數(shù)學(xué)建模在高職汽車類專業(yè)中的應(yīng)用研究
——以汽車裝配順序優(yōu)化為例*

王 雪

(武漢交通職業(yè)學(xué)院，湖北 武漢 430065)

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識解決專業(yè)和實(shí)際生活中問題的一門學(xué)科[1]。它廣泛應(yīng)用于多門汽車類專業(yè)核心課程重難點(diǎn)內(nèi)容的教學(xué)中，如裝配順序優(yōu)化、運(yùn)輸規(guī)劃與優(yōu)化、車輛大修與更新方案的制定等。但是，數(shù)學(xué)建模教學(xué)中還存在一些問題，如教學(xué)內(nèi)容與汽車專業(yè)實(shí)際結(jié)合不夠緊密，模型求解步驟有點(diǎn)多，部分?jǐn)?shù)學(xué)軟件高職學(xué)生掌握有些許困難等，導(dǎo)致學(xué)生不能靈活應(yīng)用建模思想和方法解決專業(yè)和實(shí)際生活問題，影響了汽車專業(yè)教學(xué)質(zhì)量。因此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)要緊密聯(lián)系專業(yè)實(shí)際，靈活運(yùn)用經(jīng)典數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決專業(yè)問題，積極服務(wù)專業(yè)教學(xué)。

汽車裝配順序優(yōu)化是“汽車制造工藝基礎(chǔ)”課程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是汽車類專業(yè)學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)基本技能。目前，針對這一問題的研究主要有：王誠[2]通過分析裝配線上顏色、配置、動力等工藝要求，建立了滿足20個(gè)約束條件的LP模型，利用Matlab軟件求解，該算法要求學(xué)生有較強(qiáng)的理解能力和編程能力；于倩[3]采用啟發(fā)式算法對生產(chǎn)計(jì)劃和裝配線上顏色進(jìn)行組合優(yōu)化和分層交叉分析設(shè)計(jì)；陳衛(wèi)忠[4]使用先考慮顏色較特殊的藍(lán)色，再考慮數(shù)量多的黑色、白色，最后考慮可間隔數(shù)量多的金色等進(jìn)行手動排序。于倩和陳衛(wèi)忠均手動完成了一日的裝配順序優(yōu)化，這兩種算法要求學(xué)生有較強(qiáng)的歸納概括能力和邏輯思維能力。通過教學(xué)實(shí)踐和研究，發(fā)現(xiàn)上述算法更適合高職院校建模競賽的賽前培訓(xùn)，若適當(dāng)降低裝配工藝要求，可進(jìn)一步優(yōu)化模型建立、求解和應(yīng)用。本文采取把裝配順序優(yōu)化轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的TSP模型，利于高職學(xué)生理解掌握；利用無需編程基礎(chǔ)的lingo軟件求解模型，且模型便于推廣應(yīng)用，有益于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力，并讓學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)建模廣泛的應(yīng)用價(jià)值。因此，本文建模方法更適合高職汽車類專業(yè)數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)。

下面結(jié)合汽車類專業(yè)裝配順序優(yōu)化實(shí)例，從問題分析、模型建立、模型求解、模型解釋及檢驗(yàn)、模型使用條件等方面，詳細(xì)闡述數(shù)學(xué)建模方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)在汽車類專業(yè)中的應(yīng)用。

1 專業(yè)實(shí)例

某汽車公司生產(chǎn)多種顏色的汽車，有黑、白、黃、紅、藍(lán)、銀、金、棕、灰9種；公司每天可裝配各種顏色的汽車共460輛，每天生產(chǎn)各種顏色車輛的具體數(shù)量由市場需求和銷售情況決定。該企業(yè)制定了2019年9月17日的生產(chǎn)計(jì)劃，各種顏色及數(shù)量如表1所示。

表1 各種顏色的汽車及數(shù)量

車輛裝配流程：汽車裝配分兩步，第一步是總裝線作業(yè)，第二步是噴涂線作業(yè)，噴涂線有C1、C2兩條線，要求C1線安排奇數(shù)，C2線安排偶數(shù)。

總裝線上對顏色要求：1.黑色汽車必須連排；白色汽車可連排，也可和藍(lán)或棕色汽車間隔排列。2.藍(lán)色汽車必須與白色汽車間隔排列；顏色為黃或紅的汽車必須與顏色為銀、灰、棕、金中的一種顏色的汽車間隔排列。3.灰色或銀色汽車可以連排，也可和黃、紅、金中的一種顏色的汽車間隔排列；金色汽車要與黃色或紅色汽車間隔排列；如果無法滿足，也可以與顏色為灰、棕、銀中的一種顏色的汽車間隔排列。4.棕色汽車可連排，也可與黃、紅、金、白中的一種顏色的汽車間隔排列。5.關(guān)于其他顏色，遵循“不允許即禁止”的原則。

噴涂線上對于顏色要求：顏色相同的汽車應(yīng)盡可能連續(xù)噴涂，不同顏色之間切換次數(shù)越少越好，黑色與其他顏色之間的切換成本很高，最好不切換。

問題：根據(jù)上述要求結(jié)合所給的數(shù)據(jù)，請你替該企業(yè)制定符合上述裝配要求，并且生產(chǎn)成本較低的裝配順序。

2 問題分析

生產(chǎn)成本主要包括裝配成本、噴涂所需材料費(fèi)用和顏色切換費(fèi)用。噴涂所需材料費(fèi)用是固定的，所以生產(chǎn)成本高低的關(guān)鍵因素是裝配成本和顏色切換費(fèi)用。下面采用化整為零、各個(gè)擊破以及積零為整的數(shù)學(xué)思想，詳細(xì)分析以下三種成本與裝配線上顏色要求之間的關(guān)系。

2.1 顏色切換費(fèi)用分析

噴涂線上對于顏色的要求是同種顏色的汽車應(yīng)盡量連續(xù)噴涂作業(yè)，盡量減少噴涂線上不同顏色之間的切換次數(shù)，尤其是黑色與其他顏色之間的切換成本很高。因此，要降低顏色切換費(fèi)用就要使顏色切換次數(shù)盡可能少，尤其是黑色與其他顏色的切換次數(shù)盡可能少。此處采用含糊化明朗、復(fù)雜化簡單的化歸數(shù)學(xué)方法，作出如下數(shù)學(xué)假設(shè)：假設(shè)黑色與其他顏色的切換費(fèi)用為9.5；其他顏色只要求能不切換盡量不切換，并沒有指出其他顏色間的切換費(fèi)用有明顯區(qū)別，且間接告知其他顏色間切換費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于黑色與其他顏色間的切換費(fèi)用，因此設(shè)其他顏色間的切換費(fèi)用均為0.5。9.5和0.5并不是顏色切換的真實(shí)費(fèi)用，只是表示黑色與其他顏色間切換費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他顏色間的切換費(fèi)用。

2.2 裝配成本分析

裝配成本主要考慮總裝線上對顏色的要求。采用化繁為簡及分類概括的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)總裝線上對顏色要求把汽車分為7類：1.按“白藍(lán)白”的順序排列的汽車，記為L類車；2.剩余的白色車看成一類，記為白車；3.因?yàn)辄S色車和紅色車滿足條件相同，記為S類車；4.銀色和灰色車滿足條件相同，記為R類車；5.其他同種顏色車看成一類，分別記為黑車、棕車、金車。即把9種顏色的汽車分為7類：L類、S類、R類、白車、黑車、棕車、金車。再利用抽象化具體、含糊化明朗的化歸數(shù)學(xué)方法，把總裝線上對顏色要求滿足的強(qiáng)烈程度分為“必須”“可以”“無法滿足亦可以”“禁止”四個(gè)等級。經(jīng)分析知，按照“必須”等級的排序是裝配成本最少的排序，按照“禁止”等級進(jìn)行排序，裝配成本高的無法承受，因此，顏色要求滿足的程度越弱，裝配成本會越高。為了簡化計(jì)算，按照“必須”“可以”“無法滿足亦可以”“禁止”四個(gè)等級，假設(shè)裝配成本分別為0、0.5、2.5、98.5。此處裝配成本不是實(shí)際的裝配成本，是根據(jù)解決問題的需要，利用數(shù)學(xué)方法做的合理假設(shè)。

2.3 生產(chǎn)成本分析

生產(chǎn)成本主要受顏色切換費(fèi)用和裝配成本影響，因此，降低生產(chǎn)成本轉(zhuǎn)化為降低顏色切換費(fèi)用與裝配成本之和。根據(jù)TSP數(shù)學(xué)模型[5]，可以把生產(chǎn)成本最低問題轉(zhuǎn)化為7類車之間的旅行商(TSP)問題。具體轉(zhuǎn)化方法為：把7類汽車看作7個(gè)城市，每兩個(gè)城市間的距離[6]定義為這兩類車相鄰時(shí)所需顏色切換費(fèi)用與裝配成本之和，求出游歷這7個(gè)城市一遍所走的最短距離及游歷路線，則游歷路線就是7類車的最優(yōu)裝配順序。然后，再對必須間隔排列的顏色根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃中的數(shù)據(jù)進(jìn)行間隔排列，制定出滿足裝配要求且生產(chǎn)成本最低的裝配順序。

3 模型建立

3.1 定義各類車間的距離

根據(jù)問題分析中的顏色切換費(fèi)用和裝配成本假設(shè)，定義各類汽車間的距離：1.黑車與其他顏色之間切換成本較高，定義黑車與其他類車間距離為10；2.白色汽車可以連續(xù)排列，也可以和藍(lán)或棕車間隔排列，定義白車與棕車間距離為1，與L類車間距離為0.5；3.定義L類車與其他類車間距離同白車與其他類車間距離；4.S類車必須與R類、棕車、金車間隔排列，定義S類車與R類、棕車、金車間距離為0.5；5.定義R類車與金車間距離為3；6.定義金車與棕車間距離為3；7.同類車間距離為0，其他類車間距離為99。7類車間的距離如表2所示。

表2 各類車間距離

3.2 建立模型

旅行商(TSP)問題是指一名推銷員準(zhǔn)備前往若干城市推銷產(chǎn)品，然后回到他的出發(fā)地。為他設(shè)計(jì)一條最短的旅行路線(從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)城市恰好一次，最后返回駐地)。用圖論的術(shù)語說，就是在一個(gè)賦權(quán)完全圖中，找出一個(gè)有最小權(quán)的Hamilton 圈[7]。

設(shè)ωij是城市i與城市j間的距離(i類車與j類車間的距離，i=1,2,…,7；j=1,2,…,7，分別表示黑、白、L、金、棕、S和R類車)。引入0-1變量，設(shè)

建立數(shù)學(xué)模型如下，

4 模型求解

用lingo軟件求解，編寫程序代碼如下：

SETS:

CITY / 1.. 7/: U;

LINK(CITY,CITY):D,X;

ENDSETS

DATA: !對7個(gè)城市間距離逐一賦值;

d=0 10 10 10 10 10 10

10 0 0.5 99 1 99 99

10 0.5 0 99 1 99 99

10 99 99 0 3 0.5 3

10 1 1 3 0 0.5 99

10 99 99 0.5 0.5 0 0.5

10 99 99 3 99 0.5 0;

ENDDATA

N=@SIZE(CITY);MIN=@SUM(LINK: d*X);

@FOR(CITY(K):@SUM(CITY(I)| I #NE# K: X(I,K))=1;

@SUM(CITY(J)| J #NE# K: X(K, J))=1;

@FOR(CITY(J)| J #GT# 1 #AND# J #NE# K: U(J) >=U(K) + X (K,J) -

(N - 2) * (1 - X(K, J)) +(N - 3) * X(J,K)));

@FOR(LINK: @BIN(X));

@FOR(CITY(K)| K #GT# 1:U(K) <=N - 1 - (N - 2) * X(1,K);

U(K) >=1 + (N - 2) * X(K,1));

點(diǎn)擊lingo窗口的solve按鈕，得出：x17=x21=x32=x45=x53=x64=x76=1，其他xij=0，i=1,2,…,7；j=1,2,…,7。

5 模型解釋及檢驗(yàn)

由求解結(jié)果知，汽車裝配線上7類車的排序?yàn)椋汉凇鶵→S→金→棕→L→白→黑。根據(jù)顏色要求， S、金兩種顏色汽車必須間隔排列，黑車只能連續(xù)排列，其他類車可以連續(xù)也可以間隔排列。由此設(shè)計(jì)出如下三個(gè)排序步驟。

(1)先連排261輛黑車，按奇數(shù)排C1噴涂線，偶數(shù)排C2噴涂線。

(2)排R類、S類和金車，因?yàn)镾類車、金車必須間隔排列，所以優(yōu)先滿足金車與S類車。S類車共有14輛，需要14輛金與R類車間隔。其中金車2輛，R類車22輛，所以剩下的10輛R類車連排，具體順序?yàn)椋?0輛灰連排→1黃→1灰→2黃→1銀→3黃→2銀→4黃→3銀→5黃→4銀→1紅→5銀→2紅→6銀→3紅→7銀→4紅→8銀→5紅→9銀→6紅→10銀→7紅→11銀→8紅→1金→9紅→2金。

3.接著排棕車、L類和白車：1棕→1白→2棕→2白→3棕→3白→4棕→4白→5棕→5白→6棕→6白→1藍(lán)→7白→2藍(lán)→8白→3藍(lán)→9白→4藍(lán)→10白→5藍(lán)→140輛白連排。

至此，460輛車全部排完。上面排序完全符合總裝線上對顏色的要求，按照奇數(shù)在C1噴涂線，偶數(shù)在C2噴涂線上的噴涂要求，噴涂線上不同顏色共切換10次：黑色與灰色切換2次；黃色與紅色、黃色與灰色、銀色與灰色、紅色與棕色、銀色與金色、金色與白色、棕色與藍(lán)色、藍(lán)色與白色各切換1次。這是在滿足總裝線上對顏色復(fù)雜要求的條件下，噴涂線上黑色與其他顏色及其他顏色間切換次數(shù)最少，使得生產(chǎn)成本最低的裝配順序。

6 模型推廣及應(yīng)用

6.1 優(yōu)化每日汽車裝配順序

模型不僅能方便優(yōu)化專業(yè)實(shí)例中企業(yè)2019年9月17日的汽車裝配順序，還可以優(yōu)化每日的汽車裝配順序。如果噴涂線和總裝線上對顏色要求不改變，只有顧客對各種不同顏色的汽車需求數(shù)量和企業(yè)的裝配數(shù)量發(fā)生變化。這些數(shù)據(jù)的變化不會影響模型解釋中7類汽車按照黑→R→S→金→棕→L→白→黑的排序，對所有車輛排序時(shí)只需在模型解釋及檢驗(yàn)環(huán)節(jié)的三個(gè)排序步驟中手動調(diào)整個(gè)別數(shù)據(jù)即可完成汽車企業(yè)每天汽車裝配順序的制定。如果噴涂線和總裝線上對顏色要求發(fā)生改變，只需按照顏色要求重新劃分汽車類別并定義各類車間的距離，然后更新模型求解中距離數(shù)據(jù)，求出各類車的最優(yōu)排序，再按照模型解釋中的步驟便可完新成新要求下的汽車裝配順序優(yōu)化。

6.2 優(yōu)化路線

2020年初，武漢市新冠肺炎爆發(fā)，醫(yī)療物資和生活物資嚴(yán)重短缺，配送車輛和工作人員也嚴(yán)重不足。如何把醫(yī)療物資從倉庫以最快的速度依次運(yùn)往各大醫(yī)院，再回到倉庫開始新一輪的運(yùn)送，醫(yī)療物資配送路線有數(shù)十種選擇，因此配送路線優(yōu)化至關(guān)重要。使用該建模方法，根據(jù)配送醫(yī)院構(gòu)成的交通網(wǎng)絡(luò)圖，定義兩兩醫(yī)院間的距離為走過兩醫(yī)院所花的最短時(shí)間，再建立TSP模型可以解決急需醫(yī)療物資的配送路線優(yōu)化問題，為武漢市抗擊疫情提供強(qiáng)有力的支撐。隨著疫情進(jìn)一步蔓延，武漢市實(shí)施了社區(qū)防控，市民生活物資配送成了社區(qū)工作的重要內(nèi)容，社區(qū)工作人員如何以最快的速度完成市民生活物資的配送呢？該建模方法同樣可以完成封控社區(qū)市民生活物資配送路線優(yōu)化。當(dāng)然，模型還可以解決景區(qū)游覽路線優(yōu)化、快遞配送路線優(yōu)化等問題。

7 模型評價(jià)

7.1 模型適用范圍

生產(chǎn)成本只考慮噴涂線上顏色切換費(fèi)用和總裝線上裝配成本，沒有考慮其他不受顏色要求影響的成本。顏色切換費(fèi)用是根據(jù)噴涂線上對顏色切換次數(shù)的要求假設(shè)的，是抽象的數(shù)據(jù)，不是實(shí)際的顏色切換費(fèi)用；裝配成本假設(shè)也不是實(shí)際的裝配成本，是按顏色要求滿足等級而假設(shè)的。因此，本模型適合生產(chǎn)成本受顏色影響且無需計(jì)算出實(shí)際生產(chǎn)成本的汽車裝配順序優(yōu)化問題，如果生產(chǎn)成本還受其他因素如型號、配置、動力等影響，需要改進(jìn)模型。

7.2 模型優(yōu)點(diǎn)

(1)采用分類法和抽象概括的數(shù)學(xué)思想方法把總裝線上對顏色要求滿足條件相同的車看為一類車，從而把460輛9種顏色汽車分為7類，把460輛車的排序問題簡化為7類車的排序問題，起到了化難為易、化繁為簡、突破難點(diǎn)的作用。

(2)采用化歸和假設(shè)的數(shù)學(xué)方法把噴涂線與總裝線對顏色要求的復(fù)雜限制條件分別與顏色切換費(fèi)用和裝配成本聯(lián)系起來，分別對顏色切換費(fèi)用和裝配成本做了合理的數(shù)學(xué)假設(shè)，進(jìn)而定義相鄰兩類車間的距離為這兩類車相鄰時(shí)的生產(chǎn)成本，從而轉(zhuǎn)化為熟知的TSP問題，這種巧妙的轉(zhuǎn)化是文章建模方法的亮點(diǎn)。

(3)整個(gè)建模過程多次使用“化整為零、積零為整、化繁為簡、化難為易”的數(shù)學(xué)建模思想方法，采取了各個(gè)擊破、突破難點(diǎn)的建模策略，利于高職學(xué)生理解掌握，且便于推廣應(yīng)用。

8 結(jié)語

本文結(jié)合高職汽車類專業(yè)課程中的汽車裝配順序優(yōu)化問題，采用“化整為零、積零為整、化繁為簡、化難為易”的數(shù)學(xué)思想和分類概括、分析、化歸等數(shù)學(xué)方法，把460輛待排序裝配車輛簡化為7類車排序，并根據(jù)裝配線上對顏色排序的復(fù)雜要求定義7類車間的距離為兩兩相鄰排序時(shí)的生產(chǎn)成本，從而把難點(diǎn)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的TSP數(shù)學(xué)模型。把該研究應(yīng)用到汽車類專業(yè)數(shù)學(xué)建模教學(xué)和專業(yè)實(shí)踐中，不但利于學(xué)生掌握汽車裝配順序優(yōu)化這一基本專業(yè)技能，還利于學(xué)生學(xué)會如何從紛繁復(fù)雜的、看起來毫無關(guān)系的問題中抽絲剝繭，分析它們之間的聯(lián)系，再利用數(shù)學(xué)建模思想方法和數(shù)學(xué)知識解決專業(yè)實(shí)際問題。這對學(xué)生分析問題、解決問題及創(chuàng)新能力的提升有很大幫助，也能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模在學(xué)習(xí)、生活及日后工作中的廣泛應(yīng)用。