沒有比較，就沒有真知

許蓮

摘 ?要：有比較才有高下，比較對于人類認(rèn)識事物的認(rèn)知功能，蘇聯(lián)教育家烏申斯基曾經(jīng)做出經(jīng)典總結(jié)：“比較是所有理解和內(nèi)化的前提?！敝睦韺W(xué)家謝切諾夫也談到：“比較是人最珍貴的智力寶藏，世界上的一切事物總要通過比較從而被人們所認(rèn)識?！睆臄?shù)學(xué)的視角來看，比較算得上一種基本的思想方法，是人腦對客觀對象開展歸類、抽象、概括的實(shí)驗(yàn)工具。小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多知識都需要在比較中深刻認(rèn)知。文章以蘇教版第六冊“認(rèn)識幾分之一”一課的教學(xué)活動為例，試論比較在教學(xué)中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：比較;分?jǐn)?shù);大小;概念;含義;幾分之一

“認(rèn)識幾分之一”是蘇教版《數(shù)學(xué)》第六冊（課本第64-67頁）的課程。課本把分?jǐn)?shù)定義的學(xué)習(xí)設(shè)置在高年級來完成，出發(fā)點(diǎn)是小學(xué)生的心理特征與思維方式——由直觀的形象思維過渡漸變?yōu)槌橄蟮耐评硭季S，處于一個(gè)重要的轉(zhuǎn)折期。這部分課程起到承前啟后的紐帶作用。對于教學(xué)均存在很大的難度。筆者在課上誘導(dǎo)學(xué)生前前后后展開五輪比較，起到了顯著的收效。

一、在比較中鎖定舊知與新知的對接點(diǎn)

這堂課的學(xué)習(xí)任務(wù)是：指引學(xué)生形成將若干物品合并成一個(gè)融為一體的整體，然后分切成若干的等份，取其中一部分，認(rèn)識所取的部分是整體的幾分之一。這塊知識是在建立在上學(xué)期認(rèn)識一個(gè)物品或者幾何圖形的幾分之一的基礎(chǔ)上的。不僅如此，這也為第十冊提煉生成單位“1”的概念、歸納分?jǐn)?shù)的含義、理解分?jǐn)?shù)單位等知識點(diǎn)奠定了基礎(chǔ)。原有知識的出發(fā)點(diǎn)和新知的發(fā)力點(diǎn)是：分?jǐn)?shù)幾分之一的意義是將一件物品或幾何體等分成一定量的份數(shù)，選取其中最小的獨(dú)個(gè)單體，也可以表示將一定量物品組成的集合等分成一定量的份數(shù)，選取其中最小的獨(dú)個(gè)單體。這個(gè)過渡升華設(shè)計(jì)的成敗，會直接決定學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的效果。筆者是這樣安排的，先引出一個(gè)例題，拋磚引玉，指引學(xué)生溫習(xí)舊知。

1. 把a(bǔ)等分為4份，選取其中1份表示為（ ? ?）。

2. 圖1涂色部位如果描述成分?jǐn)?shù)應(yīng)寫作（ ? ?）;無色部位如果描述成分?jǐn)?shù)應(yīng)寫作（ ? ?）。

小結(jié)得出：用分?jǐn)?shù)記錄數(shù)量大小時(shí)，分母單獨(dú)表示等分的總份數(shù)，分子單獨(dú)表示選取的部分包含的最小份數(shù)。然后：顯示例題中的場景圖：

把一包裝袋臍橙均分給4 只山羊，每只山羊發(fā)到手的橙子，是這一包裝袋臍橙的幾分之幾？指導(dǎo)學(xué)生審清題意，明確將一包裝袋臍橙均分給4只山羊，也就先要將這包裝袋臍橙均分成4份，教師推演分配的過程。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示每只山羊到手的橙子為這包裝袋臍橙的。引領(lǐng)學(xué)生開展首次比較：把單個(gè)臍橙均分成4份，其中的一份是這個(gè)臍橙的。把一包裝袋臍橙（4個(gè)）均分成4份，其中的一份（1個(gè)臍橙）是這包裝袋臍橙的。分配之后到手的實(shí)收數(shù)額不同，為什么都可以用同一個(gè)分?jǐn)?shù)表示？生1：這里中的分母4和分子1并非指代橙子的具體數(shù)額;生2：在這個(gè)分?jǐn)?shù)里，分母是表示分配的總份數(shù)，分子表示選取的份額，兩種分配方案全部是均分成4份，選取其中獨(dú)一份，因此均可用分?jǐn)?shù)來表示。通過首次比較，讓學(xué)生在對比辨析中獲知，把單個(gè)物品或若干物品的集合均分成一定量的份數(shù)，選取其中的一份一律可以用幾分之一來指代。

二、在比較中初步探究幾分之一的意義

通過首次比較，學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的拓寬與引申有所感知。而把一包裝袋臍橙（4個(gè)）均分成4份，其中的1份（1個(gè)臍橙）是這一包裝袋臍橙的。這種情景很直觀，即使學(xué)生對的概念，在一知半解的情形下也能連估帶猜地推出答案。為了讓學(xué)生深刻掌握幾分之一的真義，筆者繼續(xù)拋出下述問題：假設(shè)均分給2只山羊，每只山羊到手的橙子是這一包裝袋臍橙的幾分之幾？先讓學(xué)生猜想：每只山羊到手的是這一包裝袋臍橙的幾分之幾？大部分學(xué)生回答是，只有個(gè)別頭腦靈活思維活躍的學(xué)生認(rèn)為是。針對這兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，筆者及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生開展二輪比較：每只山羊到手的是這一包裝袋臍橙的還是呢？投石問路。學(xué)生們陷入沉思，筆者要求學(xué)生親自動手實(shí)踐，通過直觀演示來驗(yàn)證，揭開內(nèi)心的疑惑，配合腦海里的思維活動，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考，并借此機(jī)會展開探究交流。通過比較，學(xué)生們達(dá)成統(tǒng)一意見，把一包裝袋臍橙（4個(gè)）均分成2份，每只山羊到手的是這一包裝袋臍橙的。因?yàn)樵谶@種語境下，是把這一包裝袋臍橙均分成2份，每只山羊取得其中的1份，而并非把這一包裝袋臍橙均分成4份，每只山羊取得其中的2份。通過這次比較，學(xué)生在直觀操作中深切體會到，把一定量物品組成的一個(gè)集合均分成幾份，選取其中的1份用分?jǐn)?shù)表示就是幾分之一。這里的1份是指一次分配下最小的單體，在不進(jìn)行二次分割前提下，可以是1個(gè)橙子也可以是2個(gè)橙子。

比較其實(shí)是鞏固舊知，加深學(xué)生對幾分之一的透徹理解和全面把握，防止學(xué)生對幾分之一理解模糊影響后來對幾分之幾的掌握，上述比較的巧妙之處在于提取相同因素——選取的對象都是一份（一只山羊所得份額），分子都是1;突出不同因素——分成的總份數(shù)不同（瓜分水果的山羊只數(shù)不同），分母不同，那么所得到的分?jǐn)?shù)就不同，一個(gè)是，一個(gè)是。這個(gè)分?jǐn)?shù)的意義是很明確的。而在這個(gè)過程中，不能理解為的簡化，因?yàn)榉峙溥^程中沒有平分成4等份，也沒有取其中2份。學(xué)生之所以得出這個(gè)多余而無益的步驟，是因?yàn)閷W(xué)生沒有正確處理份數(shù)與個(gè)數(shù)的關(guān)系。分?jǐn)?shù)的意義是平分的總份數(shù)做分母，所取的份數(shù)做分子。前面的份數(shù)與個(gè)數(shù)剛好相等，4個(gè)分成4份，1份剛好1個(gè)，對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)遷移，所以后面的比較就是消除這個(gè)誤解。

三、在比較中深刻領(lǐng)會幾分之一的要義

通過上面兩輪比較，多數(shù)學(xué)生對分?jǐn)?shù)幾分之一的概念，建立了較為完整全面的理論認(rèn)知，但還不夠深刻和細(xì)致。于是，筆者借助下面兩個(gè)問題組織學(xué)生開展二輪比較：問題1：同樣是把一包裝袋臍橙（4個(gè)）進(jìn)行均分，為何一會兒分母是4，一會兒分母又變成2呢？在比較辨析中學(xué)生領(lǐng)悟：分母4是因?yàn)?，把這一包裝袋臍橙平分給4只山羊，是均分成4份;分母2是因?yàn)槠椒纸o了2只山羊，是均分成2份，分配的總份數(shù)不同，所以分母不一致。問題2：為何兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1呢？通過比較辨析，學(xué)生領(lǐng)悟，選取的都是其中最小的1份。通過這次比較，學(xué)生基本明確，分?jǐn)?shù)幾分之一的分母表示的是平均分配的總份數(shù)，分子是表示其中最小的單份，這里的1份，可以只含有1個(gè)橙子，也能含有幾個(gè)橙子，與具體數(shù)額無關(guān)。

通過這一輪的比較，更加深刻揭示出幾分之一的本義，這次的比較更加細(xì)化，更加有條理，邏輯性強(qiáng)，絲絲入扣。先比較分母的變化，在橙子總個(gè)數(shù)不變的前提下，為什么分母從4變成2，讓學(xué)生通過分析將分母與平分的總份數(shù)對應(yīng)起來，然后比較分子的相同，分子保持1不變，讓學(xué)生通過分析將分子與分配中所取的份數(shù)對應(yīng)起來。因?yàn)閮纱味际侨〉目偡輸?shù)中的唯一一份，所以分子是1。于是，就將分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行一次深入的解剖。分子分母各代表什么意義，之間是什么聯(lián)系也隨之捋順。

四、在比較中夯實(shí)基礎(chǔ)融會貫通

經(jīng)歷上述三輪比較，學(xué)生對幾分之一的概念，已經(jīng)了然于胸。為了夯實(shí)加固，筆者增設(shè)了下面這個(gè)比較的環(huán)節(jié)：選擇正解填在后面的（ ? ?）里，把這一包裝袋臍橙平均分配給4只山羊，每只山羊到手的是這一包裝袋臍橙的（ ? ?）

學(xué)生很快做完，都做對了。筆者引導(dǎo)學(xué)生開展第四輪比較：為什么選第三個(gè)選項(xiàng)？前兩個(gè)選項(xiàng)錯在哪里？生3：把這一包裝袋臍橙平均分配給4只山羊，也就是均分成4份，每只山羊到手的是其中的1份，就是。生4：不管是幾個(gè)臍橙，均分成幾份，表示其中的1份的數(shù)就是這一包裝袋的臍橙的幾分之一。生5：是表示把這一包裝袋臍橙均分成8份，表示這樣的1份。而這里是把這一包裝袋臍橙均分成4份，所以選項(xiàng)一被排除。生6：第二個(gè)選項(xiàng)盡管分母也是4，也能表示把總量均分成4份，但分子2卻表示2份，也說不過去，因?yàn)槊恐簧窖虻绞值闹挥衅渲械?份，這樣算其實(shí)是默認(rèn)把兩個(gè)臍橙視為一份。通過這次正反例的辨別甄選，學(xué)生基本了解了，分?jǐn)?shù)里面的幾分之一可以表示若干物體的集合體均分成一定量的份數(shù)，其中的最小一份。

五、在比較中靈活運(yùn)用自由切換

查驗(yàn)學(xué)生是否對概念掌握到位，主要看能否熟練運(yùn)用。在完成課后練習(xí)時(shí)，筆者進(jìn)行第五次比較：第1題的第2小題。

學(xué)生獨(dú)自做完后，指導(dǎo)學(xué)生辨析：同樣是6根香蕉，為何左端每份香蕉是全部香蕉的？而右端每份香蕉是全部香蕉的？生7：因?yàn)樽蠖耸前讶肯憬毒殖?份，右端則是均分成2份，都是選取其中的1份。所以左側(cè)每份是全部香蕉的，右側(cè)每份是全部香蕉的。

比較是掌握知識的一種常用方法，小孩子喜歡比較，但又不會正確科學(xué)地比較，因此，教師要注意指導(dǎo)方法和程序，讓學(xué)生通過自主觀察對比，推導(dǎo)出結(jié)論，方能掌握技能。