考慮結(jié)合面影響的拉桿組合轉(zhuǎn)子動力學特性分析

李 鑫，楊 洋，葛玉梅

（西南交通大學力學與工程學院，成都 610031）

引言

輪盤式周向拉桿組合轉(zhuǎn)子因其裝配、檢修方便等特點［1］而廣泛應用于重型燃氣輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中。其主要通過拉桿螺栓將各級輪盤固定而成一個整體，輪盤之間的接觸剛度對整個系統(tǒng)的動力學特性影響較大。早期的研究表明，人們主要將拉桿組合轉(zhuǎn)子視為一個整體進行研究，通過有限元手段、離散質(zhì)量法以及傳遞矩陣法來分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性，但這樣的處理會使其固有頻率高于實驗觀察的結(jié)果［2］。因此，建立更加精確的拉桿組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型是必要的。汪光明等［3］針對鼓筒式拉桿轉(zhuǎn)子模型，對輪盤連接界面采用鉸鏈-等效彈簧的處理形式，求出系統(tǒng)的解析解，但該模型并未給出等效彈簧剛度值的計算方法。饒柱石等［4］在G-W接觸模型的基礎(chǔ)上，在考慮輪廓表面波紋度的影響，推導出彈性接觸狀態(tài)下的接觸剛度的計算公式，彌補了汪光明提出的鉸鏈-等效彈簧模型的不足。文獻［5-8］均采用鉸鏈-等效彈簧的方法建立拉桿組合轉(zhuǎn)子模型。其中，文獻［5］建立了考慮軸承非線性油膜力的12個自由度的軸向拉桿組合轉(zhuǎn)子模型，采用非線性彎曲彈簧處理輪盤之間的接觸，通過分析組合轉(zhuǎn)子非線性行為，并與整體式轉(zhuǎn)子系統(tǒng)比較，發(fā)現(xiàn)組合轉(zhuǎn)子更具穩(wěn)定性。文獻［7-8］將轉(zhuǎn)靜子定點碰磨加入到考慮非線性油膜力的拉桿組合轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)的動力學特性。研究表明隨著轉(zhuǎn)速的變化，系統(tǒng)在非線性油膜力和碰磨力的作用下會有明顯的非線性特性。此外也有采用剛度修正法［9-10］、薄層單元法［11］、有限元法［12］等效拉桿組合轉(zhuǎn)子輪盤結(jié)合面剛度。

綜上所述，在分析拉桿組合轉(zhuǎn)子動力學特性時，建立一個合理的且能夠反應系統(tǒng)實際情況的模型具有重要意義。而在考慮拉桿組合轉(zhuǎn)子輪盤結(jié)合面之間的接觸剛度時，以往的學者多采用Herzt接觸模型或者GW接觸模型來推導接觸剛度，與分形接觸理論比起來并不能很好反映真實接觸情況。其次，在建立拉桿組合轉(zhuǎn)子模型時，多采用對稱結(jié)構(gòu)，并沒有考慮到因輪盤的存在而出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)不對稱。

本文將拉桿組合轉(zhuǎn)子輪盤進行簡化，建立考慮輪盤接觸的轉(zhuǎn)子模型，使其更加貼近拉桿組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實際結(jié)構(gòu)。其次基于分形理論推導拉桿組合轉(zhuǎn)子輪盤之間的彎曲接觸剛度，并考慮拉桿因橫向振動而產(chǎn)生彎曲對接觸剛度的影響，進而采用鉸鏈-等效彈簧來模擬輪盤結(jié)合面。最后用數(shù)值仿真分析考慮輪盤之間的接觸剛度對系統(tǒng)的動力學特性影響。

1 拉桿組合轉(zhuǎn)子模型簡化

研究表明，組合輪盤的使用是為了提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度，增大其固有頻率。但由于輪盤帶有質(zhì)量，又使得系統(tǒng)固有頻率降低。從計算和實驗數(shù)據(jù)來看，二者作用可相互抵消［3］。

圖1為一桿組合轉(zhuǎn)子的實驗模型［3］，由8根拉桿將8個輪盤連接的滾動軸承支撐的周向拉桿組合轉(zhuǎn)子。對其進行簡化：將帶有葉片的輪盤簡化為具有質(zhì)量的剛性薄圓盤。在考慮輪盤之間的接觸時，為了簡化計算，只考慮兩個輪盤之間的接觸（即將輪盤分為兩組，各組之間的輪盤整合為一個整體，只考慮整合后的輪盤之間的接觸特性），從而建立考慮結(jié)構(gòu)非對稱的簡化模型如圖2所示?？紤]到結(jié)構(gòu)的不對稱，左右兩組各有3個和5個輪盤。

該模型共有5個單元，共4個節(jié)點，16個自由度。其中單元分別有轉(zhuǎn)軸1-2梁單元、2-4梁單元，輪盤組OA、OB構(gòu)成的盤單元以及考慮輪盤接觸的梁單元2-3。其中梁單元2-3是由左、右輪盤組各提供的一個輪盤和輪盤間的粗糙接觸層共同組成。

對于實際的拉桿組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，由于制造技術(shù)及裝配工藝的限制，輪盤的質(zhì)心往往與其幾何形心不重合，會使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到不平衡質(zhì)量激勵力。因此，定義輪盤組OA處存在質(zhì)量偏心，將偏心質(zhì)量考慮到模型中。

圖1 拉桿組合轉(zhuǎn)子實驗模型

圖2 拉桿組合轉(zhuǎn)子簡化模型

2 拉桿組合轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)動力學模型建立

2.1 結(jié)合面接觸的彎曲剛度

研究表明［13］，很多加工過的零件表面可以觀察到自仿射和多尺度的分形特征。因此在研究粗糙結(jié)合面的接觸剛度時，可以采用分形的思想。

假設(shè)在結(jié)合面的接觸過程中只發(fā)生彈性變形，可得到其接觸力的表達式［14］：

其中，D為分形維數(shù)，G為輪廓特征參數(shù)，κ為一系數(shù)，反映各等級微凸體面積分布概率的關(guān)系，Ec為材料彈性模量，anl為尺度序數(shù)為n的微凸體的接觸面積，anec為發(fā)生彈性變形的臨界接觸面積，n為尺度序數(shù)，nmin和nmax分別表示最大和最小尺度序數(shù)。

各尺度序數(shù)下的接觸面積與接觸距離的關(guān)系為：

其中，Rn為該尺度序數(shù)下的曲率半徑，wn為接觸距離。

聯(lián)立式（1）和式（2），將接觸力對接觸距離求導便得到結(jié)合面的法相接觸剛度，其表達式為：

因此，結(jié)合面的彎曲剛度可以表示為：

其中，，為等效分布彈簧的彈性常數(shù)，Ar表示真實r接觸面積，Ia表示接觸面名義截面矩，ηra是真實接觸面積與名義接觸面積之比，定義為ηra=。

根據(jù)文獻［15］可得切向接觸剛度：

其中，v為材料泊松比。

拉桿組合轉(zhuǎn)子在發(fā)生橫向振動時，將導致拉桿軸線發(fā)生彎曲，從而使得此時的拉桿在原有預緊力伸長量的基礎(chǔ)上會產(chǎn)生一定的伸長或縮短。因此，拉桿內(nèi)部會產(chǎn)生一個抵抗彎曲變形的力矩，這等于給系統(tǒng)附加了抵抗因橫向振動而產(chǎn)生彎曲變形的抗彎彎矩。

當拉桿受到F0的預緊力作用時，可得到單根拉桿的變形量：

其中，Er為拉桿的彈性模量；Lr和Δl分別為拉桿的原長和形變量；r0為拉桿的半徑。

圖2可以看出，8根拉桿均勻周向分布在輪盤上，當轉(zhuǎn)子發(fā)生橫向振動時，處在不同位置的拉桿距離偏轉(zhuǎn)中性面（偏轉(zhuǎn)過程中伸長率為0的面）的距離不同。因此設(shè)Riy表示第i根長拉桿距離偏轉(zhuǎn)中性面的距離。當輪盤偏轉(zhuǎn)時，任意一根拉桿都會伸長或縮短，如圖3所示。

圖3 存在傾角的轉(zhuǎn)子軸段模型

就轉(zhuǎn)子軸段中的某一個拉桿而言，在預緊力和彎矩作用下總的產(chǎn)生的形變量為：

其中，Riy表示拉桿因輪盤偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的距離。進而可得到此時拉桿所受預緊力以及拉桿作用到輪盤上的彎矩：

當有n根拉桿共同作用時，輪盤上總的拉桿預緊力為∑Mi，則因拉桿產(chǎn)生的總的彎曲剛度為：

結(jié)合2.1節(jié)前面所推導的輪盤結(jié)合面接觸彎曲剛度KG，二者是并聯(lián)關(guān)系，故在輪盤接觸層上的總的彎曲剛度：

2.2 動力學方程的構(gòu)建

本文采用Timoshenko梁-軸理論建立轉(zhuǎn)軸單元以及考慮輪盤接觸的梁單元模型，采用盤單元模擬輪盤組。

2.2.1 轉(zhuǎn)軸單元的運動方程

根據(jù)Timoshenko梁-軸理論建立轉(zhuǎn)軸單元運動微分方程為：

其中，q1、q2分別表示轉(zhuǎn)軸在xy和xz平面內(nèi)的平動和轉(zhuǎn)動自由度分別為單元質(zhì)量矩陣和單元質(zhì)量慣性矩陣，Js為單元陀螺矩陣，Ks為單元剛度矩陣，為單元節(jié)點處所受到的廣義外力，ω為角速度。

2.2.2 考慮輪盤接觸的梁單元的運動方程

為了考慮拉桿組合轉(zhuǎn)子輪盤之間的接觸，由接觸面及其左右各一個輪盤組成新的梁單元，并將其命名為考慮輪盤接觸的梁單元。為了將輪盤接觸的法向接觸剛度和切向接觸剛度運用到考慮輪盤接觸的梁單元中，將粗糙接觸層作為一個僅具有剛度的Timoshenko梁單元，故對于本文中的考慮接觸的輪盤梁單元2-3來說，其單元剛度由左右各一個輪盤剛度和粗糙接觸層剛度串聯(lián)而成。由Timoshenko梁理論可知，單元的剛度矩陣（由于對稱，僅考慮xy平面）可表示為：

其中各參數(shù)可表示為：ks1=12，ks2=6l，ks3=l2（4+為單元材料彈性模為泊松比；μ為截面剪切系數(shù)［16］，其值由截面幾何形狀決定，一般在0.45（0.9之間，對于薄壁圓截面μ=0.5，實心圓截面μ=0.9，I為截面慣性矩，l為單元長度，A為單元截面面積。

由式（13）可知，組成剛度矩陣的參數(shù)主要由ks1、ks2、ks3和ks4四個變量組成。由Timoshenko梁單元剛度矩陣的定義，可知每個參數(shù)的物理意義可表示為：當考慮圖2的xy平面內(nèi)的單元2-3時，參數(shù)ks1、ks4表示當同時約束節(jié)點3的所有自由度，在節(jié)點2處施加剪力Fy2，求得節(jié)點2處的位移y2和節(jié)點3處的彎矩My3，從而得出同理約束節(jié)點3的所有自由度，同時約束節(jié)點2的平動自由度，在節(jié)點2處施加彎矩My2，求出節(jié)點2處的轉(zhuǎn)角Qy2和節(jié)點3出的彎矩My3，從而得出

根據(jù)各參數(shù)的物理意義可以發(fā)現(xiàn)，ks1等于粗糙結(jié)合面的剪切剛度KT，ks3等于粗糙結(jié)合面的等效彎曲剛度KC。由于粗糙結(jié)合面接觸層很薄，在求ks4時，可認為My3與施加的My2等值反向，故ks4等于粗糙結(jié)合面的等效彎曲剛度的負值，即等于-KC。對于“短粗”的Timoshenko梁，采用數(shù)值仿真，取單元半徑為0.03 m，單元長度0.015 m，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7800 kg/m3。當長度L增加一倍時，其參數(shù)ks2可視為不變，其余參數(shù)ks1、ks3和ks4可通過串聯(lián)得到，如圖4所示。

由此，根據(jù)串聯(lián)關(guān)系便可得到考慮接觸的輪盤梁單元的剛度矩陣。進而可得到考慮輪盤接觸的梁單元運動方程：

圖4 不同單元長度的Timoshenko梁單元剛度矩陣（圖a中單元長為l，圖b中單元長為2 l）

其中，q1、q2分別表示單元在xy和xz平面內(nèi)的平動和轉(zhuǎn)動自由度分別為單元質(zhì)量矩陣和單元質(zhì)量慣性矩陣，Jc為單元陀螺矩陣，Kc為單元剛度矩陣，為單元節(jié)點處所受到的廣義外力，應包括單元的力和力矩；ω為角速度。

2.2.3 盤單元的運動方程

輪盤組OA、OB采用盤單元，其運動微分方程為：

2.2.4 軸承控制方程

此處采用滾珠軸承［17］，在忽略潤滑油的影響下軸承的運動微分方程可寫作如下形式：

其中，qb=［yi，zi］，i=1，4表示軸承處y、z方向位移，Cb為軸承阻尼矩陣，Kb為滾動軸承的剛度矩陣，Qb為軸承處的支反力。

組裝各個單元，構(gòu)建拉桿組合轉(zhuǎn)子的運動方程為：

其中，M、C、J、K分別為總質(zhì)量陣、總阻尼矩陣、總陀螺矩陣和總剛度矩陣，F(xiàn)g、Fm、和Fb系統(tǒng)受到的重力、不平衡激勵力和軸承力，ω為系統(tǒng)轉(zhuǎn)速。

采用圖2所示的拉桿組合轉(zhuǎn)子簡化實驗模型求解系統(tǒng)動力學特性，轉(zhuǎn)子模型的各個物理參數(shù)見表1。

表1 計算模型參數(shù)

3 系統(tǒng)動力學特性分析

本節(jié)采用四階Runge-Kutta法對已建立的系統(tǒng)動力學方程進行求解。在分析考慮輪盤接觸剛度對拉桿組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響時，考慮輪盤組OA處的質(zhì)量偏心，其偏心距為em。繪制出軸承1處y方向位移隨轉(zhuǎn)速的變化如圖5所示。

圖5 軸承1處y方向的位移隨轉(zhuǎn)速的變化圖（偏心距em=0.0256 mm）

如圖5所示，描繪了在考慮接觸以及將輪盤結(jié)合面視為一個整體的情況下，軸承1處的振動幅值隨系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的變化情況?？梢园l(fā)現(xiàn)，當系統(tǒng)處在非共振區(qū)域時，考不考慮輪盤之間的接觸對y方向位移幅值影響不大。這是由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在非共振頻率下運行時，系統(tǒng)的整體橫向位移較小，拉桿螺栓提供的拉力足以使各級輪盤在工作中保持緊密貼合，此時考不考慮輪盤接觸剛度對系統(tǒng)振動響應影響不大。

當系統(tǒng)處在共振區(qū)域，考慮輪盤之間的接觸后會使得共振位移幅值減小，共振頻率也有一定的減小，即從1493 rad/s降低到1482 rad/s。這是由于當考慮輪盤接觸時，轉(zhuǎn)子輪盤接觸部位不再視為整體結(jié)構(gòu)，因此會降低系統(tǒng)的整體剛度，而此時系統(tǒng)其他參數(shù)是沒有發(fā)生改變的，故系統(tǒng)固有頻率會減小。

圖6 不同輪盤接觸剛度下軸承1處y方向的位移隨轉(zhuǎn)速的變化圖（偏心距em=0.0256 mm）

圖6反映了不同輪盤接觸剛度下，軸承1處的振動幅值隨系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的變化情況。其中圖例A表示接觸剛度較大的情況，圖例B表示接觸剛度較小時。從圖5和圖6可以看出，當輪盤接觸剛度越大時，系統(tǒng)的共振頻率越接近整體式轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。這是因為隨著輪盤接觸剛度的增大，使得整體系統(tǒng)剛度增大。由此可以看出，當拉桿組合轉(zhuǎn)子在由螺栓預緊時，當拉桿螺栓提供的拉力足夠大時，此時輪盤結(jié)合面的接觸剛度足夠大，此時的系統(tǒng)可等效為整體式轉(zhuǎn)子。

圖7給出了不同轉(zhuǎn)速下軸承1處的時間歷程圖和軸心軌跡圖。其中黑色線條表示考慮輪盤之間的接觸剛度，紅色線條表示不考慮輪盤之間的接觸。

從圖7可以看出，當系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速遠低于系統(tǒng)共振頻率1493 rad/s（不考慮接觸）或1482 rad/s（考慮接觸）時，此時系統(tǒng)的振動響應都比較小，此時接觸剛度對系統(tǒng)的振動響應影響不大，因此考不考慮輪盤之間的接觸對系統(tǒng)響應影響不大。隨著轉(zhuǎn)速的提高并逐漸逼近共振頻率，系統(tǒng)的振動逐漸加劇，尤其工作頻率在共振區(qū)域時，振動響應增加更為明顯。觀察二者軸心軌跡圖可以發(fā)現(xiàn)其均近似為一個圓，由于共振引起的響應增大，所以導致軸心軌跡的圓隨著轉(zhuǎn)速的增大而變化。

4 結(jié)論

對于通過拉桿螺栓而連接在一起的拉桿組合轉(zhuǎn)子而言，與整體式轉(zhuǎn)子不同，其輪盤接觸的剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)影響是不可忽略的。通過建立拉桿組合轉(zhuǎn)子模型，并采用數(shù)值分析的方法研究了輪盤接觸剛度對系統(tǒng)動力學特性的影響，得出以下結(jié)論：

（1）相比于將拉桿組合轉(zhuǎn)子輪盤接觸部位視為一個整體來看，考慮輪盤接觸后，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體剛度會降低，當接觸剛度隨著螺栓預緊力的增大而增大至一定值時，系統(tǒng)可視為整體式轉(zhuǎn)子。因此，在建立拉桿組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)計算模型時，一般需要考慮各級輪盤之間的接觸的影響。

圖7 不同轉(zhuǎn)速下軸承1處的時間歷程圖和軸心軌跡圖（偏心距em=0.0256 mm）

（2）考慮輪盤接觸時，會使得系統(tǒng)共振區(qū)域的幅值變小，同時降低了共振頻率。對于非共振區(qū)域影響幾乎不變。