圓柱軸線相交相貫線解析性質(zhì)分析

孫 華

（遼寧軌道交通職業(yè)學(xué)院，遼寧 沈陽 110023）

軸線相交的兩個圓柱立體相貫是工程上較為常見相貫形式，常用的立體相貫線的投影求解方法有兩種，圖解法和解析法［1-2］。精確圖解特殊點是繪制相貫線投影的關(guān)鍵，文章通過對兩個圓柱軸線相交時相貫線投影上所有特殊點的解析分析，從而求得了相貫線投影的特殊點的圖解方法。

根據(jù)兩個圓柱軸線相交的角度不同，分為軸線正交和軸線斜交兩種情況，如圖1 和圖2 所示，軸線相交的角度不同，產(chǎn)生的相貫線就不同。

圖1 軸線垂直相交圓柱

圖2 軸線斜交圓柱

1 解析性質(zhì)分析

1.1 軸線正交相貫線解析

如圖3 所示，在主視圖中建立直角坐標(biāo)系，一個圓柱半徑為R，另一個圓柱半徑為r，主視圖中取AB=X，那么俯視圖中，在左視圖中，中所以在主視圖中的相貫線數(shù)學(xué)模型為：，最低點即是y'=0，解得x=0，代入得，即最低點坐標(biāo)E（0，）。當(dāng)R=r時，，即相貫線是兩條線段，最低點坐標(biāo)P（0，-R）。

圖3 軸線垂直相交圓柱三視圖

1.2 軸線斜交相貫線解析

如圖2 所示，當(dāng)兩圓柱軸線斜交時，左視圖中有：

俯視圖中，所有的點都是橢圓曲線中的點，所以有：

由式（1），（2）得：

欲求式（3）所表達的方程在Y軸方向極值點（即相貫線的最低點），需根據(jù)極值法對其求導(dǎo)。將式（3）表達為隱式

則其極值點［3-4］應(yīng)該滿足：

式（5）為一條直線方程，容易看出這是一條與圓柱半徑無關(guān)的直線。它既是式（3）具有Y軸方向極值點的條件關(guān)系式，也具有特定的幾何意義，即相貫線最低點在傾斜圓柱的軸線上。

將式（5）代入到式（3），可得到z=r，將z=r代入到式（1）得，即點是相貫線最低點坐標(biāo)。

相貫線另外特殊點是與Y軸交點，故將x=0代入到式（3），可得到，即 點W（0，是相貫線與Y軸交點坐標(biāo)。當(dāng)R=r時，由式（3）整理得，相貫線是兩條線段，最低點坐標(biāo)V（-Rcotθ，-R）。

2 特殊點圖解方法

2.1 軸線正交相貫線圖解法

1）等徑軸線正交。

2）不等徑軸線正交。

圖4 等徑軸線正交相貫線

①以LJ 的中點I 為圓心，R/2 為半徑畫半圓；

②以L 為圓心，r為半徑，弧交半圓I 于點K；

④用平滑曲線連接點M，E 和N。

圖5 不等徑軸線正交相貫線

2.2 軸線斜交相貫線圖解法

1）等徑軸線斜交。

圖6 等徑軸線斜交相貫線

2）不等徑軸線斜交。

圖解過程如下：

②過點E 作LI 垂線，交傾斜圓柱軸線于點Q；

③取LT=r，作TP 垂直于MN，垂足為P；

④以點L 為圓心，TP 長為半徑作弧，交半圓I于點K。在LJ 上取JU=JK，過U 作LJ 垂線，交傾斜圓柱軸線于點S，取LX=LS，過X 作LJ 垂線交傾斜圓柱軸線于點Y，取LW=LY。

圖7 不等徑軸線斜交相貫線

3 結(jié)論

通過數(shù)學(xué)解析方法的詳細分析，軸線相交的圓柱特殊點的準(zhǔn)確位置可以用圖解方法確定。

1）軸線相交的兩個圓柱相貫線，無論是正交還是斜交，其相貫線投影上最低點的坐標(biāo)都是在上面圓柱的軸線上，并最低點的豎直方向坐標(biāo)值都為。

2）兩個圓柱軸線無論是正交還是斜交，只要兩個圓柱半徑相等，相貫線的投影就是由兩條線段組成，其余情況相貫線的投影都是曲線。

3）只有兩個圓柱軸線正交時，無論半徑是相等或者不等，產(chǎn)生的相貫線的投影都是左右對稱的；兩個圓柱軸線斜交時，如果半徑相等，則相貫線左側(cè)線段傾斜程度大，右側(cè)線段傾斜程度??；如果半徑不相等，則相貫線左側(cè)曲線彎曲程度大，右側(cè)曲線彎曲程度小。