橋式吊車系統(tǒng)的建模與仿真研究

聶曉華，萬 良，劉繼君

（南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，南昌330031）

0 引 言

橋式吊車是一種常見的裝卸搬運貨物裝置，在碼頭、倉庫、廠礦等場合被大量應(yīng)用。其運動系統(tǒng)主要由小車、橋架、重物等組成［1-2］。吊車的工作流程：將重物從地面上吊至一個預(yù)先設(shè)定的高度，通過橋架驅(qū)動系統(tǒng)和小車驅(qū)動系統(tǒng)行走到某個預(yù)先設(shè)定位置的上方，將重物下卸在這一位置上。橋式吊車使搬卸工作輕便易行，但也帶來了一個致命的缺點，即：吊車行走時使重物產(chǎn)生不必要的擺動［3］，不僅影響吊車對重物的定位下卸的精度，還會增加工作過程中的危險。本文主要介紹橋式吊車系統(tǒng)的建模、性能分析以及使吊車運行時具有盡量小的重物擺動角度和重物下卸時具有高精度的控制系統(tǒng)綜合問題。

1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)需要，畫出橋式吊車工作模型圖如圖1 所示。為了簡化系統(tǒng)，現(xiàn)認為橋架固定，小車在橋架上運動；且吊裝重物的繩子長度為一定值l。基于以上假設(shè)，可以建立小車及重物的運動方程式：

（1）小車的運動方程

式中：M為小車質(zhì)量；xM為小車的位移；F為驅(qū)動電動機對小車的作用力；f 為重物對小車產(chǎn)生的拉力；θ 為重物的擺動角度。

（2）重物的水平運動方程

圖1 橋吊系統(tǒng)工作示意圖

式中：m為重物質(zhì)量；xm為物體的水平方向位移。

（3）重物的垂直運動方程

式中：zm為重物的垂直方向位移。假設(shè)繩子長度l不變，因為擺動角度θ要求足夠小，容易推出：

（4）小車驅(qū)動裝置的方程式

式中：Td為時間常數(shù)；F（t）為電機產(chǎn)生的驅(qū)動力；w（t）為電動機的電壓控制量；K為放大系數(shù)。

選擇系統(tǒng)的5 個狀態(tài)變量分別為：x1＝xM、x2＝兩個輸出變量分別為：y1＝xM、y2＝θ。假設(shè)其中參數(shù)有：M＝1 000 kg，m＝4 000 kg，l＝10 m，Td＝1 s，K＝100 N/V。能夠求得小車運動系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：

在以上討論的基礎(chǔ)下，可以將系統(tǒng)的設(shè)計任務(wù)描述成：設(shè)計一個合適控制w（t）用來驅(qū)動小車電動機，讓小車系統(tǒng)在x軸上從初始位置精確地運動到一個事先規(guī)定的位置上，并保證系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性，最為關(guān)鍵的是使重物的擺動角度θ（t）在整個運動過程中應(yīng)當盡量小，且小車運動到最終位置時擺角應(yīng)為零。

2 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性分析

2.1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別

由李雅普諾夫第一法，在Matlab 中求系統(tǒng)矩陣的特征值，容易得到矩陣A 的5 個特征值是：0、0、±j2.21、-1，可以看出其中虛軸上有4 個特征值，所以開環(huán)的橋吊系統(tǒng)是非漸近穩(wěn)定的［2］。

根據(jù)狀態(tài)空間表達式（7）利用Simulink 搭建小車運動系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的仿真結(jié)構(gòu)；其中給定輸入信號w＝10，初始狀態(tài)為：

開環(huán)狀態(tài)下位移量與擺動角度的動態(tài)過程如圖2所示。

圖2 開環(huán)狀態(tài)下位移和擺角的動態(tài)過程

仿真結(jié)果證明，小車運動系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下，重物的擺角θ隨小車的位移增加呈振蕩表現(xiàn)，并未漸近于零。顯然，這種動態(tài)過程系統(tǒng)性能極差，不符合控制要求［5］。

2.2 系統(tǒng)的能控性及能觀性判別

依據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式（7），利用Matlab 工具求得系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣，且秩都為5，說明該系統(tǒng)是能控且能觀的。可以將系統(tǒng)設(shè)計成狀態(tài)反饋控制，又能夠用狀態(tài)觀測器。

3 控制系統(tǒng)的設(shè)計

3.1 狀態(tài)反饋跟蹤系統(tǒng)的設(shè)計

這是一個對小車位移進行控制的問題，將系統(tǒng)的輸出狀態(tài)變量x1，即小車的位移作為系統(tǒng)輸出方程，因此，小車運動系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變?yōu)椋?/p>

式中：狀態(tài)量維數(shù)n＝5；輸入量維數(shù)p、輸出量維數(shù)q都是1。取一對決定系統(tǒng)動態(tài)特性的主導(dǎo)極點，另外3個閉環(huán)極點配置在主導(dǎo)極點左側(cè)較遠的位置［6］。為了使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性，可以選取阻尼系數(shù)ξ＝0.707。假設(shè)調(diào)節(jié)時間ts＝25 s，則有ωn＝0.226，那么主導(dǎo)極點決定的特征多項式為：

解特征方程求得對應(yīng)的2 個主導(dǎo)極點為-0.16 ±j0.16，則另外3 個閉環(huán)極點按上述極點配置原則可確定都為-1。

在Matlab中可以得到所需的狀態(tài)反饋矩陣：k＝［0.52 4.83 -1 420.70 0.02］。并在Simulink中搭建得到相應(yīng)系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖。在有輸入變換條件下，初始狀態(tài)為：

其中，給定輸入信號w＝10，即驅(qū)動小車的電動機控制電壓為10 V。初始狀態(tài)表明要求小車從初始值的2 m運動到終止值的10 m，重物擺動的初始角度為0.1 rad。該控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)所需的基本控制要求，但存在響應(yīng)速度較慢的問題，且要求5 個狀態(tài)變量都可直接測量，所需的傳感器過多，成本大。

3.2 具有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋跟蹤控制系統(tǒng)的設(shè)計

上訴采用的是全狀態(tài)反饋控制，前提是5 個狀態(tài)變量都可以直接測量得到。實際上除了輸出量外其他狀態(tài)變量不能夠直接測量得到，因此，需要設(shè)計合適的狀態(tài)觀測器對不能直接測量的狀態(tài)變量進行間接觀測。輸入量：y1（t）＝x1（t）＝xM（t）、y2（t）＝x3（t）＝θ（t）分別為小車的水平位移和重物的擺動角度，這兩個量可通過相應(yīng)傳感器測量得到。對于被控系統(tǒng)，有rankC＝2，所以，為間接獲得狀態(tài)量x4（t）＝θ（t）、x5（t）＝F（t）的信息，可以根據(jù)式（9）設(shè)計一個3 維的狀態(tài)觀測器。應(yīng)用Matlab 容易求出非奇異變換矩陣Q 及其逆陣R。對被觀測系統(tǒng)進行非奇異變并按對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制極點配置方法，在Matlab中求得反饋矩陣T。

得出三維狀態(tài)觀測器的方程式為：

可以進一步求原狀態(tài)空間中x重構(gòu)值：

狀態(tài)反饋和輸入變換與前面相同。初始狀態(tài)由直接測量與間接觀測得到，與式（10）一致。并在Simulink中搭建得到系統(tǒng)相應(yīng)的仿真結(jié)構(gòu)圖。

3.3 漸近跟蹤控制系統(tǒng)的設(shè)計

控制系統(tǒng)原理圖如圖3 所示，將系統(tǒng)期望輸出yr＝10 作為給定參考信號。跟蹤控制方法是由鎮(zhèn)定補償器和伺服補償器相結(jié)合，用以保證小車能夠精準定位，且具有良好的動態(tài)性能。

圖3 漸近跟蹤控制系統(tǒng)原理圖

控制作用由兩部分組成：狀態(tài)反饋控制u1，使系統(tǒng)穩(wěn)定和具有滿意的動態(tài)性能；u2由“伺服補償器”產(chǎn)生，能夠?qū)崿F(xiàn)輸出y對yr跟蹤，使小車能夠精準地停在給定參考位置上。其中：yr是階躍函數(shù)，其特征多項式為φ（s）＝s。按上述方法，容易判別系統(tǒng)是能控且能觀的，有：n＝5；p＝q＝1?？纱_定出伺服補償器的模型為：

即：Ac＝0，Bc＝1；e＝ yr-y。對于φ（s）＝s＝0，可求出根λ ＝0，有：

因此，系統(tǒng)滿足漸近跟蹤控制的設(shè)計條件。將相應(yīng)矩陣代入，得到漸近跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)方程式：

根據(jù)極點配置原則［6-8］，設(shè)6 個期望閉環(huán)極點分別為則漸近跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制為

伺服補償器起到消除階躍信號輸入時產(chǎn)生靜態(tài)誤差的作用。初始狀態(tài)仍然不變，利用Simulink 對系統(tǒng)的動態(tài)過程進行仿真。

3.4 帶觀測器的漸近跟蹤控制系統(tǒng)的設(shè)計

同樣地，為減少傳感器數(shù)量，將漸近跟蹤控制與三維狀態(tài)觀測器結(jié)合，在Simulink 中對系統(tǒng)的動態(tài)過程進行仿真。

4 仿真結(jié)果及分析

4 種控制方法在Simulink仿真實驗下的5 個狀態(tài)變量動態(tài)過程如圖4 所示。

圖4 4種控制策略下各狀態(tài)變量的動態(tài)過程

仿真結(jié)果中，4 種控制方法均能實現(xiàn)重物的精準卸載和運動過程中的抗擺動。能夠有效解決開環(huán)狀態(tài)下擺角θ震蕩問題，但策略1 直接狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)和策略3 漸近跟蹤控制系統(tǒng)，狀態(tài)變量需要全部測量得到，所需傳感器數(shù)量較多，成本高。策略2 帶觀測器的狀態(tài)反饋控制達到穩(wěn)態(tài)時間較長，且位移量存在超調(diào)，系統(tǒng)性能較差。而策略4 帶觀測器的漸近跟蹤系統(tǒng)經(jīng)過22 s后小車從2 m 的起始位置無超調(diào)地運行到10 m的終止位置，而且重物的擺動角度存在0.1 rad的初始角度情況下，在整個運動過程中始終保持在一個很小范圍內(nèi)（-0.05 ～0.15 rad），最終無擺動地停留在一個設(shè)定的終止位置xM＝10 m處，能夠很好的實現(xiàn)橋吊系統(tǒng)中小車的精準定位和重物防擺。

5 結(jié) 語

本文通過對橋式吊車系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，并分析小車系統(tǒng)的運動特性，為了優(yōu)化控制效果，分別設(shè)計了在狀態(tài)反饋控制、帶觀測器的狀態(tài)反饋控制、漸近跟蹤控制、帶觀測器的漸近跟蹤控制共4 種控制規(guī)律下的小車運動系統(tǒng)。分別在Simulink中搭建仿真結(jié)構(gòu)圖并進行仿真，得出各策略下5 個狀態(tài)變量的動態(tài)過程，結(jié)果表明，相比其他3 種策略，帶狀態(tài)觀測器的漸近跟蹤控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，能夠減少非必要傳感器的使用，節(jié)省成本。實現(xiàn)重物的精準定位及抗擺動能力強，控制效果最優(yōu)。