基于動(dòng)邊界微積分關(guān)系再論任意運(yùn)動(dòng)控制體的雷諾輸運(yùn)方程推導(dǎo)

劉沛清

(北京航空航天大學(xué)陸士嘉實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

1 動(dòng)邊界微積分關(guān)系

對(duì)于一維函數(shù)f(x,t)，在動(dòng)邊界下的微積分關(guān)系為

式(1)稱為萊布尼茨公式。其中，a(t)和b(t)分別為邊界值，是時(shí)間的函數(shù)。式(1)等號(hào)左邊表示積分函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；右邊第一項(xiàng)積分為被積函數(shù)對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)的積分；第二項(xiàng)為上游邊界運(yùn)動(dòng)引起的，其中db(t)/dt=Vu相當(dāng)于上游邊界速度；第三項(xiàng)為下游邊界運(yùn)動(dòng)引起的，其中da(t)/dt=Vd相當(dāng)于下游邊界速度；這第二項(xiàng)和第三項(xiàng)之和為動(dòng)邊界效應(yīng)。則式(1)也可以寫為

如果a(t)=a，b(t)=b，邊界固定不動(dòng)，則式(1)變?yōu)楣潭ㄟ吔绶e分與微分關(guān)系，即

根據(jù)式(1)可以推廣到三維情況。假設(shè)相對(duì)于坐標(biāo)系靜止不動(dòng)的控制體體積為τC，控制體的邊界面為SC，在控制體內(nèi)被積函數(shù)為f(x,y,z,t)。則由式(3)得到在固定邊界面的靜止控制體內(nèi)被積函數(shù)微積分關(guān)系為

式中δτ為體積微元。設(shè)對(duì)相對(duì)于坐標(biāo)系任意運(yùn)動(dòng)的控制體體積為τV，其運(yùn)動(dòng)邊界面SV上的速度為Vb。如果在t時(shí)刻體積τV=τC，邊界面SV=SC，控制體邊界面上的運(yùn)動(dòng)速度為Vb，如圖1 所示。則由式(2)推廣到三維情況，此時(shí)可獲得具有運(yùn)動(dòng)邊界面的被積函數(shù)微積分關(guān)系為

式中δA為邊界面積微元，Vb為邊界面的移動(dòng)速度矢量。式(5)等號(hào)左邊表示積分函數(shù)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)；右邊第一項(xiàng)為被積函數(shù)在靜止控制體內(nèi)對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)積分(靜邊界積分)；第二項(xiàng)為控制體邊界面運(yùn)動(dòng)引起的凈增量(動(dòng)邊界效應(yīng))。

如果Vb= 0 (邊界面固定不動(dòng))，則式(5)的動(dòng)邊界微積分變?yōu)殪o邊界微積分式(4)。

圖1 動(dòng)靜邊界控制體

2 流體系統(tǒng)通過靜止控制體積分的隨體導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系

流體系統(tǒng)由流體質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)組成，系統(tǒng)的邊界隨流體運(yùn)動(dòng)，流體系統(tǒng)與系統(tǒng)外界沒有質(zhì)量交換，但可有動(dòng)量和能量的交換?？刂企w相對(duì)于坐標(biāo)系不變的為靜止控制體，相對(duì)于坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的為運(yùn)動(dòng)控制體。流體系統(tǒng)與控制體的關(guān)系是：流體系統(tǒng)可以通過控制面流進(jìn)和流出控制體而發(fā)生質(zhì)量、動(dòng)量和能量交換。設(shè)在t時(shí)刻取與靜止控制體重合的流體系統(tǒng)體積為τf，流體系統(tǒng)的邊界面為Sf，則τf=τC，Sf=SC，通過靜止控制體邊界面SC上的流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為ub。在t+?t時(shí)刻，該流體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到新的位置，如圖2 所示。則流體系統(tǒng)的微積分關(guān)系(相當(dāng)于流體系統(tǒng)通過靜止控制的微積分關(guān)系)為

式中，左邊的微分是流體系統(tǒng)積分的隨體導(dǎo)數(shù)(跟隨流體運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)積分導(dǎo)數(shù))，右邊第一項(xiàng)為被積函數(shù)在靜止控制體內(nèi)對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)積分，第二項(xiàng)為流體系統(tǒng)通過靜止控制體邊界面引起的動(dòng)邊界效應(yīng)。式(6)就是常用的流體系統(tǒng)通過靜止控制體的雷諾輸運(yùn)方程，常見于流體力學(xué)教科書中[1-3]。根據(jù)高斯積分有

由式(6)得到

對(duì)于不可壓縮流體系統(tǒng)，因?yàn)?·u=0，則式(7)變?yōu)?/p>

式(8)表示，對(duì)于不可壓縮流體系統(tǒng)，對(duì)流體系統(tǒng)積分的隨體導(dǎo)數(shù)等于靜止控制體內(nèi)對(duì)被積函數(shù)的隨體導(dǎo)數(shù)積分。

圖2 流體系統(tǒng)通過靜止控制體

3 流體系統(tǒng)通過運(yùn)動(dòng)控制體積分的隨體導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系

假設(shè)控制體相對(duì)于坐標(biāo)系是移動(dòng)的，控制體的邊界面相對(duì)于坐標(biāo)系的移動(dòng)速度為Vb，為了區(qū)別于靜止控制體體積τC，設(shè)運(yùn)動(dòng)控制體的體積為τV，運(yùn)動(dòng)控制體的邊界面為SV。在t時(shí)刻，取流體系統(tǒng)體積與運(yùn)動(dòng)控制體與靜止控制體重合，即τf=τV=τC，Sf=SV=SC，在Sf上的速度為ub，在SV上的速度為Vb。在t+?t時(shí)刻，所取的流體系統(tǒng)、運(yùn)動(dòng)控制體和靜止控制體的相對(duì)位置，如圖3 所示。則由式(5) 得到，對(duì)于運(yùn)動(dòng)控制體的微積分關(guān)系為

由式(6)得到，對(duì)于流體系統(tǒng)的微積分關(guān)系為

如果利用式(10)取代式(9)右邊第一項(xiàng)，則式(9)變?yōu)?/p>

整理后，得到

由式(11)表明：運(yùn)動(dòng)控制體積分的隨體導(dǎo)數(shù)等于流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)減去凈流出運(yùn)動(dòng)控制體的增量。

如果將式(7)代入式(11)，得到

式(12)表明，運(yùn)動(dòng)控制體積分的隨體導(dǎo)數(shù)等于靜止控制體內(nèi)被積函數(shù)的隨體導(dǎo)數(shù)與被積函數(shù)和速度場(chǎng)散度積之和的積分減去凈流出運(yùn)動(dòng)控制體的增量。利用式(11)，也可以寫為

式(13)表明，流體系統(tǒng)積分的隨體導(dǎo)數(shù)等于運(yùn)動(dòng)控制體積分的隨體導(dǎo)數(shù)加上靜流出運(yùn)動(dòng)控制體的增量。

圖3 在t+?t 時(shí)刻的流體系統(tǒng)、運(yùn)動(dòng)控制體、靜止控制體相對(duì)位置

4 討論

(1)如果Vb=0，則運(yùn)動(dòng)控制體積分變?yōu)殪o止控制體積分(τV=τC)，則由式(12)簡(jiǎn)化為

利用高斯積分，有

代入式(14)，得到

(2)如果Vb=ub(τV=τf)，表明運(yùn)動(dòng)控制體隨流體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，與流體系統(tǒng)無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則由式(11)簡(jiǎn)化為流體系統(tǒng)通過靜止控制體積分的隨體導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系，為

利用式(7)，得到

利用高斯積分，有

式(17)即為流體系統(tǒng)通過靜止控制體積分的隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，即雷諾輸運(yùn)方程(6)。

5 關(guān)于動(dòng)量輸運(yùn)方程的基本形式

5.1 流體系統(tǒng)通過靜止控制體的動(dòng)量積分方程

現(xiàn)考慮一個(gè)流體系統(tǒng)，設(shè)在t時(shí)刻流體系統(tǒng)的體積為τf，其與靜止控制體τC重合，在t+?t時(shí)刻該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到新的位置。該流體系統(tǒng)在t的動(dòng)量為

其中，ρ為流體的密度。根據(jù)動(dòng)量定理，流體系統(tǒng)動(dòng)量的隨體導(dǎo)數(shù)等于作用在該系統(tǒng)上所有的外力矢量和[4-7]。即

如果對(duì)微元流體團(tuán)運(yùn)動(dòng)微分方程積分，還可以得到下列的表達(dá)式。由流體微元(物質(zhì)系統(tǒng))的運(yùn)動(dòng)微分方程

在任意流體系統(tǒng)(物質(zhì)系統(tǒng))上積分，得到

由此可見，式(18)與式(19)是等價(jià)的。事實(shí)上，利用連續(xù)方程不難證明。利用質(zhì)量守恒定理，有

得到

由此說明，式(18)和式(19)是等價(jià)的。

同樣，利用式(6)，式(18)可以寫為

利用連續(xù)方程

利用式(6)，流體系統(tǒng)通過靜止控制體動(dòng)量積分的隨體導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

利用高斯積分，得到

代入式(22)得到

利用連續(xù)方程，得到

5.2 流體系統(tǒng)通過運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量積分方程

利用式(12)，式(18)可寫為

式(23)表明：流體系統(tǒng)通過運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量積分隨體導(dǎo)數(shù)等于流體系統(tǒng)的動(dòng)量積分隨體導(dǎo)數(shù)減去凈流出運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量增量。

利用式(12)，式(23)可寫為

式(23)也可寫為

式(25)表明：流體系統(tǒng)動(dòng)量積分的隨體導(dǎo)數(shù)等于流體系統(tǒng)通過運(yùn)動(dòng)控制體動(dòng)量積分的隨體導(dǎo)數(shù)加上凈流出運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量增量。

6 結(jié)束語(yǔ)

從運(yùn)動(dòng)邊界的體積分導(dǎo)數(shù)關(guān)系看，流體系統(tǒng)積分值的隨體導(dǎo)數(shù)，相當(dāng)于一個(gè)邊界以流體速度運(yùn)動(dòng)的體積積分導(dǎo)數(shù)。如果取控制體相對(duì)于坐標(biāo)系是固定不變的積分體積，則稱為靜止控制體，所建立的流體系統(tǒng)通過該靜止控制體的隨體導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系稱為雷諾輸運(yùn)方程。如果取控制體相對(duì)于坐標(biāo)系是以一定速度運(yùn)動(dòng)的積分體積，則稱為運(yùn)動(dòng)控制體，所建立的流體系統(tǒng)的積分隨體導(dǎo)數(shù)可轉(zhuǎn)化為流體系統(tǒng)通過運(yùn)動(dòng)控制體的雷諾輸運(yùn)方程。本文統(tǒng)一按照動(dòng)邊界積分導(dǎo)數(shù)關(guān)系建立了雷諾輸運(yùn)方程，推導(dǎo)過程嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔，物理意義明確，便于更好地理解雷諾輸運(yùn)方程的物理意義。