輸入受約束的高速列車魯棒自適應(yīng)動態(tài)面控制

徐傳芳，陳希有，丁麗娜,3，王 英，李衛(wèi)東

(1.大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028； 3.大連海洋大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 大連 116023)

在給定期望速度和位移曲線的前提下，能否實現(xiàn)對目標(biāo)曲線的高品質(zhì)追蹤，直接影響列車運(yùn)行的安全與節(jié)能[1]。但是由于高速列車的運(yùn)行過程是一個環(huán)境復(fù)雜多變、工況變化頻繁的復(fù)雜非線性動力學(xué)系統(tǒng)[2]，使得實現(xiàn)高速列車速度和位移的高精度跟蹤極具挑戰(zhàn)性。建立符合實際的高速列車動力學(xué)模型，考慮高速列車運(yùn)行的實際情況，設(shè)計合適的跟蹤控制算法，適時調(diào)整施加到列車車輪的牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩，實現(xiàn)高精度的速度和位移跟蹤控制具有重要的意義。

針對高速列車的速度-位移跟蹤控制問題，諸多學(xué)者進(jìn)行了一系列頗有成效的研究。文獻(xiàn)[3]提出了高速列車的多模型廣義預(yù)測控制方法，設(shè)計了高速列車的控制力。文獻(xiàn)[4]基于力觀測器，對施加到列車車輪的牽引轉(zhuǎn)矩和制動轉(zhuǎn)矩進(jìn)行了設(shè)計，方法簡單可行。文獻(xiàn)[5]提出了高速動車組集成模型的自適應(yīng)速度跟蹤控制算法，對列車的牽引力和制動力進(jìn)行了設(shè)計。文獻(xiàn)[6]基于浸入與不變理論，設(shè)計了高速列車的間接自適應(yīng)控制器，可以實現(xiàn)列車的跟蹤誤差以指數(shù)形式收斂到一個與模型參數(shù)變化率有關(guān)的有界殘集中。文獻(xiàn)[4-6]均實現(xiàn)了高速列車對目標(biāo)曲線的精確跟蹤。然而上述文獻(xiàn)在設(shè)計控制算法時均未考慮輸入約束問題。輸入約束可能會導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定[7-8]。高速列車運(yùn)行時，牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩受到黏著防滑[9]以及執(zhí)行器飽和[10]等方面的限制，在設(shè)計控制器時同樣需要考慮輸入約束問題。為此，文獻(xiàn)[11]考慮飽和約束以及多級牽引/制動帶來的輸入非線性，提出了自適應(yīng)控制策略，實現(xiàn)了精確的速度與位移跟蹤。文獻(xiàn)[12]考慮執(zhí)行器飽和非線性，針對高速列車的自動駕駛系統(tǒng)(ATO系統(tǒng))，提出了一種新的魯棒自適應(yīng)控制方案，在確保閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時，取得了理想的跟蹤性能，速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差均可收斂到一個較小的緊集內(nèi)。

雖然文獻(xiàn)[11-12]考慮了輸入約束問題，但是文獻(xiàn)[11-12]和文獻(xiàn)[4-6]一樣, 在建立高速列車動力學(xué)模型及設(shè)計控制算法時，均未考慮牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生過程，均將牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩(或牽引力與制動力)作為系統(tǒng)的控制輸入。如果考慮牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的動態(tài)過程，將牽引電機(jī)的期望轉(zhuǎn)矩作為系統(tǒng)的控制輸入，這樣的模型更符合實際情況[13]。文獻(xiàn)[14]考慮牽引/制動動態(tài)以及不確定的非線性阻力，在自適應(yīng)控制中融合反步控制，實現(xiàn)了高速列車速度與位移的精確跟蹤，但是未考慮輸入約束。將牽引電機(jī)的期望轉(zhuǎn)矩作為系統(tǒng)的控制輸入，并考慮其約束問題，更符合實際情況。文獻(xiàn)[14]還存在需要求取虛擬控制量的微分，計算量大的問題，這一問題同樣存在于采用自適應(yīng)反步控制實現(xiàn)高速列車速度與位移跟蹤控制的文獻(xiàn)[15]中。

針對目前在期望速度和位移跟蹤控制中存在的問題，本文考慮輸入約束，基于考慮牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生動態(tài)過程的高速列車動力學(xué)模型，提出一種新的高速列車魯棒自適應(yīng)動態(tài)面控制算法，并進(jìn)行了嚴(yán)格證明。采用在高速列車牽引/制動控制中運(yùn)用尚不多見的動態(tài)面控制[16]，使用跟蹤微分器代替一階濾波器[17]，避免了常規(guī)反步控制中需要對虛擬量多次求取微分的困難，而且由于跟蹤微分器為一種快速而精確的信號濾波器，可以獲得良好的閉環(huán)性能；采用只需較少對象信息的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器[18]，在線估計由系統(tǒng)未知函數(shù)和未測量狀態(tài)等構(gòu)成的系統(tǒng)總的不確定性；借鑒文獻(xiàn)[19]中的方法，構(gòu)造附加系統(tǒng)處理輸入飽和約束問題；利用實際控制信號和虛擬控制信號中的魯棒項補(bǔ)償由擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和跟蹤微分器產(chǎn)生的濾波誤差。仿真結(jié)果表明，所提算法可以實現(xiàn)高速列車對期望速度和位移的精確跟蹤控制。

1 高速列車動力學(xué)模型

1.1 考慮轉(zhuǎn)矩動態(tài)過程的高速列車動力學(xué)模型

假設(shè)每個驅(qū)動輪對所傳遞的牽引力(或制動力)相同，根據(jù)牛頓力學(xué)原理，高速列車車體的動態(tài)特性可以描述為

( 1 )

式中：M為列車的質(zhì)量；v為列車的速度；Fr為列車的運(yùn)行阻力；nt為驅(qū)動輪對個數(shù)；Ft為列車運(yùn)行過程中，一個驅(qū)動輪對所產(chǎn)生的列車牽引力(牽引時)或制動力(制動時)，其大小受到諸如輪軌間黏著防滑、執(zhí)行器輸出飽和等因素的限制，在不發(fā)生空轉(zhuǎn)/滑行的情況下，F(xiàn)t的大小等于輪軌之間的黏著力Fa。

輪軌黏著力Fa是與列車輪軌接觸面實時狀況有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)，其表達(dá)式為

Fa=μ(λ)Mg

( 2 )

式中：g為重力加速度；μ(λ)表示黏著系數(shù)，是蠕滑率λ的非線性函數(shù)，國內(nèi)外應(yīng)用較為廣泛的是Burckhardt模型，其表達(dá)式為

( 3 )

其中，b1，b2，b3為正數(shù)，不同的參數(shù)表示不同的輪軌黏著條件。λ為蠕滑率(λ∈[-1,1])，表示輪軌之間微量滑行的程度，其定義為[20]

( 4 )

式中：ω為車輪角速度；r為車輪半徑。

高速列車的運(yùn)行阻力Fr包括列車運(yùn)行過程中所受到的空氣阻力和軌道阻力。

Fr=M[a0+a1v+a2v2+o(·)]

( 5 )

式中：a0，a1，a2為正實數(shù)，其數(shù)值由具體的運(yùn)行環(huán)境決定；o(·)表示由軌道引起的隨機(jī)不穩(wěn)定干擾阻力。假設(shè)o(·)有界，其引入的擾動項不會對列車運(yùn)行造成不可控的影響。

列車車輪的動態(tài)方程為

( 6 )

式中：J為車輪的等效轉(zhuǎn)動慣量；B為車輪的黏滯摩擦系數(shù)；Tm為作用到列車車輪的牽引轉(zhuǎn)矩或制動轉(zhuǎn)矩。忽略轉(zhuǎn)矩傳遞過程中的損耗，則有

Tm=TnRg

( 7 )

其中：Tn為牽引電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩；Rg為齒輪箱傳動比。

上述建立的高速列車動力學(xué)模型描述了從作用到列車車輪的牽引轉(zhuǎn)矩/制動轉(zhuǎn)矩到列車運(yùn)行狀態(tài)之間的動態(tài)關(guān)系。然而司機(jī)駕駛列車或ATO(列車自動駕駛)控制列車時，并不是直接輸出和調(diào)節(jié)牽引/制動轉(zhuǎn)矩(或牽引/制動力)，而是通過調(diào)整牽引/制動手柄級位或由ATO發(fā)出控制指令，傳遞給列車牽引或制動系統(tǒng)，進(jìn)而實現(xiàn)對列車的控制。因此，如圖1所示，考慮牽引/制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的動態(tài)過程，建立能描述從控制指令輸入到列車運(yùn)行狀態(tài)之間動態(tài)關(guān)系的高速列車動力學(xué)模型，更符合列車的實際運(yùn)行情況。

圖1 考慮牽引/制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生動態(tài)的列車動力學(xué)模型

當(dāng)只考慮列車再生制動情況時，施加到列車車輪上的牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機(jī)理相同，因此，牽引/制動動態(tài)過程可以用相同的方程來描述?？紤]到電機(jī)的電磁時間常數(shù)遠(yuǎn)小于列車的機(jī)械時間常數(shù)，因此可忽略轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的具體細(xì)節(jié)，近似用一個一階微分方程來描述這個動態(tài)過程[13]，即

( 8 )

式中：Tz為牽引電機(jī)的期望轉(zhuǎn)矩，為控制變量；α為一階慣性時間常數(shù)；β為增益，均為大于零的常數(shù)。

高速列車在運(yùn)行過程中，列車車輪速度和車體速度并不相同，兩者之差為蠕滑速度vs，即

vs=ωr-v

( 9 )

由式( 1 )、式( 6 )～式( 9 )以及列車位移x與速度v之間的關(guān)系， 得到考慮牽引與制動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生動態(tài)過程的高速列車動力學(xué)模型方程。

(10)

式中：x為列車的實際位移；L為集總參數(shù)項

(11)

1.2 輸入約束

牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩受到黏著防滑[9]以及執(zhí)行器飽和[10]等限制，因此在針對式(10)所示系統(tǒng)進(jìn)行高速列車運(yùn)行控制算法設(shè)計時，需要考慮牽引轉(zhuǎn)矩與制動轉(zhuǎn)矩受限引起控制輸入Tz存在約束的問題?？刂戚斎隩z的約束形式可表示為

(12)

式中：Tc為所設(shè)計的期望控制輸入；Tmax和Tmin分別為控制輸入約束的上、下限幅值。

2 魯棒自適應(yīng)動態(tài)面控制器設(shè)計

(13)

式中：q為任意選擇的正實數(shù)。對式(13)求導(dǎo)得

LTn+Ftd

(14)

式中：Ftd為由未知函數(shù)、未完全測量狀態(tài)以及不確定性參數(shù)等構(gòu)成的系統(tǒng)總的不確定項。

(15)

控制器的控制目標(biāo)是針對式(10)構(gòu)成的系統(tǒng)，考慮輸入飽和約束及Ftd的不確定性，設(shè)計合適的控制輸入，保證高速列車的實際速度和位移能夠跟蹤期望速度和位移，同時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，所有信號都有界。

Step1令es=s，則有

(16)

引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計不確定項Ftd。定義觀測誤差η11=ζ1-es，設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的形式為

(17)

其中，ζ1，ζ2為觀測器狀態(tài)，其中ζ2用來在線估計系統(tǒng)總的未知不確定項Ftd；ρ11，ρ12為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反饋增益。fal(·)函數(shù)的具體表達(dá)式為

(18)

式中：π，δ為設(shè)計參數(shù)；η為觀測器誤差。

定義式(17)所示觀測器的估計誤差為ε11=ζ2-Ftd，根據(jù)參考文獻(xiàn)[21-22]，存在有限時間T,當(dāng)t>T時，η11,ε11滿足|η11|≤ι11，|ε11|≤ι12，其中，ι11，ι12均為大于零的常數(shù)。

選擇Tn作為式(16)所示子系統(tǒng)的虛擬控制，定義Tn與虛擬控制量Tnd之間的誤差為eT，即

eT=Tn-Tnd

(19)

設(shè)計虛擬控制量Tnd為

(20)

(21)

其中，γ1和σ1均為正的常數(shù)。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(22)

式中：

對式(22)求導(dǎo)可得

(23)

根據(jù)Young不等式[23]，如下關(guān)系式成立

(24)

(25)

根據(jù)反正切函數(shù)性質(zhì)，有

(26)

由式(23)～式(26)可得

(27)

Step2對式(19)求導(dǎo)可得

(28)

(29)

考慮式(12)所示的輸入約束條件，當(dāng)控制器的輸出和被控對象的實際輸入出現(xiàn)不一致的情況時，為避免控制系統(tǒng)失穩(wěn)，構(gòu)造附加系統(tǒng)對控制指令進(jìn)行補(bǔ)償[19]，即

(30)

式中：σT為附加系統(tǒng)的狀態(tài)；kσT>0，為待設(shè)計參數(shù)；ψT為一很小的正數(shù)，其值可根據(jù)系統(tǒng)跟蹤性能要求適當(dāng)選??；ΔT=Tz-Tc，Tz為實際控制輸入，Tc為所設(shè)計的控制輸入。

設(shè)計如下形式的控制輸入

(31)

(32)

其中，γ2和σ2均為正的常數(shù)。

(33)

(34)

式中：kξT>0，為待設(shè)計參數(shù)；φT>0，為根據(jù)跟蹤性能要求而選取的恰當(dāng)值。

選取Lyapunov函數(shù)

(35)

(36)

由Young不等式有

(37)

又由于eTΔT-|eTΔT|≤0，再結(jié)合反正切函數(shù)性質(zhì)，可得

(38)

3 穩(wěn)定性分析

證明：選取如下的Lyapunov函數(shù)

V=V1+V2

(39)

對式(39)求導(dǎo)，并結(jié)合式(27)和式(38)有

(40)

(41)

(42)

進(jìn)一步可得到

(43)

可知，V(t)最終有界，系統(tǒng)的所有信號均半全局一致最終有界。同時因為

(44)

因此，當(dāng)t→∞時，es的收斂域滿足如下緊集

(45)

即

(46)

由此可得到

(47)

式中：e0為e1的初始值。由式(47)可知，e1的收斂域滿足如下緊集

(48)

進(jìn)一步可得到

(49)

(50)

以上證明過程針對的是|σT|≥ψT時的情況，即存在輸入飽和約束時的情況。當(dāng)|σT|<ψT時，不存在輸入飽和，此時ΔT=0，即Tz=Tc。

若在控制器設(shè)計時不考慮輸入約束，則控制器為

(51)

需要注意的一點(diǎn)是，從控制算法的推導(dǎo)過程來看，增大α0可以減小列車的速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差，但是α0也不能太大，否則系統(tǒng)的控制增益增大，會導(dǎo)致高增益的控制策略，從而激發(fā)系統(tǒng)的未建模動態(tài)，降低系統(tǒng)的暫態(tài)性能。因此在設(shè)計控制器參數(shù)的時候要在確保系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差的基礎(chǔ)上合理選擇。

4 仿真結(jié)果與分析

為了驗證本文所提出建模與控制方法的有效性，利用一個具有兩節(jié)動力車廂的列車模型進(jìn)行仿真驗證。列車模型主要采用CRH2型高速列車的基本參數(shù)，具體參數(shù)為：驅(qū)動輪對數(shù)nt=8，每節(jié)車廂的平均質(zhì)量為55 t，平均軸重N=134.75 kN，車輪的轉(zhuǎn)動慣量J=80 kg·m2，車輪半徑r=0.43 m，齒輪箱傳動比Rg=85/28。取黏滯摩擦系數(shù)B=0.1。由于軌道阻力會受到落葉、軌道不平等因素的影響，而這些因素引起的干擾具有隨機(jī)性，因此本文在仿真中引入一時變的正弦函數(shù)0.009 4sin(0.02t)來表示由軌道引起的隨機(jī)不穩(wěn)定干擾阻力，從而列車的運(yùn)行阻力表示為

Fr=110(0.052+0.003 8v+0.000 112v2+

0.009 4sin(0.02t)

(52)

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和跟蹤微分濾波器的參數(shù)設(shè)置為ρ11=5，ρ12=20，π11=0.5，δ11=0.025 ；ρ21=30，ρ22=40，π21=0.4，δ21=0.027 ；黏著系數(shù)以及自適應(yīng)律和附加系統(tǒng)的參數(shù)見表1、表2。

表1 黏著系數(shù)的具體參數(shù)

表2 控制器、自適應(yīng)律及附加系統(tǒng)的參數(shù)

為了驗證所設(shè)計的控制方法在高速列車處于不同運(yùn)行工況下的跟蹤性能，仿真模擬高速列車在1 000 s內(nèi)的運(yùn)行過程，運(yùn)行距離為47.5 km，整個過程包含兩個加速階段、四個巡航階段、一個減速階段和一個制動階段。分別對考慮輸入約束和不考慮輸入約束兩種情況進(jìn)行仿真，兩種情況下的仿真參數(shù)完全一致。仿真過程同時考慮了軌面狀態(tài)發(fā)生突變的情況，具體軌面狀態(tài)變化發(fā)生在150 s(由干燥軌面到潮濕軌面)和250 s(由潮濕軌面到干燥軌面)。

仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。圖2(a)和圖2(b)為列車的速度和位移跟蹤軌跡曲線，圖3(a)和圖3(b)為列車的速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差軌跡曲線?？梢钥闯?，高速列車工況發(fā)生變化以及遭遇軌面狀態(tài)突變時，考慮輸入約束和不考慮輸入約束兩種情況下的速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差均較小，它們的最大絕對值分別為0.035 m/s、0.006 7 m和0.03 m/s、0.005 7 m，兩種情況均實現(xiàn)了對目標(biāo)速度和位移的精確跟蹤。圖4為牽引電機(jī)的實際控制輸入轉(zhuǎn)矩軌跡曲線，可以看出考慮輸入約束時，牽引電機(jī)的實際控制輸入轉(zhuǎn)矩除了暫態(tài)階段出現(xiàn)輸入飽和，一直在約束范圍內(nèi)。結(jié)合圖3和圖4可以看出，在飽和階段，考慮輸入約束時，系統(tǒng)的跟蹤性能受到一定影響，但影響有限且時間短暫，當(dāng)控制輸入退出飽和后，速度和位移跟蹤性能又恢復(fù)到了飽和前的跟蹤效果。如果不考慮輸入飽和，當(dāng)遭遇黏著系數(shù)較小的路況時，不受限制的控制輸入有可能使得高速列車的牽引力(或制動力)大于輪軌間的最大黏著力，可能導(dǎo)致車輪發(fā)生空轉(zhuǎn)(或滑行)，系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。圖5為基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)總的不確定量Ftd的估計，可以看出所設(shè)計的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器實現(xiàn)了對被觀測量Ftd的精確觀測，它使得控制器可以很好的補(bǔ)償系統(tǒng)中的未知不確定項，從而保證了精確的速度和位移跟蹤性能。

圖2 速度和位移跟蹤軌跡曲線

圖3 速度和位移跟蹤誤差軌跡曲線

圖4 牽引電機(jī)的實際控制輸入轉(zhuǎn)矩軌跡曲線

圖5 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的Ftd估計

5 結(jié)束語

本文考慮牽引/制動動態(tài)，建立高速列車的運(yùn)行模型，該模型描述了從牽引/制動系統(tǒng)控制輸入到列車運(yùn)行狀態(tài)之間的關(guān)系，能更好地反映列車的動力學(xué)特性?；谒⒌哪Ｐ?，考慮輸入飽和約束，提出高速列車的魯棒自適應(yīng)動態(tài)面控制算法。仿真結(jié)果表明，本文算法可精確估計系統(tǒng)總的不確定項，有效處理輸入飽和約束，并可補(bǔ)償擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和跟蹤微分器產(chǎn)生的濾波誤差，實現(xiàn)高速列車對期望速度和位移的精確跟蹤，為高速列車的跟蹤運(yùn)行控制研究提供了參考。輪軌黏著防滑引起的約束實際是一動態(tài)輸入約束，如果在控制策略中融入實時黏著防滑約束，則可構(gòu)建一套高速列車主動安全跟蹤控制系統(tǒng)，能主動避免列車的空轉(zhuǎn)/打滑等危險運(yùn)行狀態(tài)，提高列車的行車安全，這是作者下一步擬研究的內(nèi)容。