數(shù)學(xué)史視野下的高中矩陣教學(xué)

劉和

[摘 ?要] “矩陣”是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的選修內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)矩陣教學(xué)中，可以結(jié)合數(shù)學(xué)史來(lái)輔助教學(xué)，促進(jìn)矩陣學(xué)習(xí)的高效化. 文章從三方面探討了數(shù)學(xué)史視野下的高中矩陣教學(xué)策略：鏈接數(shù)學(xué)史料，引入矩陣概念;借助數(shù)學(xué)史料，滲透數(shù)學(xué)思想;利用數(shù)學(xué)史料，感受數(shù)學(xué)精神.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);矩陣教學(xué);數(shù)學(xué)史

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，矩陣是作為選修內(nèi)容出現(xiàn)的，矩陣與其他高中所學(xué)的內(nèi)容關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)，使得其內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)高中階段的矩陣教學(xué)要求并不高，因此相關(guān)的題目難度也比較低，這就使得學(xué)生學(xué)習(xí)這種題目時(shí)，往往是為了應(yīng)付考試，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的理解并不深刻，往往只是知其然而不知其所以然. 針對(duì)這一問(wèn)題，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)史來(lái)展開(kāi)高中的矩陣教學(xué)，在保證學(xué)生可以順利解答試題的同時(shí)理解有關(guān)概念，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，在今后的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)主動(dòng)進(jìn)行思考，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

鏈接數(shù)學(xué)史料，引入矩陣概念

在矩陣教學(xué)中，可以結(jié)合矩陣的萌芽史來(lái)逐步引入矩陣的概念，這樣，就能夠讓學(xué)生初步感知矩陣的原型，觸摸矩陣的起源.

例如，我國(guó)的《九章算術(shù)》中就有這樣的描述：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗，問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？ ”教學(xué)中，引入這一段話以后，可以引導(dǎo)學(xué)生列出以下方程組：

3x+2y+z=39，2x+3y+z=34，x+2y+3z=36.

在我國(guó)古代由于沒(méi)有用來(lái)表示未知量的特定符號(hào)，所以通常會(huì)直接利用數(shù)籌將常數(shù)以及系數(shù)排列成為方陣，這也就是我國(guó)已知的最早的矩陣雛形.

由此可知，所謂矩陣指的就是由一組數(shù)字或者是字母擺成的一個(gè)方陣，這種方陣并不是一種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)游戲，而是古人為了解決生活中實(shí)際問(wèn)題而研究出的一種必然產(chǎn)物.

通過(guò)這樣的教學(xué)模式來(lái)為學(xué)生引入矩陣教學(xué)，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.

借助數(shù)學(xué)史料，滲透數(shù)學(xué)思想

學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，可以大致了解矩陣以及方程組之間的聯(lián)系，但是隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生就會(huì)提出新的問(wèn)題，在初中就學(xué)習(xí)了利用消元法來(lái)進(jìn)行二元一次方程組的求解，這種方法不僅簡(jiǎn)便而且已經(jīng)被學(xué)生所熟悉，那么，為什么需要學(xué)習(xí)矩陣來(lái)進(jìn)行方程組的求解呢？并且在學(xué)習(xí)方程組的時(shí)候還需要學(xué)習(xí)到新的概念，那就是行列式.

由于腦海中產(chǎn)生了這類問(wèn)題，學(xué)生會(huì)對(duì)矩陣的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的排斥，在進(jìn)行矩陣以及行列式的計(jì)算時(shí)，學(xué)生還會(huì)使用以前所熟知的方法來(lái)進(jìn)行求解. 教師在教學(xué)過(guò)程中，就可以引入數(shù)學(xué)史來(lái)展開(kāi)矩陣教學(xué)，這樣不僅能夠?yàn)閷W(xué)生答疑解惑，還能讓學(xué)生學(xué)習(xí)到良好的數(shù)學(xué)思想. 在進(jìn)行矩陣學(xué)習(xí)時(shí)，教師可以鏈接數(shù)學(xué)史的教學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

（一）滲透程序化思想

《九章算術(shù)》這本書中就采用了算籌對(duì)線性方程進(jìn)行求解，在解答過(guò)程中需要按照一定的步驟進(jìn)行反復(fù)操作，這個(gè)過(guò)程雖然看起來(lái)比較煩瑣，但是卻體現(xiàn)了一種程序化的思想.

與初中所學(xué)習(xí)到的解方程方法相比，利用矩陣的方式來(lái)對(duì)方程進(jìn)行求解雖然看起來(lái)更加煩瑣，就像《九章算術(shù)》中采取的計(jì)算方法一樣，但是同樣，矩陣的計(jì)算也體現(xiàn)出了程序化的思想. 我國(guó)著名的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家吳文俊先生巧妙地利用了這種思想，發(fā)明了吳方法，這種方法采用程序化的思想，利用計(jì)算機(jī)來(lái)對(duì)幾何定理進(jìn)行證明，吳文俊先生指出：“現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)所采用的方法與我國(guó)的《九章算術(shù)》中所采用的方法不謀而合，因此，《九章算術(shù)》中的某些思想的運(yùn)用在今后將會(huì)更加顯著，甚至?xí)^(guò)《幾何原本》. ”

通過(guò)引入程序化的思想，能夠有效地打消學(xué)生心中的疑惑：為什么在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)比較簡(jiǎn)潔明了的方法，現(xiàn)在還需要學(xué)習(xí)這種更為復(fù)雜的方法？同時(shí)，這種數(shù)學(xué)思想還能夠?yàn)閷W(xué)生提供一種與眾不同的思維方向，通過(guò)學(xué)習(xí)程序化的思想，可以提升學(xué)生的邏輯思維能力.

（二）滲透程符號(hào)化思想

英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家凱萊是矩陣論的創(chuàng)立者，他認(rèn)為矩陣這個(gè)概念有可能是源于行列式這個(gè)概念，還有可能是作為一種線性表達(dá)變化的簡(jiǎn)便方法而產(chǎn)生的，雖然從邏輯角度來(lái)講，行列式的概念應(yīng)該比矩陣要晚一些出現(xiàn)，但是實(shí)際情況卻恰恰相反. 通過(guò)研究歷史就可以發(fā)現(xiàn)，行列式與矩陣是相輔相成的，行列式采用兩條豎線來(lái)進(jìn)行表示，在1841年被凱萊所使用，但矩陣的符號(hào)則是凱萊在1855年才引入進(jìn)來(lái)的.

教師在對(duì)高中數(shù)學(xué)展開(kāi)教學(xué)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)?shù)匾胍恍┓?hào)化的思想，這種思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，指的是在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，有意識(shí)地利用一些符號(hào)來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象進(jìn)行表述. 學(xué)生在高中會(huì)學(xué)習(xí)到許多數(shù)學(xué)符號(hào)，但是，在今后的學(xué)習(xí)生活中，學(xué)生將會(huì)學(xué)習(xí)到更多的數(shù)學(xué)符號(hào)，因此，教師有必要在課堂上滲透數(shù)學(xué)符號(hào)，幫助學(xué)生了解創(chuàng)造符號(hào)并不是想象的那么復(fù)雜，也不是只有數(shù)學(xué)家才能進(jìn)行符號(hào)的設(shè)立，學(xué)生可以自己創(chuàng)生符號(hào)，以此來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題.

利用數(shù)學(xué)史料，感受數(shù)學(xué)精神

在矩陣教學(xué)的過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)史的滲透時(shí)，并非僅僅在課堂引用一下數(shù)學(xué)史就將其拋諸腦后，數(shù)學(xué)史的引入也并非是隨性的表演，而是教師有計(jì)劃地在整個(gè)矩陣教學(xué)過(guò)程中來(lái)展開(kāi)的一種教學(xué)形式.

學(xué)生在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，會(huì)接觸到許多矩陣的基本理論，如矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的相等以及矩陣的逆矩陣等等. 教師以數(shù)學(xué)史的角度來(lái)展開(kāi)矩陣教學(xué)，不僅僅為學(xué)生講解了矩陣的重點(diǎn)、難點(diǎn)，還讓學(xué)生了解了在矩陣論中做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，如瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆、日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和、英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊等等，這些數(shù)學(xué)史也將不同的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)了起來(lái). 通過(guò)歷史來(lái)展開(kāi)學(xué)習(xí)矩陣知識(shí)，幫助學(xué)生在腦海中建立清晰的知識(shí)框架，從而使矩陣的知識(shí)不再顯得那么繁難. 同時(shí)，深化學(xué)生對(duì)于矩陣的理解，讓學(xué)生了解到矩陣的本質(zhì)，理清楚矩陣與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系. 學(xué)生學(xué)習(xí)矩陣的過(guò)程也可以看作是歷史的縮影，學(xué)生跟隨著歷史的腳步來(lái)學(xué)習(xí)矩陣，仿佛親眼看見(jiàn)不同的數(shù)學(xué)家努力攻克一個(gè)個(gè)難題，從而讓學(xué)生了解到不同的數(shù)學(xué)概念從創(chuàng)立到完善的過(guò)程是曲折的. 學(xué)生在了解一段段歷史的過(guò)程中，也逐漸理解和接受了他們的思想，養(yǎng)成了探究的數(shù)學(xué)精神.

綜上所述，教師在教學(xué)高中數(shù)學(xué)矩陣時(shí)，要秉持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)不能是為了讓學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)，為了讓學(xué)生應(yīng)付考試而學(xué)習(xí)如何解題，而要在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)世界的魅力，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)史的視野下展開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不是孤立的，而是充滿趣味的，充滿生機(jī)的.