思維可視化在問題解決中的應(yīng)用策略

徐嬌

[摘要]通過實(shí)物圖、圖形圖、線段圖等圖示充分暴露學(xué)生的思維過程，讓學(xué)習(xí)可見;通過說圖、對(duì)話、重構(gòu)等，暴露學(xué)生的思維認(rèn)知起點(diǎn)，重構(gòu)學(xué)習(xí)概念;通過優(yōu)化、掌握學(xué)習(xí)方法，暴露思維全過程，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);思維可視化;問題解決;策略

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020）20-0039-03

思維可視化是指把抽象的思考方法和過程通過可視的圖式或圖像呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生的思維充分暴露，讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

一、充分暴露學(xué)生的思維過程，讓學(xué)習(xí)可見

要暴露學(xué)生的思維過程，可以借助圖示。畫圖是解決抽象問題時(shí)的常用手段，可以幫助學(xué)生直觀理解題目的意圖。如三年級(jí)上冊(cè)第五單元“倍的認(rèn)識(shí)”一課：

你能讓大家一眼看出胡蘿卜和白蘿I、之間的倍數(shù)關(guān)系嗎？試一試。

“倍的認(rèn)識(shí)”是一個(gè)比較抽象的內(nèi)容，學(xué)生比較難理解“倍”的意義、建立“倍”的概念。針對(duì)10根白蘿卜和2根胡蘿卜之間的倍數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生嘗試畫圖，將思維可視化，真實(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

1.實(shí)物圖

如圖1所示，有的學(xué)生畫出胡蘿卜和白蘿卜的實(shí)物圖，然后通過圈一圈，直觀地看出白蘿卜的數(shù)量是胡蘿卜的5倍。

2.圖形圖

如圖2所示，有的學(xué)生把胡蘿卜和白蘿卜畫成同一種圖形，然后也是通過圈一圈，直觀地看出白蘿卜的數(shù)量是胡蘿卜的5倍。這種方法更簡(jiǎn)潔明了，思維層次比畫實(shí)物圖高。

3.線段圖

如圖3所示，有的學(xué)生采用更抽象的數(shù)字和線段圖來呈現(xiàn)自己的思維過程。他們將具體的蘿卜數(shù)量抽象成數(shù)字，體現(xiàn)10里面有5個(gè)2，也就是10是2的5倍。

以上，教師引導(dǎo)學(xué)生借助多元表征將思維可視化，尊重不同個(gè)體的個(gè)性表達(dá)，關(guān)注了學(xué)生表征發(fā)展的層次，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、暴露學(xué)生的思維認(rèn)知起點(diǎn)，重構(gòu)學(xué)習(xí)概念

1.說圖，表達(dá)原始的思維過程

當(dāng)學(xué)生把頭腦中的思維通過畫圖的方式呈現(xiàn)后，還要用語言把畫的圖說出來，表達(dá)原始的思維過程。如“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的練習(xí)中有一道習(xí)題：

三年級(jí)跳集體舞的同學(xué)排成一個(gè)長(zhǎng)方形。小婷站在左起第7列，右起第11列;從前數(shù)她是第8個(gè)，從后數(shù)她是第12個(gè)。你知道三年級(jí)共有多少人跳集體舞嗎？

一位學(xué)生畫圖呈現(xiàn)了思維過程（如圖4）。

（1）自己說，自己整理思路

“用1個(gè)圓圈代表1個(gè)人，小婷從左邊數(shù)是第7個(gè)，從右邊數(shù)是第11個(gè)，從前面數(shù)是第8個(gè)，從后面數(shù)是第12個(gè)，歷以這樣畫。算式就是17x19?！边@位學(xué)生用自己的語言描述，但是表述不完整。對(duì)于17x19這個(gè)算式，部分學(xué)生理解有困難。

（2）引導(dǎo)說，完善思維過程

在該生的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：“這個(gè)17代表什么？19又代表什么？為什么這兩個(gè)數(shù)相乘，就是我們要求的答案？”學(xué)生繼續(xù)思考，終于明白：“因?yàn)閺淖筮厰?shù)她是第7個(gè)，從右邊數(shù)是第11個(gè)，她自己重復(fù)了，所以是7+11-1=17，說明一共有17列;從前面數(shù)她是第8個(gè)，從后面數(shù)是第12個(gè)，她自己也重復(fù)了，所以是8+12-1=19，即一列有19人。要求一共有多少人，就是17x19?！?/p>

學(xué)生通過畫圖表達(dá)自己的原始思考，再根據(jù)教師的引導(dǎo)完善自己的思維過程，充分把自己的思維過程體現(xiàn)出來并進(jìn)行再思考，提升了思維的深刻性。

2.對(duì)話，審視思維過程的方法

課堂應(yīng)該以學(xué)生為主體，教師要努力打造生本課堂。生生對(duì)話，能讓學(xué)生用兒童化的語言表達(dá)個(gè)人的不同觀點(diǎn)，審視自己的思維過程，實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。在六年級(jí)上冊(cè)第一單元“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”中有一道練習(xí)題：李伯伯家有一塊1/2公頃的地，種土豆的面積占了這塊地的1/5，問：種土豆的面積是多少？

（1）生生對(duì)話，促進(jìn)思考

對(duì)于圖5、6兩種不同的畫法，讓學(xué)生之間進(jìn)行對(duì)話、提問，請(qǐng)作品主人說一說他是怎么想的。通過生生對(duì)話，圖6的主人發(fā)現(xiàn)自己畫的左圖是表示1/2，右圖是表示1/5，這兩幅圖的陰影部分的面積之和是1/2+1/5，而題目的意思明顯不是用加法，求一個(gè)數(shù)的幾分之幾，應(yīng)該用乘法解決。因此，圖6明顯畫錯(cuò)了。在此過程中，課堂完全交給這些小主人，他們通過自行的交流、思考，自己就能把錯(cuò)誤的做法給排除了。

（2）師生對(duì)話，引發(fā)思考

在交流過程中，學(xué)生認(rèn)為圖5的畫法是正確的，它表示把長(zhǎng)方形先平均分成2份，取其中的一份就是1/2，再把1/2平均分成5份，取其中的一份就是1/2的1/5，也就是1/10。當(dāng)教師第一次詢問是否都同意這樣畫，有沒有什么不同的畫法或建議時(shí)，學(xué)生都認(rèn)為這樣畫已經(jīng)很好了。教師再次提問：“那你們知道1/2在哪里嗎？1/5又在哪里？”此刻，學(xué)生才意識(shí)到要把1/2也清楚地標(biāo)注出來，然后在這個(gè)1/2里找它的1/5，讓人一眼就看得清楚。經(jīng)過交流、思考、修改，學(xué)生展示了最后的作品（如圖7）。

當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)無法繼續(xù)的時(shí)候，教師要適時(shí)地引導(dǎo)，促使學(xué)生思考與反思，這樣才能更進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

3.重構(gòu)，鞏固已有的思維方式

“錯(cuò)誤”是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一種思維過程的體現(xiàn)，也是課堂教學(xué)中的寶貴教學(xué)資源，我們要充分暴露學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生情感和思維的發(fā)展。如“數(shù)學(xué)廣角——搭配（二）”的練習(xí)課中，部分學(xué)生對(duì)于這兩種類型的題往往分不清。

類型1：王老師有3件上衣，2條褲子，一共有多少種搭配？

類型2：5個(gè)小朋友，每?jī)蓚€(gè)人通一次電話，一共需要通多少次電話？

對(duì)于衣服和褲子的搭配，學(xué)生列出的算式是3x2=6（種），用乘法;對(duì)于互通電話列出的算式是5x2=10（次），也是用乘法。

（1）與錯(cuò)誤對(duì)話，重構(gòu)已有的錯(cuò)誤認(rèn)知

教師先讓學(xué)生把目光聚焦到類型2這道題，詢問：“你是怎么想的？你能畫一畫嗎？”學(xué)生呈現(xiàn)的圖示如圖8所示。從圖示可以看出，學(xué)生把兩種類型的題目搞混了，列出的算式與圖示不符。通過讓學(xué)生思考“1號(hào)和2號(hào)能通電話嗎？1號(hào)和3號(hào)能通電話嗎？”，讓學(xué)生了解這樣理解是不全面的，1號(hào)與2、3、4、5號(hào)都能通電話，而2號(hào)再和1號(hào)通電話就是重復(fù)了，所以這個(gè)類型的題目并不是用“搭配衣服”的模型來解決。通過與錯(cuò)誤對(duì)話，重構(gòu)學(xué)生的認(rèn)知。

（2）與模糊對(duì)話，明晰已有的認(rèn)知起點(diǎn)

從圖8可以看出，學(xué)生對(duì)于兩種類型的題目的認(rèn)知是模糊的，腦海中沒有清晰的思路和明確的認(rèn)識(shí)。這就要求教師在學(xué)生思路模糊的時(shí)候，及時(shí)幫助他們明晰已有的認(rèn)知起點(diǎn)，把兩種類型重新建構(gòu)。

圖9解決的是類似每2人之間打電話、送信、比賽等問題，不能重復(fù)計(jì)算，對(duì)應(yīng)類型2;而圖10解決的是從兩個(gè)類別中各選取一項(xiàng)進(jìn)行搭配，對(duì)應(yīng)類型1。這兩個(gè)類型的題目其數(shù)學(xué)模型就是“組合”問題。學(xué)生在解決這兩類問題時(shí)，要分清楚是哪種類型的問題，再通過畫圖等方式，選擇合適的方法進(jìn)行解答。

三、暴露思維過程的方法多樣化，優(yōu)化學(xué)習(xí)方法

在暴露思維的過程中，學(xué)生的方法是多種多樣的，都應(yīng)給予肯定，但在學(xué)習(xí)多種方法后，還是要優(yōu)化方法，尋找解題的最佳方案，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。如“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”一課，學(xué)生對(duì)于雞兔同籠問題的解法有很多。

例：雞兔同籠，一共有20個(gè)頭，54條腿，請(qǐng)問：雞和兔各有多少只？

1.優(yōu)化學(xué)習(xí)方法，暴露思維全過程

解決此問題主要有列表法、畫圖法、抬腿法、極限法（假設(shè)法）等。課上讓學(xué)生進(jìn)行各種方法的優(yōu)化、比較，學(xué)生喜歡畫圖法和列表法的比較多，他們認(rèn)為畫圖法和列表法能清晰、直觀地知道雞有幾只、兔有幾只;而抬腿法、極限法相較于畫圖法、列表法來說比較難理解。

2.掌握學(xué)習(xí)方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)

在解雞兔同籠問題時(shí)，學(xué)生采用的畫圖法與教材中提供的方法一致;列表法則滲透著列舉和猜想的思想方法;抬腿法和極限法滲透著假設(shè)的思想方法。由列舉法和畫圖法的解題過程，可以歸納出解決此類問題的數(shù)學(xué)模型，因此也滲透了數(shù)學(xué)的模型思想。

思維可視化是一種解題的思路和策略，學(xué)生通過可視化的表達(dá)路徑，在看圖、說圖、比較的過程中，掌握學(xué)習(xí)解決這類問題的方法，從而提高解決問題的能力，提升學(xué)科素養(yǎng)。

（責(zé)編吳美玲）