規(guī)定股票、基金、權證交易單筆申報最大數(shù)量應當不超過100萬股，債券交易和債券質押式回購交易單筆申報最大數(shù)量不超過10萬手..這些監(jiān)管制度的實施，一方面使單個投資者無法操縱市場，以確保證券市場的有效性；另一方面，由于投資者的交易速度或持倉量受到制約，導致大額頭寸無法瞬間出清，只能將其持有的頭寸分割委托(split order)，并在未來的若干時點上分別交易部分頭寸以符合監(jiān)管制度的要求.由此可見，若監(jiān)管制度得到有效實施，投資者將面對一個弱式有效(weak-form)、交易速度或持倉量受到外生制度性約束的交易市場，那么，在這樣的市場中投資者如何制定一個最優(yōu)交易策略使其效用最大化？這正是本文的研究主題.

以往的研究成果忽略了外生制度性約束對交易策略施加的影響，隱含著投資者的持倉水平或交易速度完全由其自主擇優(yōu)決定的假設.明顯地，若個別投資者執(zhí)行這樣的最優(yōu)交易策略，可能給市場帶來嚴重的沖擊，甚至市場操縱.這與現(xiàn)實中投資者的交易行為受到監(jiān)管制度約束的事實不符，也違背了有效市場的假設.為彌補以往研究的不足，本文將探討交易速度受制約條件下的最優(yōu)交易策略問題；其次，本文所研究不僅是證券的變現(xiàn)策略，而且對不同市場行情、任意初始持倉條件下的最優(yōu)交易策略(既可能買入也可能賣出)都進行解析；最后，給出最優(yōu)初始持倉，由此形成完整的最優(yōu)交易策略.本研究使交易策略模型更貼近現(xiàn)實，具有重要的理論和實踐意義.

1 相關文獻回顧與評述

為了降低市場沖擊(market impact)對交易價格的不利影響，持有大額頭寸的交易者通常會將證券拆分為較小的份額分批出清，那么，在不確定性條件下，將證券分多少批次，以及每批次交易多少數(shù)量，以實現(xiàn)最大化的投資效用，便成為最優(yōu)交易策略的核心問題.

基于執(zhí)行成本(execution cost)或交易成本視角的最優(yōu)交易策略模型.Bertsimas和Lo[1]研究了在給定期限內(nèi)買入大量證券的預期成本最小化問題，提出所謂的最優(yōu)執(zhí)行(optimal execution)策略模型，但他們的模型不考慮執(zhí)行(買入)成本的風險(波動性)，隱含著投資者是風險中性的假設.Almgren和Chriss[2]基于均值-方差準則，在給定交易成本的方差條件下，以最小化交易成本的期望值來構建最優(yōu)變現(xiàn)(optimal liquidation)策略模型，故Almgren-Chriss模型討論的是證券的賣出問題.在此基礎上，Almgren和Chriss還以最小化二階效用函數(shù)或風險值(VaR)來分析最優(yōu)變現(xiàn)策略，從而將Bertsimas和Lo的模型拓展到風險規(guī)避者.但上述兩類模型得到的最優(yōu)策略是靜態(tài)的，即模型不依賴于交易期間證券價格的預期變化.Gatheral和Schied[3]基于幾何布朗運動描述證券價格的變化過程，提出最優(yōu)交易策略動態(tài)模型，從而對Almgren-Chriss模型進行拓展.其次，前人還以不同的方式刻畫交易成本及其波動性.如Ting和Warachka等[4]以證券的賣出價格與其內(nèi)在價值的偏差來刻畫流動性折扣(liquidity discount)，提出基于流動性折扣的最優(yōu)變現(xiàn)策略模型.Caccioli等[5]以期望損失(excepted shortfall，ES)來衡量風險，基于最小化期望損失構建最優(yōu)變現(xiàn)策略模型.Almgren[6]研究了流動性和波動率都隨機變化條件下的最優(yōu)變現(xiàn)策略問題.Subramanian[7]構建一個局部均衡模型，來討論大額資產(chǎn)的投資者在有限或無限交易時間內(nèi)的最優(yōu)變現(xiàn)問題.此外，不同于執(zhí)行成本最小化的視角，Pemy和Zhang等[8]以預期投資收益率最大化為目標構建最優(yōu)變現(xiàn)策略模型.

基于定單簿(order book)視角的最優(yōu)交易策略模型.Cheng等[9]基于訂單被執(zhí)行的不確定性對Almgren-Chriss模型進行了擴展，并在線性情形下獲得最優(yōu)策略的解析解.Obizhaeva和Wang[10]提出一個塊狀(block-shaped)限價定單簿(limit order book)模型研究了證券的跨期供求如何影響交易策略.研究表明：在交易時間給定條件下，市場彈性(resilience)是最優(yōu)交易策略的關鍵因素.為放松Obizhaeva-Wang模型塊狀限價單簿的假設，Alfonsi和等[11]研究了限價單簿具有非均勻價格分布的模型.Predoiu和Shaikhet等[12]研究了具有任意形狀的限價訂單簿模型.Siu等[13]基于Obizhaeva-Wang模型，提出了由馬爾科夫鏈刻畫市場彈性的模型，并給出解析解.以上的模型都是基于買入指令討論了最優(yōu)策略問題，故缺乏對賣出策略的分析.Tsoukalas和Wang等[14]進一步把Obizhaeva-Wang模型拓展至多資產(chǎn)的情形，并指出不同資產(chǎn)之間的價格沖擊對最優(yōu)交易策略具有顯著的影響.

國內(nèi)學者也對最優(yōu)交易策略開展了有價值的研究.仲黎明和劉海龍等[15]提出在給定風險條件下使期望利潤最大化(期望損失最小化)的最優(yōu)變現(xiàn)策略.林輝等[16]通過放松理想化市場的假設條件，構建流動性調整的最優(yōu)交易策略模型，并給出解析解.唐衍偉和陳剛等[17]研究了單只股票與股指期貨構建的套期保值組合不完全變現(xiàn)連續(xù)出清策略問題.邴濤等[18]基于指令驅動市場證券價格的形成過程，研究了非知情交易者的最優(yōu)交易策略.

相比以往的最優(yōu)交易策略模型，本文所提出的模型主要有以下不同之處：1)考慮了交易策略面臨的外生制度性約束.以往的研究中交易速度完全由最優(yōu)策略模型內(nèi)生決定，故交易速度可以充分大，但這樣的交易策略很可能因現(xiàn)實中的監(jiān)管制度約束而無法實施，因為交易速度或持倉水平需受到監(jiān)管約束的. 2)本文構建的最優(yōu)交易策略是買入與賣出證券的混合策略，即在給定的投資期限內(nèi)，投資者在賣出證券后還可以買入證券，或者在買入證券后還可以賣出.縱觀以往的模型，要么是純粹的變現(xiàn)策略，要么是純粹的買入策略，缺乏對混合策略的研究.因此，本文在前人研究基礎上的改進將使模型更貼近實際.

2 最優(yōu)交易策略模型的構建

假設一個具有風險規(guī)避傾向(risk aversion)的投資者在初始時刻(t=0)擁有數(shù)量為x(0)=x0(下文簡稱“初始持倉”)的證券，需要在[0,T]期間完成交易，這里，T>0為投資期的終點時刻，設該時刻的目標持倉x(T)=xT≥0.投資者的交易策略是由其可控變量——交易速度v(t)或持倉x(t)構成(2)交易速度與持倉水平可以相互轉化，故本文以交易速度或持倉水平來表示交易策略.，顯然，t時刻投資者的持倉量為

(1)

為了防止市場操縱，證券市場一般都有最大申報數(shù)量之限制.一方面，它使投資者的交易速度受到約束，不妨設-v0≤v(t)≤v0，其中v0>0.另一方面，由于投資者的交易速度受到約束而不能操縱市場，其交易行為不能破壞證券市場的有效性，故可以假設投資者在一個弱式有效市場中進行交易.為簡化表達證券市場的弱有效性，不妨以幾何布朗運動來表示證券價格變化的隨機過程，從而證券回報率可表示為

r(t)=a·t+ξ(t)

(2)

其中a≠0為漂移率，它表示投資者對證券未來走勢的預期.若a>0，則表示投資者預期證券價格將上漲；反之，若a<0，則表示投資者預期證券價格將下跌.ξ(t)是一個維納過程，當t2>t1時，有ξ(t2)-ξ(t1)～N(0,σ2(t2-t1))，這里σ為波動率，表示單位時間內(nèi)的風險.

對于任意t∈[0,T]，投資者可根據(jù)市場情況選擇交易速度v(t)，由此形成交易策略或交易軌跡(v(t),t∈[0,T])，顯然交易策略的選擇直接影響投資回報率.若投資者選擇某個交易策略，則由式(1)和式(2)可知，在整個投資期[0,T]可獲得的總回報率Π為

(3)

這里的v(t)dt構成瞬間交易額.

假設投資者以“給定風險的條件下，最大化總回報率期望值”準則來選擇交易策略，不妨以均值-方差效用函數(shù)U(Π)來表示投資者獲得的投資效用(3)如果不采用均值-方差效用函數(shù)，結果依然成立. 例如，采用絕對風險規(guī)避效用函數(shù)時，投資者效用仍可以用式(4)來表示，證明參見附錄.，這里

(4)

(5)

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4)，且將交易速度v(t)、初始持倉x(0)和期末持倉x(T)等列為約束條件，則交易速度受制約、市場弱有效條件下的最優(yōu)交易策略問題可表示為

(7)

3 最優(yōu)交易策略所有可能的解

本節(jié)采用極大值原理(maximum principle)來討論最優(yōu)交易策略問題.根據(jù)極大值原理，由式(7)可定義哈密爾頓(Hamilton)方程

(8)

(9)

且其約束條件為

(10)

(11)

其他約束條件還有：-v0≤v(t)≤v0、x(0)=x0和x(T)=xT.

由式(8)給出的哈密爾頓函數(shù)形式可知，交易速度v(t)的變化與共積變量λ(t)=0的時點有關，故下文將通過分析λ(t)=0的規(guī)律，來推導最優(yōu)交易策略.為此，不妨設集合B={t|λ(t)=0,t∈[0,T]}，并分3種情形探討集合B與最優(yōu)交易策略的關系，這些情形分別是：(1)集合B為空集；(2)集合B為單點集(只有1個元素)；(3)集合B為非單點集、非空集(有2個或2個以上的元素).顯然上述情形構成集合B的所有結果，所以，分別在上述3種情形下推導模型，就能得到最優(yōu)交易策略所有可能的解析解.

3.1 集合B為空集下的交易策略

若B為空集，則表示在[0,T]區(qū)間上都有λ(t)>0或λ(t)<0，故最優(yōu)交易策略可分為兩種情形加以討論：

(1)若λ(t)>0，?t∈[0,T]，則最優(yōu)交易速度v*(t)=-v0<0，從而最優(yōu)持倉為

x*(t)=x0+v0t,t∈[0,T]

(12)

且由式(12)可知初始持倉x0滿足x0=xT-v0T.

(2)若λ(t)<0，?t∈[0,T]，則最優(yōu)交易速度v*(t)=v0>0，則最優(yōu)持倉為

x*(t)=x0-v0t,t∈[0,T]

(13)

且由式(13)可知初始持倉滿足x0=xT+v0T.

3.2 集合B為單點集下的交易策略

若B為單點集，不妨設[0,T]區(qū)間上存在唯一的t0使得λ(t0)=0，且t0≠0，t0≠T，則根據(jù)λ(0)和λ(T)的取值可分為4種情形進行討論：

(1)若λ(0)>0且λ(T)>0，則當t=t0時存在λ(t0)=0，此時最優(yōu)交易速度v*(t)=-v0，從而最優(yōu)持倉為x*(t)=x0+v0t，這與3.1節(jié)(1)中的策略相同，不再贅述.

(2)若λ(0)<0且λ(T)<0，則當t=t0時存在λ(t0)=0，此時最優(yōu)交易速度v*(t)=v0，從而最優(yōu)持倉為x*(t)=x0-v0t，這與3.1節(jié)(2)中的策略相同，不再贅述.

(3)若λ(0)>0且λ(T)<0，則當t=t0時存在λ(t0)=0，此時最優(yōu)交易速度可分為兩種情形：(a)v*(t)=-v0，t∈[0,t0)；(b)v*(t)=v0，t∈[t0,T].這意味著投資者先以-v0的速度增加持倉，到t0時刻再以v0的速度減少持倉，故此種情形下的最優(yōu)持倉為

(14)

將x(T)=xT代入式(14)即可得到

(15)

由于0

(4)若λ(0)<0且λ(T)>0，則當t=t0時存在λ(t0)=0，此時最優(yōu)交易速度可分為兩種情形：(a)v(t)=v0，t∈[0,t0)；(b)v(t)=-v0，t∈[t0,T]，這意味著投資者先以v0的速度減少持倉，到t0時刻再以-v0的速度增加持倉，從而該情形下的最優(yōu)持倉為

(16)

將x(T)=xT代入式(16)即可得到

(17)

3.3 集合B為非單點集、 非空集下的交易策略

在給定的投資期[0,T]內(nèi)，若集合B存在任意的2個不同元素ti和tj使得λ(ti)=λ(tj)=0，不妨設ti

證明令tl=max{t∈[ti,tj]:λ(t)=0}和tm=min{t∈[ti,tj]:λ(t)=0}，即tl和tm分別是[ti,tj]區(qū)間上使得λ(t)=0的最大時點(最右邊)和最小時點(最左邊).明顯地，當tl>tm，對于任意的t∈[ti,tj]，都有λ(t)=0，則上述結論自然成立.

下面采用反證法證明：當tl>tm時，對于任意的tk∈[tm,tl]，都有λ(tk)=0.

(ii)假設λ(tk)<0，由λ(t)的連續(xù)性同理可知，λ(t)在區(qū)間N(tk,εi)上為凸函數(shù)，且由λ(tk-ε1)=λ(tk+ε2)=0推斷λ(t)>0，t∈N(tk,εi)，i=1,2，但這與該區(qū)間上λ(t)<0是矛盾的.

由(i)和(ii)的證明可知，對于任意的tk∈[tm,tl]，都有λ(tk)=0，且由tl和tm的定義可知，顯然有tm≤ti

(18)

由式(18)可以得到最優(yōu)持倉為

(19)

(20)

(2)若λ(0)>0、λ(T)>0，類似于3.3節(jié)(1)中的分析思路，容易求得此種情形下最優(yōu)交易速度為

(21)

從而，最優(yōu)持倉為

(22)

(23)

(3)若λ(0)>0、λ(T)<0，類似于3.3節(jié)(1)中的分析思路，同理可得最優(yōu)交易速度為

(24)

且最優(yōu)持倉為

(25)

(26)

(4)若λ(0)<0、λ(T)>0時，類似于3.3節(jié)(1)中的分析思路，同理可得最優(yōu)交易速度為

(27)

且最優(yōu)持倉為

(28)

(29)

4 不同市場行情、 各種初始持倉條件下的最優(yōu)交易策略

第3節(jié)基于共積變量λ(t)推導出最優(yōu)交易策略所有可能的解析解，本節(jié)將根據(jù)該結果，進一步探討投資者基于市場行情的預期及其初始持倉，從第3節(jié)給出的全部結果中挑選其最優(yōu)交易策略.

4.1 市場行情看漲時的最優(yōu)交易策略

當a>0，即投資者預期市場行情上漲，對照第3節(jié)的分析結果，可得到各種初始持倉下的最優(yōu)交易策略：

(1)若初始持倉x0>v0T+xT，由于交易速度受到約束，投資者即便以最大交易速度v0賣出證券，但在T時刻仍有超過xT持倉量.這說明，投資者因其持有多頭倉位太多，即便以最大的交易速度賣出平倉，也無法在投資期限內(nèi)將倉位減持到目標值xT，故該情形下最優(yōu)交易策略無解(4)為了討論的完備性，無解情形可視為最優(yōu)交易策略的例外情形..

(2)若初始持倉x0=v0T+xT，即對應于3.1節(jié)(2)中的情形，故最優(yōu)持倉由式(13)給出，其軌跡如圖1所示.圖中的O點的坐標為(0,xT)，從圖2到圖10的坐標系同此，不再贅述.

圖1 當a>0,x0=v0T+xT時最優(yōu)持倉軌跡

圖2 當時最優(yōu)持倉軌跡

圖3 當時最優(yōu)持倉軌跡

圖4 當時最優(yōu)持倉軌跡

(6)當初始持倉x0=xT-v0T時，這對應于3.1節(jié)(1)中的情形，最優(yōu)持倉由式(12)給出，其軌跡如圖5所示.

圖5 當a>0,x0=xT-v0T時最優(yōu)持倉軌跡

(7)當初始持倉x0

4.2 市場行情看跌時的最優(yōu)交易策略

當a<0，即投資者預期市場行情下跌，類似于4.1節(jié)中的分析思路，可以歸納出各種初始持倉情形下的最優(yōu)交易策略.

(1)若初始持倉x0>v0T+xT，由于市場行情是看跌的(a<0)，故投資者需要以最大交易速度v0賣出證券，但由于初始持倉過大，導致其在終點時刻的持倉仍大于目標倉位xT，顯然該情形下最優(yōu)交易策略無解.

(2)若初始持倉x0=v0T+xT時，最優(yōu)持倉由式(13)給出，其軌跡如圖6所示.不難發(fā)現(xiàn)，圖6與圖1是相同的，但圖6所對應的市場行情卻是看跌的(a<0).這說明：在投資期限[0,T]內(nèi)，無論市場行情如何，若投資者需要出清的倉位達到市場所能允許的上限v0T，就只能以最大的交易速度v0向市場出清.

圖6 a<0,x0=v0T+xT時最優(yōu)持倉軌跡

圖7 當時最優(yōu)持倉軌跡

圖8 當時最優(yōu)持倉軌跡

圖9 當時最優(yōu)持倉軌跡

(6)當初始持倉x0=xT-v0T時，最優(yōu)持倉由式(12)給出，其軌跡如圖10所示.

圖10 當a<0,x0=xT-v0T時最優(yōu)持倉軌跡

(7)當初始持倉x0

4.3 機會容量與市場容量

5 最大化投資效用的初始持倉

5.1 行情看漲時的最優(yōu)初始持倉與最大化投資效用

(30)

(31)

圖11 行情看漲時不同初始持倉下的投資效用

5.2 行情看跌時的最優(yōu)初始持倉與最大化投資效用

其一階導數(shù)為

(32)

(33)

圖12 行情看跌時不同初始持倉下的投資效用

圖12中的參數(shù)設置是：目標倉位為xT=0，漂移率a為-0.15，其他參數(shù)的設置同5.1節(jié)，由圖12可知，當行情看跌時，投資者的最大效用同樣在機會容量處取得.

6 結束語

本文基于弱有效市場的假設，并對交易速度施加制度性約束，構建最大化投資效用的動態(tài)交易策略模型；運用極大值原理推導出最優(yōu)交易策略所有可能的解析解，并在此基礎上給出：不同市場情形、各種初始持倉條件下的最優(yōu)交易策略.通過對上述策略的進一步分析可以發(fā)現(xiàn)：

(1)在弱有效市場的條件下，存在一個使投資效用最大化的初始持倉，即機會容量.它由證券的預期回報率和波動率，以及投資者的風險規(guī)避系數(shù)三個因素決定.無論投資者的初始持倉大于還是小于機會容量，都會導致其投資效用的下降.只有當其持倉水平等于機會容量時，才能獲得最大化的投資效用.

(2)不論市場行情如何(看漲還是看跌)，投資者需以最大交易速度在投資期的初始階段以機會容量為目標調整持倉，并盡可能使其持倉水平達到機會容量，然后保留該持倉水平在投資期的最后階段以最大交易速度出清頭寸.這是弱有效市場、交易速度受制約條件下最優(yōu)交易策略的共同特征.