如何求解圓中的最值問題

福建省福安市第一中學(xué) (355000) 張 忠

圓是最為理想化的平面幾何圖形，與圓有關(guān)的最值問題，可抓住圓的幾何特征，利用圓心和半徑協(xié)助解決，也可以運(yùn)用代數(shù)中求最值的方法解決，下面舉例分析.

一、利用圓的性質(zhì)

例1 已知M是圓(x-2)2+(y-1)2=1上的任一點(diǎn)，N是圓(x+1)2+(y+2)2=9上的任一點(diǎn)，求線段|MN|的最小值和最大值.

解析：由題意，M與N都是動點(diǎn)，但兩圓的位置是固定的，即兩圓的連心的長是定值，又圓的半徑是定值，所以線段|MN|的最小值即為兩圓的連心的長減去兩半徑的長；最小值即為兩圓的連心的長加上兩半徑的長.

評注：欲求線段|MN|的最值，由于M與N都是動點(diǎn)，必須找到兩點(diǎn)的極限位置，根據(jù)圓的幾何特征可知，動點(diǎn)M、N與兩圓心在一直線上才能滿足題意.

例2 已知P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn)，PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB的面積最小值為.

評注：由四邊形的面積最小問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最小問題，又進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.

二、運(yùn)用二次函數(shù)

例3 求經(jīng)過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程.

評注：運(yùn)用圓系方程就可避免二元二次方程組的求解.本題還可以通過分析圓的性質(zhì)，即以公共弦為直徑的圓面積最小，故而所求圓的圓心在弦所在的直線上，將圓心坐標(biāo)代入直線方程可求出λ解題.

圖1

評注：解題中，通過設(shè)圓心O到直線l的距離為d，用d表示△ABO的面積S，考察此式的特點(diǎn)，構(gòu)造二次函數(shù)求得最大值.

三、運(yùn)用基本不等式

圖2

評注：本題中，理解“直線平分圓的周長“十分重要，是能否解題的關(guān)鍵，同樣，“直線平分圓的面積、弦所對的圓心角為120°”等條件需要從圓的幾何性質(zhì)去思考.