淺談元素結(jié)構(gòu)法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

劉彥芳

摘 要：數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，華羅庚說過：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不做題目，等于入寶山而空返。首先，解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容；其次，解題是撐握數(shù)學(xué)，學(xué)會數(shù)學(xué)思維的基本途徑；最后，解題是評價(jià)學(xué)習(xí)的重要方式。而元素結(jié)構(gòu)法在數(shù)學(xué)解題中起著舉足輕重的作用，它將會改變大多數(shù)人在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的一種固有思維模式，即例題+模仿+實(shí)際練習(xí)的模式，從而使數(shù)學(xué)問題得以解決。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；元素結(jié)構(gòu)法；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)模型

一、元素結(jié)構(gòu)法的意義及地位

數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著巨大的作用。它是對人智力和思維的一種挑戰(zhàn)，是對沒有現(xiàn)成直接方法的探索，簡言之就是找出題解的活動。數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用很廣，小至學(xué)生算出數(shù)學(xué)習(xí)題的答案，大至一個(gè)數(shù)學(xué)課題的結(jié)論。并且在新課程背景下的解題應(yīng)改變過去那種只注重結(jié)果，強(qiáng)調(diào)結(jié)果的確定性的模式，轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅亟忸}過程中解題者尋找問題答案的過程，而這正好是元素結(jié)構(gòu)法所說的尋找元素建立結(jié)構(gòu)的過程。

數(shù)學(xué)解題中我們經(jīng)常聽到有許多方法，如圖示法、列舉法、構(gòu)造法等。但這些方法都只能解決某些特殊類型的題目，而元素結(jié)構(gòu)法則適用于任意數(shù)學(xué)問題的解決，因?yàn)樗沁\(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想來直接分析和解決數(shù)學(xué)問題。并且解題過程中的每一步都蘊(yùn)含著一定的科學(xué)原理，因此解題者只要牢牢抓住這些原理，就不會有解不出來的數(shù)學(xué)問題。

元素結(jié)構(gòu)法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用一般的、直接的思維方式，通過分析具體的命題，尋求其中的元素，在元素與元素之間建立一定的結(jié)構(gòu)。由于數(shù)學(xué)是理性學(xué)科，其中數(shù)學(xué)解題中的每一步都有一定的數(shù)學(xué)依據(jù)，因此在解數(shù)學(xué)題時(shí)只要根據(jù)題目中的元素結(jié)構(gòu)特征，利用各種知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和形式上的某種相似性，通過已知元素和未知元素之間建立一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型，從而使問題得以解決。這種方法適合任意階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其在中小學(xué)時(shí)期最為重要，這是因?yàn)樗峭ㄟ^直接思維的方式交給解題者如何分析題意進(jìn)行解題，這樣可以增加學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生的創(chuàng)造思維，它在數(shù)學(xué)解題中的作用不亞于歐幾里德公理在幾何中的作用。

二、元素結(jié)構(gòu)法的舉例應(yīng)用

例1.三個(gè)相鄰的偶數(shù)之積是四位數(shù)，其末位是8，求這三個(gè)偶數(shù)？

分析：已知元素是三個(gè)相鄰偶數(shù)的乘積是四位數(shù)，該四位數(shù)的末位是8，未知元素是這三個(gè)相鄰偶數(shù)。

因而解題者可以用直覺思維估計(jì)一下這三個(gè)數(shù)的大致范圍，再根據(jù)已知條件分析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而求出這三個(gè)偶數(shù)。

解：由于三個(gè)相鄰的偶數(shù)之積是四位數(shù)，而10×10×10=1000，22×22×22=10648，因此可以大致知道這三個(gè)數(shù)在10到22之間，即可能的取值是10、12、14、16、18、20、22，同時(shí)由于這四位數(shù)（三個(gè)偶數(shù)的積）的末位數(shù)是8，而10到22間的這幾個(gè)數(shù)中只有2、4、6的乘積為8，從而命題得解，這三個(gè)偶數(shù)分別是12、14、16。

例2.姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘40米，走了80米后姐姐去追弟弟。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶著一條狗每分鐘跑150米，小狗追上弟弟后又去找姐姐，碰到姐姐后又去找弟弟。這樣來回地跑，直到姐弟倆相遇，小狗才停下來，問小狗共跑了多少米？

分析：本題由于來來往往牽連的元素較多，因此在元素結(jié)構(gòu)的構(gòu)建過程中須進(jìn)行選擇性提取，顯然這是一道關(guān)于追及問題與一般路程的結(jié)合問題。

由于已知元素有弟弟、姐姐與小狗三者的速度；姐弟倆出發(fā)時(shí)間差，即80÷40=2（分鐘）；小狗所走的路程情況。未知元素是小狗在停下來時(shí)共走的路程，而路程=速度×?xí)r間。

解：根據(jù)題意可知，姐弟倆出發(fā)時(shí)間差，即80÷40=2（分鐘）；

姐弟倆的速度差=60-40=20米/分；

姐姐追上弟弟的時(shí)間為80÷20=4（分鐘）；

因此小狗跑的路程為150米/分×4分=600（米）。

至此，該問題通過4次應(yīng)用元素間結(jié)構(gòu)構(gòu)建，使命題得以解決。

三、元素結(jié)構(gòu)法的不足及改進(jìn)

元素結(jié)構(gòu)法是數(shù)學(xué)解題過程中分析題意的有力工具，無論任何復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，只要系統(tǒng)到每個(gè)元素，就必然能在兩個(gè)或兩個(gè)以上元素之間尋求聯(lián)系，建立相應(yīng)的結(jié)構(gòu)模型，從而使問題明顯化，簡單化，最終通過元素結(jié)構(gòu)法使問題得以解決。但是任何事物都具有兩面性，因而元素結(jié)構(gòu)法也存在著不足之處，這主要是由于現(xiàn)代解題模式受到程式化解題模式的影響，使解題者只知道模仿，而不去仔細(xì)分析問題，甚至不知道如何從題目中找出已知條件和未知條件之間的關(guān)聯(lián)，即不知道如何應(yīng)用元素結(jié)構(gòu)法分析和解決數(shù)學(xué)問題。面對這種情況，我們應(yīng)該從小就養(yǎng)成應(yīng)用元素結(jié)構(gòu)法解決數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，這就要求我們的老師尤其是在中小學(xué)階段要注重引導(dǎo)，教會他們?nèi)绾螒?yīng)用元素結(jié)構(gòu)法分析和解決問題。只有這樣，才能使元素結(jié)構(gòu)法真正用于數(shù)學(xué)解題，真正培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立自主和創(chuàng)造性思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]何小亞.解決數(shù)學(xué)問題的心理過程分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004（3）.

編輯 王 敏