劉延柱
(上海交通大學工程力學系,上海200240)
1945年,一位叫詹姆斯的美國工程師偶然發(fā)現(xiàn)一個有趣現(xiàn)象,創(chuàng)造了一個取名slinky的新玩具[1]。剛一出現(xiàn)它就被搶購一空,幾年內售出上億只,成為20世紀美國發(fā)明的著名玩具之一。它的新奇之處是能自動下樓梯,動作十分詭異,曾獲得“機靈鬼”的俏皮譯名。后來涂上鮮艷的彩色,彎成弧形,如同天上的彩虹而有了“彩虹圈”這個更好聽的名稱。
彩虹圈是一個用金屬絲或扁塑料帶制成的軟彈簧(圖1)。它極其柔軟,剛度僅為普通彈簧的百分之一。不受力時所有的螺圈相互接觸,因此只能拉伸不能壓縮。將彈簧折彎,雙手托住彈簧的兩端上下移動時,可以觀察到螺圈向左或向右急速翻滾。將彩虹圈的兩端置于樓梯頂部不同高度的兩級臺階上,放手后其高端會突然躍起,彎曲,下降到低處臺階,然后另一端躍起,不斷重復,直至樓梯的最底部完成下樓動作。
近來發(fā)現(xiàn)了彩虹圈又一個特殊本領。據網絡報導,有人出于好奇將彩虹圈放在跑步機的傳送帶上,驚奇地看到它能不停向前翻筋斗,如同人的左右腿交替邁步似地走動起來(圖2)[2]。報導中說明,做實驗的跑步機后部必須墊高使傳送帶傾斜。彩虹圈在傾斜傳送帶上行走就和下樓有了相似之處,均為從高處往下降。差別在于,水平的臺階平面變成了斜面,固定支承變成了動支承。彩虹圈仿佛在一個無限延長的自行坡道上行走。筆者曾對彩虹圈的自動下樓現(xiàn)象做過解釋[3-4],本文對跑步機上的行走現(xiàn)象再做些分析。
圖1 平面上的彩虹圈
圖2 傾斜傳送帶上的彩虹圈
將彎成弧形的彩虹圈放在傾斜角為β的傳送帶上,可看到接觸面附近的彈簧壓緊形成短圓柱,前方圓柱的高度大于后方,其余部分變形為圓拱狀。以圓弧最高點C處的截面為界,將彩虹圈劃分為前后兩個隔離體。將較短的后半段記作A,前半段記作B(圖2),質量分別為m1和m2,m1< m2。為便于分析,將圓拱部分視為連續(xù)的彈性體。由于彎曲變形,C截面有彎矩產生,將B作用于A的彎矩記作M1,A作用于B的彎矩為M2=?M1。彎矩的模均為kσ,以同一符號M表示。k和σ分別為彩虹圈的抗彎剛度和C截面處中心線的曲率。C截面處軟彈簧的軸向拉力遠小于重力和支承力,為簡化分析予以忽略,其對質心的力矩設已被包含在彎矩項M1和M2之內。
以速度v向后勻速運動的傳送帶作為參考系。先考慮A段,設端部的法向約束力為Fn1,傳送帶運動引起的切向摩擦力為Ft1(圖3)。Fn1在端面上的作用點為P1,端面中心為O1,質心Oc1在端面上的垂足為Q1,定義以下線段
列寫彩虹圈的平衡方程
法向約束力Fn1僅當作用點P1在端部的接觸范圍以內時方可能產生,即a1必須小于端部圓環(huán)的半徑R。從方程組(2)解出a1,得到A段與傳送帶保持接觸的必要條件
對B段作類似分析,將各字符的下標1 換成2。得到類似的約束存在條件,僅第3 項的正號變?yōu)樨撎?,?/p>
如傳送帶水平,即β=0,則A段與B段完全對稱,如圖1。m1和m2均為總質量之半,記作m0,且a1和a2,b1和b2相等,分別記作a0和b0,條件(3)和(4)均簡化為同一條件
如彩虹圈在勻速運動的水平面上能保持平衡,表明此條件已自行滿足。
圖3 彩虹圈A 段和B 段的受力圖
若傳送帶傾斜,β0,則A段與B段不再對稱。就B段而言,將式(4)與式(5)對比,因m2> m0,且增加的第3項為負值,則a2
在上述運動過程中,前方的B段起支承腿作用,后方的A段相當于擺動腿。當A段擺動到前方再次與傳送帶接觸時,彩虹圈就完成一個走步。接著A段和B段互換角色,A段變?yōu)橹С型龋珺段變?yōu)閿[動腿。前后段與傳送帶之間的約束從產生到消失再到產生,不斷周期性循環(huán),彩虹圈就能繼續(xù)不斷地向前跨步。約束狀態(tài)在運動過程中發(fā)生變化的動力學系統(tǒng)稱為變結構系統(tǒng)。能自動下樓和在跑步機上行走的彩虹圈就是典型的變結構系統(tǒng)。
除了會下樓和走步,彩虹圈還有別的一些奇特現(xiàn)象。例如手執(zhí)彩虹圈一端使其向下懸垂。突然松手,彩虹圈不立即下落,而是在空中保持片刻靜止。同時各圈從頂端開始依次向下壓縮彈簧,直至壓縮到最下端后方開始下落。要解釋此現(xiàn)象,可先觀察一下懸垂的彈簧在重力作用下的間距變化(圖4)。最上一圈彈簧因承受彩虹圈的全部重量,有最大的拉力和間距。隨后往下遞減,至最下端彈簧拉力減小到僅與單個環(huán)的重力平衡。在松手的剎那,失去支承力的最上圈被彈簧拉動產生最大加速度,往下加速度依次遞減。以致各圈從頂端開始依次往下壓縮。當壓縮引起的彈簧間距變化傳到最下圈以前,最下圈的初加速度和初速度均為零,仍保持瞬間靜止。壓縮過程中因總質心下移產生的慣性力與重力平衡。待短暫的壓縮過程結束時,彩虹環(huán)方開始整體的自由落體運動。
圖4 懸垂的彩虹圈