連續(xù)化簡 多角度解決問題
——一道試題的講評(píng)歷程

江西省萍鄉(xiāng)中學(xué) (337000) 賀 江

一、問題的提出

高一年級(jí)《解三角形》教學(xué)之后，有如下一道解三角形試題：

本題主要考查正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用以及三角函數(shù)恒等變形能力.學(xué)生感覺本題難度較大，得分率極低.班級(jí)40位學(xué)生只有6位同學(xué)選對(duì)，其中只有3位同學(xué)能正確地說出解題思路及過程，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于教師的預(yù)期.筆者思考，學(xué)生解題過程可能存在一些誤區(qū)，基于這個(gè)想法，筆者課前對(duì)學(xué)生的解題思維過程進(jìn)行了調(diào)查，要求做對(duì)的幾位學(xué)生寫出他們的詳細(xì)解題過程，未做對(duì)的幾個(gè)學(xué)生也事先了解了他們的一些解題思路及困惑，了解思維受阻的原因.

解法1:原等式用誘導(dǎo)公式變形可得(a+c)sinA-bsinB=0(1).相當(dāng)一部分同學(xué)由正弦定理“邊化角”得sinA·sinC=sin2B-sin2A(2).

大部分同學(xué)做到此式就進(jìn)行不下去了.

感悟:至此，問題已經(jīng)解決，但是無疑此解法難度較大，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說不能推廣這個(gè)解法，這個(gè)當(dāng)然也不是最理想的解法，必須要從另外的角度來分析.

二、另辟蹊徑，一題多解

老師展示完上述解法，提醒學(xué)生對(duì)于(1)式，除了由正弦定理“邊化角”之外，還有什么想法？

學(xué)生1：還可以根據(jù)正弦定理“角化邊”為下式a2+ac-b2=0(4).

教師：(4)式可以聯(lián)想到什么？

學(xué)生2：對(duì)(4)式的處理很容易聯(lián)想到余弦定理，把“a2-b2”或“ac”與余弦定理中的“cosB”聯(lián)系起來.

幾分鐘后.學(xué)生2給出以下解法：

教師：解題的思考過程是一個(gè)連續(xù)化簡的過程，即在充分研究和運(yùn)用題目本身的特征提供的信息，聯(lián)系已學(xué)知識(shí)，在完全合邏輯的前提下進(jìn)行連續(xù)化簡，一直到所得新題成為一項(xiàng)基礎(chǔ)知識(shí)為止的過程.此解法正是聯(lián)想到(4)式中式子的特征和余弦定理的關(guān)系進(jìn)行連續(xù)合理的化簡.

學(xué)生3：對(duì)(4)式的處理還可以聯(lián)想到“a2-b2”與余弦定理“cosA”的關(guān)系.

學(xué)生4：直接利用余弦定理的另外一種形式，解法2和解法3都可以進(jìn)行簡化.

解法4:由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,代入(4)式整理得ac=c2-2accosB,即a=c-2acosB(5).由正弦定理上式為sinA=sinC-2sinAcosB=sin(A+B)-2sinAcosB=sinBcosA-cosBsinA=sin(B-A).以下同解法1.

解法5：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,代入(4)式得ac=2bcosA-c2,即a=2bcosA-c(6).以下同解法3.

教師：(5)式和(6)式可以聯(lián)想到銳角三角形中的什么定理？

學(xué)生5：由(5)式和(6)式可以聯(lián)想到銳角三角形中的射影定理.

解法6：由銳角三角形中的射影定理得c=acosB+bcosA.結(jié)合由(5)式或(6)式，化簡即a=bcosA-acosB.由正弦定理可化為sinA=sinBcosA-sinAcosB=sin(B-A).以下同解法1.

感悟:數(shù)學(xué)教師在實(shí)施課堂教學(xué)的過程中，要讓學(xué)生能夠把自己所學(xué)的所積累的解題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)并加工，并讓它保存在自己的記憶當(dāng)中，當(dāng)遇到一個(gè)新的問題時(shí)，能夠辨識(shí)它是屬于哪一類基本問題，聯(lián)想到這個(gè)已經(jīng)解決的問題，以此為索引，在腦子里提取出解決這個(gè)問題的方法，為學(xué)生構(gòu)建一條“從具體到抽象，從個(gè)別到一般，由此及彼”的思維通道，這一策略體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化歸”的重要的數(shù)學(xué)思想方法.