(m,n)型二重(r1,r2)左循環(huán)矩陣的行列式和逆矩陣

王浩宇, 蔡 靜

(湖州師范學院 理學院, 浙江 湖州 313000)

0 引 言

循環(huán)矩陣是一類具有優(yōu)良性質(zhì)的特殊矩陣，廣泛應用于電動力學、圖像處理、數(shù)理統(tǒng)計等領域[1-2,8-9].關于循環(huán)矩陣逆矩陣的計算，始見于文獻[2]；1987年鄒自興討論了對稱循環(huán)矩陣的求逆問題[3].此后學者們對各種推廣形式的循環(huán)矩陣進行深入研究，得到了豐富的研究成果[4-6].考慮分塊矩陣，若矩陣在每個塊里循環(huán)，同時塊之間也保持循環(huán)關系，這樣的矩陣被稱為分塊循環(huán)矩陣.分塊循環(huán)矩陣逆的研究始見于文獻[7].由于分塊循環(huán)矩陣擁有更復雜、更特殊的循環(huán)性質(zhì)，引起了較多學者的關注，提出了K-分塊循環(huán)矩陣[10]、R-循環(huán)分塊矩陣[11]等概念，并對這些矩陣逆矩陣的求法、對角化等性質(zhì)進行了探討：1983年，De Mazancourt和Gerlic對塊循環(huán)矩陣的逆進行研究，給出了一種求逆算法[12]；1992年,Zhang等對m階矩陣因子塊循環(huán)矩陣的譜分解、反射廣義逆、塊對角化的計算進行了研究[13]；2001年，Tian探討了矩陣及塊循環(huán)矩陣的廣義逆[14]；2012年,胡艷等考慮(m,n)型二重(r1,r2)右循環(huán)矩陣的逆和廣義逆的計算，利用相似變換和矩陣的Kronecker積，給出了求逆算法和逆矩陣[15].

目前被廣泛研究的各類循環(huán)矩陣的循環(huán)方式多為右循環(huán)，對左循環(huán)矩陣的研究并不多.2014年,Xu等對“RLPrFrL”左循環(huán)矩陣進行探究，給出了涉及斐波那契數(shù)、盧卡斯數(shù)、佩爾數(shù)和佩爾-盧卡斯數(shù)的“RLPrFrL”等循環(huán)矩陣的顯式行列式公式[16]；2017年，師白娟研究了廣義Fibonacci多項式構成的行斜尾加首左循環(huán)矩陣(RSFPLR)的行列式計算方法[17].以上文獻尚未對分塊左循環(huán)矩陣進行研究.本文在文獻[15]的基礎上，探究(m,n)型二重(r1,r2)左循環(huán)矩陣的行列式及其逆矩陣的計算方法,實現(xiàn)該矩陣的合同對角化，并利用合同變換和Vandermonde矩陣得到行列式計算公式和逆矩陣的顯式表達式.

1 預備知識

為r2-左循環(huán)矩陣.

引理2[15]若r2≠0,定義關于βl(l=0,1,…,n-1)的Vandermonde矩陣：

同理，若r1≠0，定義關于αl(l=0,1，…,m-1)的Vandermonde矩陣:

若r2≠0，循環(huán)矩陣乘以n階反單位矩陣Sn可以得到左循環(huán)矩陣.因此有:

(1)

其中，

引理4 若r2≠0，則

證畢.

定義如下矩陣:

參考式(1)得:

φr1i=V(α)·Ui·V-1(α)·Sm,

(2)

類似引理4，有如下結果：

引理5 若r1≠0，則

2 主要結果

下面給出(m,n)型二重(r1,r2)左循環(huán)矩陣的行列式公式和逆矩陣的顯式表達式.

定理1 設A為(m,n)型二重(r1,r2)左循環(huán)矩陣，若r1≠0，r2≠0，有:

(3)

證明利用定義1中矩陣的表達式及引理4、引理5，可到矩陣A的一種分解形式:

定理2 設A為(m,n)型二重(r1,r2)左循環(huán)矩陣，若r1、r2不為0，則有A的另一種分解形式：

(4)

證明由定理2可知：

又由于

定理3 設A為(m,n)型二重(r1,r2)左循環(huán)矩陣，若r1≠0，r2≠0，且對于i=0,1,…，m-1；j=0,1,…,n-1,都有gi(βj)≠0，則A的逆可表示為：

證明A為(m,n)型二重(r1,r2)左循環(huán)矩陣，若r1≠0，r2≠0，且對于i=0,1,…，m-1；j=0,1,…,n-1,gi(βj)≠0，則Λj的模也不為0，A非退化，故可逆.通過定理1對A的分解可得:

此時Bh可用Dv表示：

3 數(shù)值算例

解Y為(2,2)型二重(3,2)左循環(huán)矩陣，行列式為4，故可逆，且有:

計算得:D(0,0)=-4，D(0,1)=4，D(1,0)=2，D(1,1)=-2.

因此

從而有:

4 結 論

本文通過合同變換，將(m,n)型二重(r1,r2)左循環(huán)矩陣變換為對角矩陣，從而簡化了逆的計算難度和復雜程度.本文根據(jù)循環(huán)矩陣乘以反單位矩陣得到左循環(huán)矩陣的結構特點，并將此類分塊循環(huán)矩陣分解為反單位矩陣、對角矩陣、Vandermonde矩陣等結構較簡單的矩陣的乘積，給出該矩陣的行列式計算公式和逆矩陣的計算方法，同時給出數(shù)值算例驗證了結論的正確性.