例析處理恒成立與有解問題的若干策略

福建省莆田第二中學 (351131) 謝新華

在方程或不等式中，常遇到恒成立與有解問題，在恒成立或有解條件下求參數(shù)的取值范圍問題．此類問題滲透著換元、化歸與轉化、分類與整合、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法.其解題的基本思路是：根據已知條件將問題向基本類型轉化，正確選用分離參數(shù)法、函數(shù)圖像與性質法、數(shù)形結合法等解題方法求解．本文通過幾個典型題目解析供參考.

例1 不等式x2+ax+2a+5>0在x∈R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析:依題意由Δ=a2-4(2a+5)<0得-2

評析:本題化歸為二次函數(shù)型問題，結合拋物線圖像特征求解.一般地，設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，則f(x)>0在x∈R上恒成立?a=b=0,c>0或a>0且Δ<0；f(x)<0在x∈R上恒成立?a=b=0,c<0或a<0,Δ<0.

例2 不等式x2+ax+2a+5>0在x∈(-2,+∞)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析2通過分離參數(shù)法，將問題轉化為a>g(x)恒成立，再運用基本不等式求函數(shù)的最值，使問題獲解.一般地，若不等式A>f(x)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上有A>fmax(x)成立；若不等式B>f(x)在區(qū)間D上有解，則等價于在區(qū)間D上有B>fmin(x)成立.

例3 不等式x2+ax+2a+5>0在a∈(-6,-2)上恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

(1)?x∈[1,2]，都有f(x)>g(x)，求實數(shù)a的取值范圍.

(2)?x1∈[1,2],?x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍.

當0

當1

評析:第(1)問等價轉化為函數(shù)f(x)-g(x)>0恒成立，接著通過分離參數(shù)法，將問題轉化為a<φ(x)恒成立，再運用導數(shù)法求函數(shù)的最值，使問題獲解.第(2)問對不同變量對應的兩個函數(shù)f(x)和g(x)分別求最值，即只需滿足fmin(x)>gmin(x)即可獲解．

(1)若?x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若?x1∈(2,+∞),?x2∈(2,+∞),使得f(x1)=g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍.

評析:一般地，?x∈D,使得f(x)=m，等價于m的取值范圍是函數(shù)f(x)在D上的值域；對?x1∈D1，?x2∈D2,使得f(x1)=g(x2)，等價于函數(shù)f(x)在D1上的值域A是函數(shù)g(x)在D2上的值域B的子集，即A?B.

因為g(x)=ax-2a+2(a>0)在[3,4]為增函數(shù)，則g(3)≤g(x)≤g(4)，即a+2≤g(x)≤2a+2，即g(x)的值域為B=[a+2,2a+2].

評析:一般地，?x1∈D1，?x2∈D2,使得f(x1)=g(x2)，等價于函數(shù)f(x)在D1上的值域A與函數(shù)g(x)在在D2上的值域B的交集非空，即A∩B≠?.