兩次“放縮”法求最值

福建省莆田市莆田第十二中學(xué) (351139) 蔡志林

在運用基本不等式求最值時，一般是利用不等式的同向放縮達到解題目的，而有些問題還需要兩次甚至多次的放縮.下面舉例介紹此類問題的幾個典例，供參考．

一、分步放縮

點評：本題雖然用了兩次不等式，但由于等號成立的條件是一樣的且縮小的方向一致，故而并不影響最小值的確定，如果等號成立的條件不一樣或方向不一致，則得出的結(jié)果肯定是錯誤的，須引起重視．

二、連續(xù)放縮

例2 已知log2a+log2b≥1，則3a+9b的最小值是．

點評：本題中給出了一個不等式的條件，將欲求式向已知條件轉(zhuǎn)化是基本的思路，通過兩次使用基本不等式達到了解題目的，而三個取等號的條件都可以達到是正確解題的關(guān)鍵．

三、分段放縮

例3 若不等式x2+2+|x2-2x|≥ax對x∈(0,4)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

點評：由于題中含有絕對值符號，增加了問題的難度，但只有抓住這一點，即|x2-2|≥0，才能簡化問題求解的過程，解題過程中注意放縮時取等號的一致性非常重要.

四、分別求最值

點評：本題中雖然求最小值時不是用同一種方法，但不等式方向和取等號的條件是一致的，故這樣的解題方法和所求的結(jié)果都是正確的．

五、分條件求最值

點評：本題中也采用了兩次“縮小”，但在特定的條件下，兩個不等式中的等號可同時成立，這樣求出的最值正確有效的，此處尋找等號成立的條件十分必要．

六、利用放縮時的等號求值

點評：本題通過不等式的連續(xù)放縮，根據(jù)各個不等式成立的條件，得到了隱含著的等量關(guān)系，使求值問題得到圓滿解決.