向心力解釋自行車不倒的原因1)

周克民

(華僑大學(xué)土木工程學(xué)院，廈門361021)

題目

勻速直線騎行自行車，當(dāng)自行車側(cè)向傾斜時，分析人和車從傾斜狀態(tài)恢復(fù)豎直狀態(tài)的動力學(xué)過程及其恢復(fù)過程主要受哪些因素影響。這個問題更通俗的說法就是“騎行的自行車為什么可以不倒？”

解答

自行車曾經(jīng)作為我們的主要交通工具，我們大家基本都會騎行。但是，許多人對自行車的一些基本原理卻不十分清楚，感覺不好理解。經(jīng)過一百多年的研究，許多學(xué)者從不同角度研究了各種因素的影響，其基本原理已經(jīng)有了許多解釋，讀者可以詳見劉延柱的論文[1]。劉延柱從動力學(xué)角度給出了基本動力學(xué)方程. 黃紹書將問題簡化為定點運動[2]。但要讀懂這些推導(dǎo)過程需要一定的力學(xué)基礎(chǔ)。本文以較通俗的形式解釋了其基本原理。希望有大學(xué)物理學(xué)基礎(chǔ)的大學(xué)生也能夠讀懂。

首先給出最通俗的解釋。當(dāng)你被別人在背后猛推一下，你可能會摔倒；如果你的腳快速向前走幾步就不會摔到了。這是因為，身體被外力向前推動的時候，如果腳也跟著同步向前移動，身體形成平動而不是轉(zhuǎn)動就不會摔倒。自行車側(cè)向傾斜時，只要車輪也同時同向移動就不會翻倒。許多人會認為車輪只能向前運動，不能橫向移動，所以大家感覺車會側(cè)向翻倒。實際上，車輪在不滑動的情況下也可以側(cè)向移動。只要車在向前行駛時，車輪偏轉(zhuǎn)一些，車輪就可以不僅向前運動，同時也側(cè)向(相對原來的運動方向) 移動。由于車身整體都側(cè)向移動，而不是轉(zhuǎn)動當(dāng)然就不會翻到了。許多初學(xué)者學(xué)習(xí)了理論力學(xué)或大學(xué)物理課程后，認為車側(cè)向傾斜后重力與支撐力不在同一直線上，有了轉(zhuǎn)動趨勢，應(yīng)該側(cè)向翻倒。他們其實是把系統(tǒng)理解為定軸(點) 運動了，這就錯了。實際上，由于車輪與地面的接觸點是可以移動的，如果其側(cè)向移動速度足夠快，系統(tǒng)甚至可以反向傾倒。有些人騎自行車時總覺得不平衡。其實，這本來就不是一個靜力學(xué)問題，就是不平衡。這是由于大家直接用靜力學(xué)的概念來解釋這個動力學(xué)現(xiàn)象了，所以就無法理解了。

下面給出一個略嚴(yán)格的理論推導(dǎo)。取坐標(biāo)系：騎行方向為x軸，側(cè)向為y軸，豎直方向為z軸。為了便于理解，本文略去次要因素，將問題簡化，做如下一些假設(shè)：

(1) 在運動分析中，車與騎行人為一個剛體稱為系統(tǒng)；

(2) 系統(tǒng)質(zhì)心在騎行方向的速度大小不變；

(3) 系統(tǒng)傾角很小，所以忽略系統(tǒng)重心高度變化。

這些假設(shè)一般對分析結(jié)果影響不大，但是可以顯著簡化推導(dǎo)過程和結(jié)論。根據(jù)假設(shè)(3)，質(zhì)心在同一個水平面內(nèi)運動；根據(jù)假設(shè)(2)，我們可以只在yoz平面內(nèi)進行系統(tǒng)動力分析。系統(tǒng)受力分析如圖1 所示，A點為車輪與地面的接觸點，o為系統(tǒng)的重心，重心的高度為H，自行車傾角為φ。

圖1 受力分析(前視圖)

Ff為摩擦力，F(xiàn)N為支撐力，v為質(zhì)心速度，m為系統(tǒng)質(zhì)量，系統(tǒng)繞過質(zhì)心的x軸回轉(zhuǎn)半徑為ρ，系統(tǒng)質(zhì)心運動的曲率半徑為R（如圖2所示）。對系統(tǒng)建立質(zhì)心運動方程和動量矩方程如下

圖2 運動幾何關(guān)系(俯視圖)

圖1 中的FI就是向心力，用虛線表示，它并沒有直接反映在上述平衡方程中。因為它是虛擬的力，并不真實存在，只是為了能夠用靜力學(xué)直觀理解曲線運動的動力學(xué)現(xiàn)象而虛擬的力。可以解得

顯然，就反映了系統(tǒng)恢復(fù)豎直位置的加速度。車行駛速度v越大，系統(tǒng)恢復(fù)豎直位置越快，反之則慢。當(dāng)速度為零時

不能恢復(fù)豎直位置。就是說，車只有行進中才能恢復(fù)豎直位置。能夠恢復(fù)豎直位置的條件是

由此解得

式(5)還可以進一步簡化。如圖2所示，假設(shè)車把轉(zhuǎn)過的角度為θ(近似表示車輪繞z軸的方向轉(zhuǎn)角)，前后兩個車輪軸距為s。用這個距離近似表示質(zhì)心圓周運動時的弧長。根據(jù)幾何關(guān)系近似有

所以，式(5)成為

這就是說，車速v越快，車把需要轉(zhuǎn)過的角度θ越小，這樣行駛的軌跡就越直。反之則需要“蛇”形行進才能維持不倒。另外，車的傾斜角度φ越大，車回到豎直位置需要的車速v和轉(zhuǎn)角θ就越大。

式(4)可以更直觀地用離心力解釋。圖1中的虛線為離心力FI=mv2/R，就是恢復(fù)力。重力mg是傾倒力。由于離心力不是實際存在的力，圖中用虛線表示，在前面的受力分析中沒有計入。引入離心力的概念后，系統(tǒng)就可以做為靜平衡問題處理了。這時，可以直觀地理解為離心力和重力的力矩平衡，所以就不傾倒了。

還有些學(xué)生可能不理解產(chǎn)生水平摩擦力Ff的原因。如果沒有水平摩擦力，按照質(zhì)心運動定律，質(zhì)心應(yīng)該沿豎直方向下降。這時車輪與地面的接觸點就只能水平方向移動。這個車輪與地面的相對運動趨勢就會產(chǎn)生摩擦力。

下面簡單分析一下本文簡化的合理性。自行車輪半徑按照0.33 m 計算，在直線行駛時軌跡半徑很容易達到這個半徑的20倍。所以車輪繞轉(zhuǎn)軸的動量矩相對于另兩個正交軸的動量矩小很多，所以陀螺效應(yīng)是次要因素。

為了避免側(cè)向滑到，車把轉(zhuǎn)角也不能太大，應(yīng)滿足式(8)。式(7)和式(8)結(jié)合得到

式(9)表示傾斜角不應(yīng)超過摩擦角，否則就會滑倒。式(9)的直觀解釋就是車的全支反力要通過質(zhì)心。

本文用較簡單的方法分析了行進中的自行車在傾倒時恢復(fù)豎直位置過程中的動力學(xué)原理。略去了一些次要因素。作為科學(xué)研究還應(yīng)該做更精確的定量計算，并結(jié)合試驗分析。