雙因子隨機條件極差模型及其實證研究*

吳鑫育， 謝海濱， 汪壽陽

(1. 安徽財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院， 蚌埠 233030； 2. 對外經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)金融學(xué)院， 北京 100029；3. 中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院, 北京 100190)

0 引 言

由于波動率在投資組合構(gòu)建、風(fēng)險管理以及資產(chǎn)定價等諸多金融領(lǐng)域中的重要作用, 對波動率的研究一直以來都是金融計量經(jīng)濟學(xué)文獻關(guān)注的一個熱點問題. 尤其是隨著我國衍生產(chǎn)品市場的快速發(fā)展, 對衍生產(chǎn)品進行合理定價變得越來越重要和緊迫, 而這依賴于對波動率的準確估計, 由此對波動率建立合適的數(shù)學(xué)模型, 對模型估計與應(yīng)用(例如波動率預(yù)測)的研究變得日益重要. 而且, 由于金融市場波動率與金融市場的穩(wěn)定及至實體經(jīng)濟的波動有著緊密聯(lián)系, 了解和關(guān)注波動率動態(tài)性對于研究人員、政策制定者和監(jiān)管者都具有十分重要的意義.

金融市場波動率呈現(xiàn)豐富、復(fù)雜的特性. 研究表明, 波動率往往表現(xiàn)出時變性和聚集性, 即一個大的波動后面往往伴隨著較大的波動, 而一個小的波動后面往往伴隨著較小的波動. Bollerslev[1]和Taylor[2]提出的廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型和隨機波動率(SV)模型是兩類能夠較好地捕獲波動率的這種動態(tài)特征的模型. GARCH模型假設(shè)條件方差是歷史信息集的一個確定性函數(shù), 而SV模型假設(shè)條件方差是由一個隱含的隨機過程生成, 是不可觀測的. 由于SV模型在條件方差過程中引入了一個新的隨機過程, 模型的尾部擬合能力更強, 能夠解釋資產(chǎn)收益率大部分的非正態(tài)性(“尖峰”、“厚尾”), 這使得SV模型相比GARCH模型具有更高的靈活性以及對金融時間序列數(shù)據(jù)更好的樣本內(nèi)擬合效果和樣本外波動率預(yù)測效果[3,4]. 而且, 由于SV模型與連續(xù)時間金融的緊密聯(lián)系, 這類模型在資產(chǎn)定價和衍生產(chǎn)品定價中得到了廣泛的關(guān)注與應(yīng)用.

然而, 傳統(tǒng)上這些模型都是基于由收盤價信息計算得到的收益率進行建模. 但是收益率數(shù)據(jù)僅利用了收盤價信息, 忽略了日內(nèi)價格變動的信息, 并不能完全反映資產(chǎn)價格實際日內(nèi)波動情況, 導(dǎo)致信息與效率的損失. 特別是在金融市場高波動時期, 采用收益率信息估計的波動率往往存在嚴重低估. 為了克服上述問題, 充分利用每天資產(chǎn)的最高價和最低價(日內(nèi)價格路徑)信息, Parkinson[5]考慮構(gòu)建了價格極差(最高價和最低價之差)作為波動率的代理變量, 該估計量在理論上比基于收益率估計的波動率具有更高的效率, 提高了對波動率估計的有效性. 另一種利用日內(nèi)信息對波動率估計的方法是基于日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)構(gòu)建已實現(xiàn)波動率測度. 已實現(xiàn)波動率測度的優(yōu)點是構(gòu)造簡單且充分利用了交易日內(nèi)的收益率信息, 理論上利用高頻交易數(shù)據(jù)可以獲得波動率更加精確的估計. 然而, 實際中由于高頻數(shù)據(jù)受到微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響, 高頻環(huán)境下市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲對已實現(xiàn)波動率測度存在顯著的影響, 而且這種影響會隨著抽樣頻率的增加而增加, 導(dǎo)致已實現(xiàn)波動率測度往往是真實波動率的有偏估計. 相比較而言, 價格極差對微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響并不敏感, 是對微觀結(jié)構(gòu)噪聲較為穩(wěn)健的波動率估計量[6]. 事實上, Degiannakis和Livada[7]研究發(fā)現(xiàn), 價格極差波動率相比已實現(xiàn)波動率測度是更為精確的波動率估計量. 此外, 由于金融市場每天交易的最高價和最低價相比高頻數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)的獲取上也更為容易, 這使得基于價格極差的波動率建模方法具有廣泛的適用性, 在金融學(xué)文獻中得到了越來越多的關(guān)注與應(yīng)用, 例如Chou和Wang[8]、Yarovaya等[9]和Benlagha和Chargui[10].

與基于收益率對波動率建模的研究相比, 基于價格極差對波動率建模的研究相對較少. Alizadeh等[6]和Brandt和Jones[11]考慮了將價格極差與傳統(tǒng)SV模型和EGARCH模型結(jié)合對波動率進行估計, 他們發(fā)現(xiàn)基于極差的波動率模型相比基于收益率的波動率模型可以獲得更好的樣本外波動率預(yù)測效力. 然而, 這些研究主要針對對數(shù)價格極差進行建模, 建立在對數(shù)價格極差近似服從正態(tài)分布的假設(shè)上. 然而, 實際可能并非如此. 基于此, Chou[12]構(gòu)建了對價格極差動態(tài)性直接建模的條件自回歸極差(CARR)模型, 他發(fā)現(xiàn)基于極差的CARR模型相比傳統(tǒng)的基于收益率的GARCH模型可以獲得更準確的波動率估計結(jié)果. 隨后, Chou和Liu[13]利用基于價格極差的波動率模型實證考察了波動率擇時的經(jīng)濟價值, 發(fā)現(xiàn)基于價格極差的波動率模型相比基于收益率的波動率模型具有更好的表現(xiàn). Chou等[14]對價格極差波動率模型的最新研究給出了一個詳盡的評述. 關(guān)于價格極差波動率模型的一些其它應(yīng)用可以參考Chiang和Wang[15], Miao等[16], Anderson等[17]和Auer[18].

國內(nèi)一些學(xué)者也對價格極差波動率模型進行了深入研究. 周杰和劉三陽[19]、蔣祥林等[20]探討了基于價格極差的波動率模型相對于基于收益率的波動率模型的有效性. 李紅權(quán)和汪壽陽[21]、Li和Hong[22]引入并擴展了基于價格極差的自回歸波動率模型, 研究發(fā)現(xiàn)構(gòu)建的模型能夠有效刻畫波動率的動態(tài)性, 且比GARCH模型具有更好的波動率預(yù)測效果. 趙樹然等[23]考慮了基于CARR模型和極值理論的風(fēng)險價值的估計問題, 發(fā)現(xiàn)該方法極大提高了風(fēng)險度量的精確性. 鄭挺國和左浩苗[24]構(gòu)建了基于價格極差的區(qū)制轉(zhuǎn)移SV模型, 并對模型的波動率預(yù)測能力進行了研究. 孫便霞和王明進[25]、劉威儀等[26]將價格極差引入GARCH模型中, 考察了模型對波動率及風(fēng)險價值的預(yù)測能力. 王沁[27]基于杠桿效應(yīng)CARR模型考慮了波動率的預(yù)測問題, 獲得了較好的波動率預(yù)測效果.

CARR模型在結(jié)構(gòu)上與GARCH模型相似, 模型靈活性仍有待提高. 借鑒SV模型的建模思路, 最近Galli[28]提出隨機條件極差(SCR)模型來描述價格極差的動態(tài)性. 在SCR模型中, 價格極差動態(tài)性由一個不可觀測的隱變量驅(qū)動, 可以捕獲市場上不可觀測的信息流的到來, 模型變得更加靈活. 在該模型下, 價格極差具有混合分布特征. Galli[28]研究表明, SCR模型相比CARR模型具有更好的樣本內(nèi)擬合效果, 但是樣本外預(yù)測表現(xiàn)與CARR模型并沒有太大差別. 此外, 研究也發(fā)現(xiàn)基本的SCR模型對于描述金融時間序列的一些經(jīng)驗特征事實仍過于局限, 例如波動率不僅具有短期的相關(guān)性, 同時具有長期的相互影響, 即波動率具有持續(xù)性和長記憶性[29,30]. SCR模型對于充分刻畫這種波動率長記憶特征仍存在局限性. 此外, Galli[28]采用對數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布對價格極差的新息建模, 其對于價格極差尾部分布的擬合并不充分. Xie和Wu[31]在CARR模型體系下，采用Gamma分布對價格極差新息進行建模，發(fā)現(xiàn)其能夠改進數(shù)據(jù)擬合效果，克服價格極差的“異常值”(Outliers)問題.

基于以上認識, 構(gòu)建基于Gamma分布的雙因子SCR(2FSCR)模型來描述價格極差的動態(tài)性, 以綜合捕獲金融市場波動率的時變性、聚集性與長記憶特征. Corsi和Reno[32]研究表明, 波動率的長記憶性可以由波動率因子的疊加效應(yīng)(多因子波動率)來捕獲. 同時, 在2FSCR 模型中引入第二個隱因子也有助于解釋更為復(fù)雜的價格極差的混合分布形態(tài). 2FSCR模型屬于雙因子波動率模型, 其與多因子連續(xù)時間資產(chǎn)定價模型有著緊密聯(lián)系, 在金融計量經(jīng)濟學(xué)文獻中引起了廣泛的關(guān)注, 例如Alizadeh等[6]、Durham[33]、Christoffersen等[34]. 2FSCR 模型相比CARR模型和SCR模型都更為靈活, 但同時模型的參數(shù)估計也變得更加困難. 為了估計2FSCR模型的參數(shù), 給出靈活且易于實現(xiàn)的基于連續(xù)粒子濾波(continuous particle filters)的極大似然估計方法, 并通過模擬驗證了估計方法的有效性. 最后, 利用提出的2FSCR模型對上證綜合指數(shù)、深證成份指數(shù)、香港恒生指數(shù)和美國標普500 指數(shù)進行擬合, 對模型與CARR模型和SCR模型的樣本內(nèi)擬合和樣本外預(yù)測效果進行比較分析, 驗證了提出模型的優(yōu)越性.

1 2FSCR模型

設(shè)pt是資產(chǎn)的對數(shù)價格, 價格極差Rt定義為

Rt≡max{pτ}-min{pτ},τ∈[t-1,t]

(1)

為了描述價格極差Rt的動態(tài)性, Chou[12]提出如下CARR(p,q)模型

Rt=λtεt

(2)

(3)

εt|Ft-1～i.i.d.f(εt;?)

(4)

為了獲得更高的模型靈活性, 借鑒SV模型的建模思路, 最近，Galli[28]對CARR模型進行了拓展, 提出如下對價格極差建模的SCR模型

Rt=exp(ξt)εt,ξt=c+λt

(5)

λt=βλt-1+ηt

(6)

εt|Ft-1～i.i.d.f(εt;?)

(7)

ηt|Ft-1～i.i.d.N(0,σ2)

(8)

(9)

其中λt是不可觀測的隱變量, 服從高斯AR(1)過程, 為了保證其平穩(wěn)性, 必須有|β|<1,εt與ηt相互獨立, 引入新息ηt增加了模型的靈活性. 可以看到, 在SCR模型中, 價格極差Rt的分布來自于exp(ξt) 的分布(對數(shù)正態(tài)分布)與εt分布的混合, 即價格極差Rt具有混合分布特征. Galli[28]在其提出的SCR模型中, 假設(shè)新息εt服從對數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布, 但沒有考慮更合適的Gamma分布對價格極差新息進行建模.

SCR模型能夠成功地捕獲波動率時變性和聚集性, 但對于刻畫波動率的其它一些經(jīng)驗特征事實仍過于局限, 例如它沒有考慮到波動率過程具有的長記憶特征. 鑒于此, 引入能夠刻畫波動率長記憶性的2FSCR模型對價格極差建模, 同時引入Gamma分布來描述價格極差新息的分布, 由此構(gòu)建的2FSCR模型為

Rt=exp(ξt)εt,ξt=c+λ1,t+λ2,t

(10)

λi,t=βiλi,t-1+ηi,t,i=1,2

(11)

εt|Ft-1～i.i.d.f(εt;?)

(12)

(13)

(14)

其中εt、η1,t和η2,t相互獨立, 且εt服從標準Gamma(ν,1)分布, 其概率密度函數(shù)為

(15)

其中ν(ν>0)是形狀參數(shù), ?=ν. 當ν=1時, Gamma分布簡化為指數(shù)分布. Xie和Wu[31]研究表明, 新息服從Gamma 分布的CARR模型相比新息服從對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和Weibull分布的CARR模型更容易產(chǎn)生異常值, 能更好地擬合價格極差的分布.

在2FSCR模型中, 通過式(11)引入雙因子(兩個相互獨立的AR(1)過程)來捕獲波動率過程的長記憶相關(guān)性. 假設(shè)-1<β2<β1<1, 保證波動率因子過程λ1,t和波動率因子過程λ2,t是平穩(wěn)的且可識別, 其中第一個因子代表波動率長期成份(持續(xù)性/長記憶波動率因子), 第二個因子代表波動率短期成份(非持續(xù)性/短記憶波動率因子). 由于2FSCR模型中引入了第二個隱因子, 其相比單因子的SCR模型, 可以解釋更為復(fù)雜的價格極差的混合分布形態(tài).

2 估計方法

由于2FSCR模型中包含不可觀測的狀態(tài)變量, 模型的似然函數(shù)是一個復(fù)雜的高維積分, 這導(dǎo)致2FSCR模型不像CARR模型那樣可以直接運用極大似然方法進行估計. 為了克服這個問題, 可以運用粒子濾波方法來獲得模型的似然函數(shù), 進而采用極大似然方法對模型參數(shù)進行估計.粒子濾波方法是一種序貫蒙特卡羅方法, 它通過模擬抽樣來產(chǎn)生預(yù)測和濾波分布. 最經(jīng)典和常用的粒子濾波方法是由Gordon等[35]提出的抽樣重要性重抽樣(sampling/importance resampling, SIR)濾波方法. SIR方法對于處理包含不可觀測狀態(tài)變量的非線性模型非常方便, 它易于實現(xiàn), 且具有非常強的適用性, 可以容易地應(yīng)用于各種模型[36,37].

然而, 基于標準的SIR濾波算法得到的模型似然函數(shù)通常是不連續(xù)的, 這給采用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法來最大化相應(yīng)的似然函數(shù)造成困難. 為了克服這個問題, 運用Malik和Pitt[38]提出的連續(xù)重抽樣方法, 構(gòu)建相應(yīng)的連續(xù)SIR(CSIR)算法來獲得2FSCR模型連續(xù)的似然函數(shù)估計.

(16)

其中Ft-1={R1,…,Rt-1}為t-1時刻的信息集以及

(λt+1|Ft;Θ)dλt+1

(17)

它可以通過蒙特卡羅模擬近似得到, 即

(18)

根據(jù)貝葉斯原理, 有

p(λt+1|Ft+1;Θ)∝p(Rt+1|λt+1;Θ)p(λt+1|Ft;Θ)

(19)

其中p(λt+1|Ft+1;Θ)稱為濾波密度. 粒子濾波即根據(jù)式(19), 通過模擬抽樣(粒子)來遞歸地獲得濾波密度p(λt+1|Ft+1;Θ)的近似.

(20)

為了從式(20)中抽樣, 可以利用SIR濾波方法. 2FSCR模型的SIR濾波算法具體如下

步驟2計算歸一化權(quán)重

(21)

其中

基于SIR算法, 可以得到似然估計為

(22)

(23)

上述對數(shù)似然估計不是無偏的, 需要進行偏差修正. 修正得到無偏的對數(shù)似然的估計為

(24)

其中

基于CSIR算法可以得到連續(xù)的似然函數(shù)估計, 進而結(jié)合極大似然方法容易得到2FSCR模型參數(shù)的模擬極大似然估計為

(25)

3 模擬實驗

為了檢驗第2部分構(gòu)建的基于CSIR濾波的極大似然估計方法的精確性和有限樣本性質(zhì), 這部分進行蒙特卡羅模擬實驗. 考慮基于SCR 模型和2FSCR模型的模擬研究(2)由于SCR模型可以看作2FSCR模型的特例, 因此第2部分構(gòu)建的基于CSIR濾波的極大似然估計方法只需要簡單的修改即可應(yīng)用于SCR模型的估計., 模型真實參數(shù)值設(shè)定為

1) SCR模型

Rt=exp(ξt)εt,ξt=-1.50+λt

λt=0.98λt-1+ηt

εt|Ft-1～i.i.d.Gamma(7,1)

ηt|Ft-1～i.i.d.N(0,0.01)

2) 2FSCR模型

Rt=exp(ξt)εt,ξt=-2.80+λ1,t+λ2,t

λ1,t=0.98λ1,t-1+η1,t

λ2,t=0.09λ2,t-1+η2,t

εt|Ft-1～i.i.d.Gamma(30,1)

η1,t|Ft-1～i.i.d.N(0,0.004 5)

η2,t|Ft-1～i.i.d.N(0,0.10)

根據(jù)上述“真實的”SCR模型和2FSCR模型模擬產(chǎn)生樣本長度為T=2 500與T=4 000的觀測序列, 對每一觀測序列運用基于CSIR濾波的極大似然方法進行估計, 重復(fù)模擬和估計實驗100 次獲得參數(shù)估計的均值、標準差和均方根誤差(RMSE). 基于CSIR 濾波的極大似然估計方法采用MATLAB軟件編程實現(xiàn).

表1給出了數(shù)值模擬的實驗結(jié)果. 從表1可以看到, 參數(shù)估計的均值都接近于相應(yīng)的參數(shù)真實值; 參數(shù)估計的標準差都接近于RMSE, 表明估計的有限樣本偏差較小. 隨著樣本長度的增加(T:2 500→4 000), 參數(shù)估計的標準差和RMSE都變得越小, 說明參數(shù)估計值隨著樣本長度的增加而趨于收斂于參數(shù)真實值. 同時, 值得注意的是, 比較SCR模型與2FSCR模型的模擬結(jié)果可以看到, 2FSCR模型參數(shù)的估計相比SCR模型參數(shù)的估計要更為困難. 特別地, 2FSCR模型中短記憶波動率因子過程參數(shù)的估計相比其它參數(shù)的估計存在更高的偏差(標準差), 這與Durham[33]的研究結(jié)果一致, 如何獲得更為精確的短記憶波動率因子過程參數(shù)的估計結(jié)果有待進一步的研究. 總體上, 運用基于CSIR濾波的極大似然方法估計(2F)SCR模型可以獲得較為合理和有效的參數(shù)估計結(jié)果.

表1 數(shù)值模擬結(jié)果

注:粒子數(shù)選取為500, 重復(fù)模擬實驗100次獲得參數(shù)估計的均值、標準差和均方根誤差(RMSE).

4 實證研究

4.1 數(shù)據(jù)

采用上證綜合指數(shù)(SSE)、深證成份指數(shù)(SZSE)、香港恒生指數(shù)(HSI)和美國標普500指數(shù)(SPX)從2001年1月4日至2017年5月25 日的日交易價格數(shù)據(jù)(包括每日的開盤價、最高價、最低價和收盤價)作為研究樣本, 得到四個指數(shù)各3 971、3 971、4 042和4 125組觀測值. 所有數(shù)據(jù)均來源于Wind資訊. 指數(shù)價格極差采用式(1)計算, 并乘以100.

圖1給出了SSE、SZSE、HSI和SPX指數(shù)價格極差時間序列圖. 從圖1可以看出, 四個指數(shù)在抽樣階段內(nèi)均展現(xiàn)明顯的波動率時變性和聚集性特征.

圖1 指數(shù)價格極差時間序列圖

表2給出了四個指數(shù)價格極差(Rt)和對數(shù)價格極差(lnRt)的描述性統(tǒng)計量. 從表2可以看到, 四個指數(shù)價格極差偏度都明顯大于0, 峰度都大于3, 表明四個指數(shù)價格極差分布都呈現(xiàn)正偏、尖峰和厚尾特征; Jarque-Bera統(tǒng)計量顯著, 拒絕其正態(tài)性假定. 但比較對數(shù)價格極差與價格極差的描述性統(tǒng)計量可以看到, 對數(shù)價格極差的偏度、峰度和Jarque-Bera統(tǒng)計量都大大降低, 雖然并不完全服從正態(tài)分布, 但相比較而言已較為接近于正態(tài)分布. Ljung-BoxQ統(tǒng)計量表明(對數(shù))價格極差波動率序列具有非常強的持續(xù)性.

表2 指數(shù)價格極差描述性統(tǒng)計量

注:括號中是相應(yīng)統(tǒng)計量的P值.

4.2 參數(shù)估計結(jié)果

運用第2部分給出的基于CSIR濾波的極大似然估計方法, 得到2FSCR模型的參數(shù)估計結(jié)果及其標準誤差、對數(shù)似然值(lnlik)、赤池信息準則(AIC)和貝葉斯信息準則(BIC)如表3所示. 為了比較起見, 表3也給出了CARR(1,1)模型和單因子的SCR模型的估計結(jié)果.

從表3可以看到, SSE、SZSE、HSI和SPX指數(shù)價格極差都具有非常高的持續(xù)性: CARR模型中系數(shù)αν+β, SCR模型中系數(shù)β和2FSCR模型中系數(shù)β1的估計值都非常接近于1. 所有模型中參數(shù)ν的估計值都明顯大于1, 表明價格極差偏離于指數(shù)分布(3)事實上, 也估計了新息服從指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布與Weibull分布下的價格極差模型(CARR模型、SCR模型和2FSCR模型), 發(fā)現(xiàn)這些新息分布設(shè)定比新息Gamma分布的設(shè)定在模型擬合上要差. 為了節(jié)省空間, 這里沒有給出這些估計結(jié)果, 如有需要可向作者索取..比較CARR模型、SCR模型和2FSCR模型的估計結(jié)果可以看到, CARR模型具有最低的對數(shù)似然值和最高的AIC值和BIC值, 表明CARR模型數(shù)據(jù)擬合表現(xiàn)最差. 比較SCR模型和2FSCR模型的估計結(jié)果可以看到, 雙因子2FSCR模型相比單因子SCR 模型具有更高的對數(shù)似然值和更低的AIC值和BIC值, 表明能夠描述波動率長記憶性和復(fù)雜混合分布形態(tài)的雙因子2FSCR模型通過引入第二個波動率因子過程確實增加了模型的靈活性, 獲得了最佳的數(shù)據(jù)擬合效果.

4.3 模型診斷

ut=F(Rt|Ft-1)

(26)

基于CSIR算法容易得到其估計為

(27)

圖2給出了不同模型廣義殘差的Q-Q圖. 從圖中可以看到, CARR模型對于價格極差的擬合最差, SCR模型次之, 2FSCR模型具有最佳的價格極差尾部分布擬合效果.

圖3和圖4分別給出了廣義殘差及其平方的樣本自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖. 從廣義殘差的樣本ACF圖(圖3)可以看到, CARR模型的廣義殘差存在一些(弱的1階或2階)自相關(guān)性, 相比較而言, SCR模型和2FSCR模型的廣義殘差不存在明顯的序列相關(guān)性, 廣義殘差序列基本上是獨立的. 進一步, 所有模型廣義殘差平方的樣本ACF圖(圖4)表明廣義殘差序列不存在明顯的條件異方差性, 因此模型能充分地描述價格極差波動率序列的線性相依性(長記憶性).

綜上, 2FSCR模型相比CARR模型和SCR模型能更充分地綜合描述價格極差波動率的尾部分布和動態(tài)性(時變性、聚集性和長記憶性).

4.4 樣本外波動率預(yù)測

模型好的樣本內(nèi)表現(xiàn)不一定意味著一定具有好的樣本外表現(xiàn). 因此, 這部分進一步考察模型實際的樣本外波動率預(yù)測效果. 考慮CARR模型、SCR模型和2FSCR模型向前一步的波動率預(yù)測, 并進行比較分析. 基于CSIR濾波方法, SCR模型和2FSCR模型的波動率預(yù)測是容易的.

由于波動率是不可觀測的, 采用事后波動率: 價格極差(RANG)和已實現(xiàn)波動率(RV), 作為真實波動率的代理變量和比較基準. 日度RV采用5min高頻數(shù)據(jù)基于下式計算得到(5)指數(shù)5min高頻數(shù)據(jù)來源于Wind資訊.

(28)

其中pt,i是第t交易日的第i個時間間隔上的對數(shù)收盤價,n是日內(nèi)收益率總數(shù)目. 關(guān)于采用RV作為波動率測度的理論考察可以參考Barndorff-Nielsen和Shephard[39].

采用的數(shù)據(jù)為4.1節(jié)介紹的SSE指數(shù)、SZSE指數(shù)、HSI指數(shù)和SPX指數(shù)從2001年1月4日至2017年5月25日的數(shù)據(jù). 將數(shù)據(jù)樣本分為“樣本內(nèi)”估計階段和“樣本外”預(yù)測評估階段兩個階段. 采用滾動窗方法對模型進行估計與對波動率進行預(yù)測. 首先估計模型的抽樣階段為從2001年1月4日到2017年1月3日, 第一個預(yù)測日期為2017年1月4日. 當一個新的觀測值增加到樣本中, 刪除第一個觀測值并重新估計模型, 然后將重新估計的模型用于波動率預(yù)測. 整個過程不斷重復(fù)直至抽樣日期2017年5月24日. 因此, 最終的預(yù)測日期為2017年5月25日. 將預(yù)測波動率與相應(yīng)的觀測基準波動率RANG和RV進行比較.

為了對模型的波動率預(yù)測精確性進行評價, 采用均方根誤差(RMSE)和平均絕對誤差(MAE)兩個損失函數(shù), 分別定義為

其中MV是觀測的(事后)波動率, 即RANG或RV;FV(m)是預(yù)測的波動率,m為波動率模型, 即CARR模型、SCR模型或2FSCR模型.

表4給出了波動率預(yù)測精確性的評估結(jié)果. 從表4可以看到, 當采用RANG作為比較基準, SCR模型的預(yù)測效果在某些情形下(SSE指數(shù)和HSI 指數(shù))并不比CARR模型好. 但對于2FSCR 模型, 所有情形下都獲得了相比CARR模型和SCR模型更好的波動率預(yù)測效果.

圖2 不同模型廣義殘差的Q-Q圖

圖3 不同模型廣義殘差的樣本

圖4 不同模型廣義殘差平方的樣本ACF圖

表4 波動率預(yù)測結(jié)果

注:RANG是價格極差,RV是已實現(xiàn)波動率.RMSE是均方根誤差,MAE是平均絕對誤差.

當采用RV作為比較基準時, 模型預(yù)測誤差之間的差別更大, 隨機條件極差類模型(SCR模型和2FSCR模型)的表現(xiàn)一致優(yōu)于CARR模型, 表明該類模型能更好地反映波動率不可觀測這一特征. 此外, 在四個指數(shù)的波動率預(yù)測中, 2FSCR模型相比CARR模型和SCR模型都具有更好的表現(xiàn). 特別地, SCR模型相比CARR模型在預(yù)測精確性上的改進比率約為1.6%/2.2%到7.5%/8.5%(RMSE/MAE降低比率), 2FSCR模型相比CARR模型在預(yù)測精確性上的改進比率約為10%/11%到15%/16%, 2FSCR模型對于波動率預(yù)測結(jié)果的改進較為明顯. 這可以解釋為RV充分利用了每天日內(nèi)信息, 所以包含了更多的波動率信息, 是波動率更好的代理變量, 故模型之間的差別更明顯.

5 結(jié)束語

通過對經(jīng)典的CARR模型進行擴展, 構(gòu)建了基于Gamma分布的2FSCR模型來描述價格極差的動態(tài)性. 該模型在結(jié)構(gòu)上與雙因子SV模型類似, 能夠捕獲波動率的長記憶特征以及解釋更復(fù)雜的價格極差的混合分布形態(tài), 因此模型具有非常高的靈活性. 為了估計2FSCR 模型的參數(shù), 構(gòu)建了基于連續(xù)粒子濾波的極大似然估計方法. 蒙特卡羅模擬實驗表明, 該估計方法是有效性的. 采用SSE指數(shù)、SZSE指數(shù)、HSI指數(shù)和SPX指數(shù)四個指數(shù)數(shù)據(jù)進行了實證研究, 得到以下結(jié)論

(1)根據(jù)AIC和BIC對模型進行比較, 2FSCR模型相比CARR模型以及單因子的SCR模型都具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果;

(2)針對模型廣義殘差的診斷分析表明, 2FSCR模型相比CARR模型和SCR模型能夠更好地刻畫價格極差新息的尾部分布, 能夠更充分地捕獲波動率的動態(tài)特征(時變性、聚集性與長記憶性);

(3)采用滾動窗方法對波動率進行預(yù)測, 利用價格極差與已實現(xiàn)波動率作為比較基準對模型的預(yù)測能力進行了比較分析, 發(fā)現(xiàn)2FSCR 模型相比CARR模型和SCR模型都具有更為優(yōu)越的波動率預(yù)測效果. 特別地, 當采用已實現(xiàn)波動率作為比較基準時, 2FSCR模型在波動率預(yù)測精確性上的改進較為明顯.

因此, 提出的2FSCR模型不僅具有更好的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)擬合效果, 同時獲得了更好的樣本外波動率預(yù)測效果, 是一個較為成功的波動率模型. 未來可以考慮對該模型進行更深入的拓展和應(yīng)用研究, 例如可以考慮引入“杠桿效應(yīng)”并進一步考察模型的樣本內(nèi)與樣本外表現(xiàn), 而將模型應(yīng)用于金融市場風(fēng)險度量、衍生產(chǎn)品定價和資產(chǎn)組合管理等問題中, 也是未來重要的研究方向.