由辨析到明理 從計(jì)算到推理

邵官華 陶肖鋒

【摘 ? 要】“括號(hào)”的教學(xué)是整數(shù)四則混合運(yùn)算學(xué)習(xí)的總結(jié)。教師在教學(xué)中可以呈現(xiàn)具有辨析性的學(xué)習(xí)材料，在不斷提出問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生概括出四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。再通過(guò)專項(xiàng)練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，按要求編制四則混合運(yùn)算的題目，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。

【關(guān)鍵詞】四則混合運(yùn)算;運(yùn)算能力;數(shù)學(xué)推理

在本節(jié)課教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)有了四則混合運(yùn)算的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課的新知是應(yīng)用中括號(hào)連續(xù)改變四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。如何讓學(xué)生通過(guò)辨析進(jìn)一步明晰四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序？如何讓學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)，加上括號(hào)改變運(yùn)算順序后計(jì)算結(jié)果變化的趨勢(shì)？如何應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律，進(jìn)行基于計(jì)算的數(shù)學(xué)推理？帶著這些問(wèn)題，筆者進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

一、在辨析明理中培養(yǎng)概括能力

教師可以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，先引導(dǎo)學(xué)生在辨析的過(guò)程中回憶四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，之后在糾錯(cuò)的過(guò)程中通過(guò)添加括號(hào)，進(jìn)一步理解運(yùn)算順序，自主概括四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。

（一）在辨析中明晰四則運(yùn)算的結(jié)果變化

基于數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求不超過(guò)兩步計(jì)算，而要用到中括號(hào)，至少要有三步計(jì)算。因此教材中帶中括號(hào)的四則混合運(yùn)算采用純數(shù)學(xué)的算式。如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)括號(hào)的作用與必要性呢？筆者對(duì)教材第9頁(yè)上的例4進(jìn)行了改編，創(chuàng)設(shè)辨析情境引導(dǎo)學(xué)生逐步體會(huì)。

教師出示三道計(jì)算題（如圖1），請(qǐng)學(xué)生觀察這三道題有什么相同的地方。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這三道題的算式相同，說(shuō)明其中至少有兩個(gè)結(jié)果是錯(cuò)的。教師順勢(shì)追問(wèn)：你能夠不計(jì)算最終結(jié)果，馬上判斷哪一題一定是錯(cuò)的嗎？學(xué)生通過(guò)觀察認(rèn)為第（3）題是錯(cuò)的，因?yàn)?0×2=80，80加上一個(gè)數(shù)（大于0的數(shù)）一定大于30。教師進(jìn)一步追問(wèn)這一題該怎么計(jì)算。學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)回答先算除法，再算乘法，最后算加法。按這樣的運(yùn)算順序計(jì)算結(jié)果后判斷第（1）題是正確的。

（二）在嘗試中發(fā)現(xiàn)括號(hào)的含義與用法

在辨析環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)初步感受到整數(shù)四則運(yùn)算中乘法、除法與加法計(jì)算結(jié)果的大小變化規(guī)律。依據(jù)這一經(jīng)驗(yàn)，教師指出，只要讓余下的兩題分別改變運(yùn)算順序，就可以使計(jì)算結(jié)果變正確，并請(qǐng)學(xué)生依據(jù)這樣的要求嘗試完成。

對(duì)于第（2）題，學(xué)生有兩種嘗試方法。第一種是9600÷（120+40）×2，第二種是9600÷（120+40×2），學(xué)生認(rèn)為這樣做能使除數(shù)變大，結(jié)果就可以變小。教師同時(shí)展示學(xué)生的計(jì)算過(guò)程，發(fā)現(xiàn)第一種嘗試是正確的。

根據(jù)第（2）題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生又有了兩種添加括號(hào)的情況。第一種是9600÷（（120+40）×2），第二種是9600÷[（120+40）×2]。不可否認(rèn)，在新知學(xué)習(xí)之前，班級(jí)中有一部分學(xué)生會(huì)提前進(jìn)行學(xué)習(xí)，這里第二種填法的學(xué)生就應(yīng)該屬于此類，而第一種填法的學(xué)生則是利用了原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。教師展示了三位學(xué)生的遞等式計(jì)算過(guò)程。

教師請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)以上三個(gè)算式的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。學(xué)生指出運(yùn)算順序都相同，運(yùn)算結(jié)果都一樣。但生1的作品中有兩個(gè)小括號(hào)，生2與生3的作品中小括號(hào)外面又多了一種括號(hào)。教師請(qǐng)生2、生3說(shuō)說(shuō)“小括號(hào)外面的括號(hào)”的名稱、書(shū)寫(xiě)、作用等，再請(qǐng)其他學(xué)生在作業(yè)本上用這種方法重新書(shū)寫(xiě)算式。接著，教師請(qǐng)學(xué)生觀察生2與生3作品中的下畫(huà)線部分，比較哪一種書(shū)寫(xiě)方式更合理，并說(shuō)說(shuō)理由。學(xué)生通過(guò)討論交流，發(fā)現(xiàn)生3作品中用中括號(hào)更加合理，否則就會(huì)與上一步的小括號(hào)相混淆。最后，教師請(qǐng)學(xué)生按照生3的方法進(jìn)行糾正。

與教材編排相比，以上教學(xué)過(guò)程中學(xué)生把運(yùn)算過(guò)程當(dāng)成了問(wèn)題解決的過(guò)程，在不斷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，有層次地探究括號(hào)的作用。

（三）在比較中歸納四則運(yùn)算的運(yùn)算順序

這一節(jié)課是小學(xué)階段四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序的總結(jié)課。在經(jīng)歷以上學(xué)習(xí)過(guò)程之后，教師呈現(xiàn)三類不同的四則混合運(yùn)算的情況——沒(méi)有括號(hào)的、只有小括號(hào)的和含有中括號(hào)的。請(qǐng)學(xué)生進(jìn)一步觀察，歸納總結(jié)出四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。

生：沒(méi)有小括號(hào)的，先算乘除法，后算加減法。

生：有小括號(hào)的要先算小括號(hào)里的。

生：有中括號(hào)和小括號(hào)的，要先算小括號(hào)里的。

教師可以把學(xué)生的回答用圖示的形式進(jìn)行綜合（如圖2），請(qǐng)學(xué)生依據(jù)圖示重新梳理。

教師在帶中括號(hào)的題目前面添上“30÷”，最后的結(jié)果改為“1”，即“30÷9600÷[（120+40）×2]=1”。依據(jù)之前的計(jì)算結(jié)果，需要在中括號(hào)外面再添一種新的括號(hào)。個(gè)別學(xué)生說(shuō)可以用“大括號(hào)”，教師不做解釋，而是讓學(xué)生看教材第9頁(yè)的“你知道嗎”，了解各種括號(hào)的由來(lái)，并在上面的題目中添上大括號(hào)說(shuō)一說(shuō)新的運(yùn)算順序。

二、用多種形式提升運(yùn)算能力

運(yùn)算能力的培養(yǎng)需要有一定題量的訓(xùn)練，同時(shí)也需要有思維形式的變化。有前期的四則混合運(yùn)算作為基礎(chǔ)，練習(xí)中要關(guān)注計(jì)算習(xí)慣的養(yǎng)成和邏輯思維能力的培養(yǎng)。

（一）鞏固練習(xí)，培養(yǎng)檢查習(xí)慣

總結(jié)了四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序之后，教師請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的練習(xí)：（1）40+60÷5×4;（2）36-36÷18+18;（3）251-123-（154-31）。在運(yùn)算時(shí)，要求做到“先看符號(hào)定順序，要算的步驟下面加下畫(huà)線，一步一回頭”。

這三道題分別由教材練習(xí)三第1題中的其中三道題目改編而來(lái)。學(xué)生在做題時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：第（1）題——（40+60）÷（5×4），第（2）題——（36-36）÷18+18或（36-36）÷（18+18），第（3）題——251-[123-（154-31）]。雖然這三題中沒(méi)有出現(xiàn)中括號(hào)，但通過(guò)第（3）題的錯(cuò)例辨析，學(xué)生可以更深刻地體會(huì)到中括號(hào)的用法。

總之，精心設(shè)計(jì)容易受到數(shù)據(jù)干擾的四則混合運(yùn)算題目，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的四則混合運(yùn)算的計(jì)算思路。

（二）專項(xiàng)練習(xí)，鞏固運(yùn)算順序

在解決復(fù)合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，從已知信息出發(fā)，通過(guò)不斷地解決問(wèn)題求出最后的結(jié)果，這種方法叫作綜合法。教材練習(xí)三第2題（如圖3，序號(hào)為后期列綜合算式時(shí)標(biāo)上的），就是在計(jì)算中采用“綜合法”形成的思路圖。

教師可將教材中的要求做適當(dāng)改變，要求學(xué)生觀察思路圖，標(biāo)出運(yùn)算的順序，然后列出綜合算式，進(jìn)行遞等式計(jì)算。

四則混合運(yùn)算作為一種程序性知識(shí)，學(xué)生應(yīng)該在練習(xí)的過(guò)程中規(guī)范運(yùn)算流程。當(dāng)然，這種習(xí)慣并不是一蹴而就的，需要在前期學(xué)習(xí)中逐步形成，在后期學(xué)習(xí)中加以鞏固。

三、在計(jì)算練習(xí)中培養(yǎng)推理能力

在例題教學(xué)中，運(yùn)用四則運(yùn)算結(jié)果的大小變化規(guī)律可以對(duì)錯(cuò)誤的結(jié)果進(jìn)行判斷。教師可以設(shè)計(jì)運(yùn)算推理題，讓學(xué)生按要求改變四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，使結(jié)果盡量大或盡量小或等于規(guī)定的值。

（一）添括號(hào)，使運(yùn)算結(jié)果盡可能大或小

對(duì)于這樣的練習(xí)，學(xué)生在平時(shí)的計(jì)算中已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，用這種策略可以增強(qiáng)計(jì)算的趣味性。如這樣一題：在下面的算式中添上括號(hào)，使計(jì)算的結(jié)果盡可能大或盡可能小：6000÷75-60+10。此題是依據(jù)教材練習(xí)三第3題右邊的一組題改編而來(lái)的。改編后由兩種運(yùn)算增加到三種運(yùn)算，使得變化更加豐富。學(xué)生獨(dú)立完成后教師組織反饋，要求學(xué)生說(shuō)出解題的思路。

生1：填的是結(jié)果盡可能大的情況，我是這樣想的。6000這個(gè)數(shù)很大，如果讓除數(shù)最小，這個(gè)結(jié)果就大了。所以先算“60+10”，再?gòu)?5里面減去，結(jié)果就只有5了。我的算式是6000÷[75-（60+10）]，最后的結(jié)果是1200。

師：有沒(méi)有可能比他說(shuō)的結(jié)果還要大？

生2：我認(rèn)為不會(huì)有了，因?yàn)檫@個(gè)結(jié)果是四位數(shù)。我列的算式是6000÷（75-60）+10，結(jié)果是410，只有三位數(shù)。

改編，讓題目更開(kāi)放，也增加了練習(xí)量，增強(qiáng)了解決問(wèn)題過(guò)程中各種運(yùn)算的綜合應(yīng)用。

（二）添加括號(hào)，使算式的結(jié)果相等

在四則混合運(yùn)算中會(huì)有這樣的情況：添上括號(hào)后改變了原來(lái)的運(yùn)算順序，但結(jié)果還是相等。教師要改變學(xué)生可能形成的思維定式，即運(yùn)算順序變了結(jié)果一定會(huì)發(fā)生變化。此題由教材練習(xí)三第3題左邊的一組習(xí)題改編而成：在下面算式中的合適位置添上括號(hào)，使不同的算式結(jié)果相等：72-4×6÷3。

學(xué)生獨(dú)立嘗試后反饋。交流得到如下兩組相等的算式。

（1）72-4×6÷3=72-4×（6÷3）;

（2）（72-4）×6÷3=（72-4）×（6÷3）。

教師請(qǐng)學(xué)生觀察上面兩組結(jié)果相等的算式，說(shuō)一說(shuō)有什么共同的地方。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，對(duì)于先乘后除的乘除混合運(yùn)算，也可以先算除法。依據(jù)猜想，教師讓學(xué)生再找一找這樣的例子，舉例后交流，也可以進(jìn)一步用畫(huà)圖說(shuō)明（如圖4），分別解釋“4×6÷3”和“4×（6÷3）”的運(yùn)算過(guò)程。

（三）添加符號(hào)，使等號(hào)兩邊相等

教材練習(xí)三第12頁(yè)有一道思考題，等號(hào)左邊的結(jié)構(gòu)相同（都是“3○3○3○3”），等號(hào)右邊有1，2，3，7，8，9六個(gè)結(jié)果。經(jīng)過(guò)嘗試發(fā)現(xiàn)，等號(hào)右邊的結(jié)果可以是“0～10”中的任意一個(gè)數(shù)。因此，可對(duì)此題進(jìn)行改編，增加結(jié)果是0，4，5，6和10的算式，以增強(qiáng)題組的完整性。

先請(qǐng)學(xué)生觀察結(jié)構(gòu)，說(shuō)一說(shuō)各個(gè)算式的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，然后四人小組分工完成，交流反饋，匯總各題不同的填法。最后請(qǐng)學(xué)生依據(jù)結(jié)果提出新問(wèn)題，如“結(jié)果還可能會(huì)有哪一些？最大是多少？”

從本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程可以看出，從例題到練習(xí)題的設(shè)計(jì)，均對(duì)教材中的內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木帲鰪?qiáng)了運(yùn)算過(guò)程中的問(wèn)題意識(shí)，讓運(yùn)算順序的改變、結(jié)果大小的判斷等成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的學(xué)習(xí)材料。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)歡潭小學(xué) ? 311253）