“正弦定理”新授課的教學設計

吳榮燕

（廣東省廣州市美術中學，510060）

本文對“正弦定理”新授課進行創(chuàng)新性教學設計如下.

一、教學過程設計

在課前編寫好“導學稿”，在課堂上發(fā)給學生，要求學生課堂上在老師的組織、引導下獨立完成填空.整節(jié)課采用“問題帶動知識點”的教學策略，即學生在完成填空的過程中逐漸探究、得出新知并鞏固新知.

第一部分：知識回顧

操作說明：讓學生在1分鐘內(nèi)獨立完成填空.本部分通過三個問題，即問題1，2，3及其思考題，引發(fā)學生對基礎知識的回顧，主要考查“圓的直徑所對的圓周角是直角”，“同弧或等弧所對的圓周角相等”等初中數(shù)學知識.側重在學生的已有認知的基礎上逐步引出新知識.教師通過個別提問了解學生的解答情況.

假設在 △ABC中，∠A的對邊是a，∠B的對邊是b，∠C的對邊是c.請完成以下問題.

圖1

思考1 由問題1可得2R=a／（ ）=b／（ ）=c／（ ）.

圖2

圖3

思考2 由問題2可得2R=a／（_______）=b／（_______）=c／（_______）.

思考3 由問題3可得2R=a／（_______ ）=b／（_______）=c／（_______）.

總結與反思 上述問題的解答為什么都要作直徑為輔助線？如此做法的作用是什么？

設計意圖 突出“作直徑為輔助線”，是為了突出“直徑”在上述問題探究中的重要性，也是為了讓學生學習、理解和感悟“化歸與轉化”的數(shù)學思想：把銳角三角形和鈍角三角形轉化為直角三角形.

歸納 從問題1—3，我們可以得出一個結論：在△ABC中，若∠A的對邊是a，∠B的對邊是b，∠C的對邊是c，則有______________.這就是著名的正弦定理.上述問題1，2，3的探究過程運用了我們平常很熟悉的_______數(shù)學思想.

設計意圖 在上述分別對直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形進行探究的基礎上，得出它們具有的共同性質(zhì)：正弦定理.這符合學生認識、學習和探究數(shù)學問題的認知特點，也體現(xiàn)了從易到難的問題探究的層次性，運用了轉化與化歸的數(shù)學思想.教師鼓勵學生大膽“說”出自己的解答［1］.

第二部分：新知學習

操作說明：第二部分是學生在完成第一部分的學習任務并經(jīng)過老師的講評之后開始的，突出“正弦定理”的內(nèi)容及其簡單應用.學生先獨立完成填空，然后老師及時講評，鼓勵學生大膽“說過程”，“說異見”，“說體會”［2］.老師把“新知運用”和“鞏固練習”部分給學生作課堂限時訓練.學生完成之后，老師利用實物投影儀投影學生的解答過程并進行講評.

1.知識要點

正弦定理：在 △ABC中，若R為 △ABC外接圓的半徑，則______.

問題4 由正弦定理可以通過變換得到哪些等式？

設計意圖 讓學生動手寫出盡可能多的正弦定理的變形結果，促進學生對正弦定理數(shù)學表達式的認知。

問題5 在△ABC中，如果我們要求這個三角形外接圓的半徑R，那么只需知道______，或______，或______.

問題6 你覺得正弦定理漂亮嗎？式子有什么結構特點呢？

設計意圖 從數(shù)學美的角度啟發(fā)學生對正弦定理數(shù)學表達式的認知，促進學生進一步感受正弦定理的結構美，幫助學生強化對正弦定理的表達式的記憶.

2.新知運用

例1 已知在 △ABC中，a，b，c分別為角A，角B，角C的對邊，A=60°，B=75°，c=6，求△ABC外接圓的半徑R及a.

設計意圖 已知三角形的兩個內(nèi)角大小和其中一條邊的長度，直接代入正弦定理的數(shù)學表達式就可以求出其外接圓的半徑和未知的邊長.這屬于正弦定理的正向簡單應用，難度不大.

例2 （1）已知在 △ABC中，a，b，c分別為角A，角B，角C的對邊，45°，求∠B與△ABC的外接圓半徑R.

（2）已知在 △ABC中，a，b，c分別為角A，角B，角C的對邊，，求∠B及c.

設計意圖 例2是已知三角形的兩條邊的長度和一個內(nèi)角的大小，直接代入正弦定理的數(shù)學表達式就可以求出其外接圓的半徑、未知的內(nèi)角大小和邊長.這是對正弦定理的正向簡單應用，難度不大.

3.知識總結

正弦定理的基本作用為：

（1）已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a= ______；

（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA=______.

一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素，求其它元素的過程叫作解三角形.

設計意圖 在兩道例題解答和講評的基礎上，總結正弦定理的應用，強調(diào)正弦定理的工具性作用.在此基礎上給出“解三角形”的概念，顯得比較自然.

4.鞏固練習

（1）已知在 △ABC中，a，b，c分別為角A，角B，角C的對邊，∠A=60°，a=，求

設計意圖 “鞏固練習”側重考查正弦定理的變形及其應用，突出“化歸與轉化”數(shù)學思想的考查；故意設計三角形的內(nèi)角為“特殊角”，淡化計算器的使用，突出本節(jié)課的教學重點.

第三部分：課堂學習小結

（1）正弦定理：在 △ABC中，R為 △ABC外接圓的半徑，則_______ .

（2）正弦定理的應用范圍：

① 已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

② 已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角.

（3）解三角形的定義.

（4）主要的數(shù)學思想方法有：

設計意圖 課堂學習小結是在老師的引導下完成，鼓勵學生自主總結并口頭表達出來.以此培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，強化學生對本節(jié)課的基礎知識、基本方法與技能以及基本數(shù)學思想方法的回顧和提煉.

二、分析與討論

教材的使用需服務于教學目標的達成.教師是教材的使用者和建設者.如何更好地使用教材，有效促進教學目標的達成，考驗教師的教學智慧.

1.創(chuàng)造性地設計問題情境，促進學生更好地學習新知

上述教學設計充分考慮了學生的數(shù)學現(xiàn)實（已有知識基礎、認知策略），進而創(chuàng)設情境，為學生架設了已有數(shù)學現(xiàn)實與新知學習之間的橋梁.在初中階段學習過圓的相關知識，對圓心角、圓周角等相關知識比較熟悉，這就是學生的已有數(shù)學現(xiàn)實.在此“現(xiàn)實”的基礎上，設計了圓內(nèi)接三角形這個情境，具有很強的目的性，就是為了推導得出正弦定理.這情境緊密聯(lián)系初中數(shù)學知識，以問題的形式給出，這些問題之間具有一定的層次性，對學生學習正弦定理具有較強的暗示功能和啟發(fā)功能.

2.創(chuàng)造性地設計教學內(nèi)容，促進教學目標的有效達成

上述教學設計里的“例題”和“鞏固練習”中的角都是特殊角，沒有復雜的運算技巧和過程.其中，既有正弦定理的正向應用，也有適當變形的考查，讓學生能較快找到解題思路，運用正弦定理本身或者其變形解決問題.相對而言，本設計與學生的已有知識聯(lián)系很緊密、較自然，有助于學生理解正弦定理的本質(zhì).其例題和練習題的設計更有助于教學目標的達成；有助于學生識記正弦定理及其結構；有助于學生理解并運用正弦定理及其有關變形.同時，強化了化歸與轉化數(shù)學思想的應用，有效促進教學目標的達成.

3.創(chuàng)造性地設計教學方式，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展

上述教學設計采用的是探究式教學方式.讓學生借助“導學案”進行探究，在獨立完成填空的過程中得出了正弦定理，然后經(jīng)過老師組織的學習成果展示、老師的及時講評和當場糾錯，加深了對新知的認識、理解；接著運用正弦定理及其變形獨立完成練習題；最后是老師引導學生進行課堂小結.如此的教學方式完全“以學生為主體，教師為主導”，“精講多練”，用“導學案”來啟發(fā)學生的思考，通過學習成果展示促進師生、生生之間的交流，讓學生在掌握正弦定理本身的同時，深刻體會到正弦定理的本質(zhì)——圓的內(nèi)接三角形的邊長、內(nèi)角與圓的半徑之間的關系，在完成一系列問題解決的過程中積累了數(shù)學思維和問題解決的實踐經(jīng)驗.

4.創(chuàng)造性地設計教學過程，促進學生數(shù)學思維能力的提高

5.搭建交流平臺，增強學生數(shù)學學習的成功感

上述教學設計搭建了一系列問題解決平臺，設計了多道變式練習題.在學生的訓練完成之后，老師及時投影個別學生的解答，讓學生“說”自己的數(shù)學思考過程與結果［3］.老師及時評價學生的數(shù)學學習表現(xiàn)，鼓勵學生之間“說異見”，開展數(shù)學交流活動.這充滿了“師生互動”和“生生互動”，創(chuàng)設了激發(fā)學生的成就動機的機會，搭建了師生交流、生生交流的平臺，能較好地促進學生形成自我概念，增強學生的數(shù)學學習成功感.

6.通過創(chuàng)造性地設計、使用教材，促進教師的專業(yè)化發(fā)展

數(shù)學教學服務的對象是學生，開展創(chuàng)新性教學設計是為了使學生更好地學習數(shù)學.上述教學設計的問題情境、教學內(nèi)容、教學方法、教學評價等和A版教材呈現(xiàn)方式存在較大差異.對正弦定理的新授課進行創(chuàng)新性設計，有助于教師更好地理解正弦定理的相關知識，準確地確定和把握這節(jié)課的教學重點和難點.老師應能將正弦定理“深入淺出”地處理，傳授給學生.能否“深入”，取決于老師本身的數(shù)學知識水平、對正弦定理的理解；當然，能否“淺出”，取決于老師的數(shù)學教學水平.這就需老師較好地理解教學和理解學生.老師應努力組織和促進學生進行理解性學習，關鍵就是建構知識之間的聯(lián)系，理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的［4］.這需老師科學地創(chuàng)設合適的問題情境、運用適當?shù)慕虒W方法和評價策略.因此，創(chuàng)造性地設計、使用教材，有助于促進教師的專業(yè)化發(fā)展.