Bokov不等式的高維推廣與加強(qiáng)

江蘇省盱眙中學(xué) (211700) 王 堯

1.引言

1966年E.A.Bokov給出了如下的不等式:

我們把上式稱為Bokov不等式.

事實(shí)上，在頂點(diǎn)集為{A1,A2,A3,A4}的四面體Ω中，設(shè)hi為頂點(diǎn)Ai(1≤i≤4)所對(duì)面上的高，r為內(nèi)切球半徑,不難得出

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)四面體Ω為正四面體.

本文主要是將上述不等式推廣到n維歐氏空間Rn中去，并對(duì)不等式作系數(shù)上的新的推廣，同時(shí)再給出它們的加強(qiáng)形式.

2.預(yù)備知識(shí)

定義[4]設(shè)Ω為n維歐氏空間Rn中的單形，其頂點(diǎn)集為A={A1,A2,…,An+1}，設(shè)P為n維歐氏空間Rn中的單形Ω所在空間中的任意一點(diǎn)，d1為點(diǎn)P到Ω的頂點(diǎn)Ai所對(duì)的界面的有向距離，又Ai所對(duì)界面上的高為hi(1≤i≤n+1)，則點(diǎn)P的重心坐標(biāo)為

3.主要結(jié)果及其證明

由Cauchy不等式[2]可得

推論1 在定理1的條件下，分別取n=2,n=3時(shí),有

由拉格朗日恒等式[4]可得

推論2 在定理2的條件下，取λ=n,α=1,即為定理1結(jié)論.

再由Jensen不等式[3]，則有