生長數(shù)學(xué)視角下的課堂教學(xué)

趙靜

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);課堂教學(xué);核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B? ? 文章編號：1009-010X（2020）14-0051-03

數(shù)學(xué)的生長必須基于人的發(fā)展、生命的成長，才能凸顯其真正的價值，學(xué)校教育也應(yīng)該從生長的視角把學(xué)生作為一個完整的人、發(fā)展中的人來教育。筆者以冀教版教材“圓心角與圓周角”第二課時為例，對生長數(shù)學(xué)視角下課堂教學(xué)進行探討。

一、教學(xué)過程

1.以舊帶新，引入思考

探究一：圓周角的概念

師：同學(xué)們我們上節(jié)課學(xué)習(xí)了圓心角的有關(guān)知識，現(xiàn)在請同學(xué)們在練習(xí)本上畫一個圓心角，并說一說圓心角的概念和特征。

師：試著畫一畫如果僅改變圓心角的頂點位置，可以畫出多少個角？

生：無數(shù)個。

追問1：那我們怎樣來研究這無數(shù)個角呢？

生：要對無數(shù)個角進行分類研究。

追問2：很聰明！那依據(jù)什么來進行分類呢？分成幾類？

生：根據(jù)頂點和圓的位置分類，可以分成三類。

追問3：研究數(shù)學(xué)對象我們經(jīng)常采用從特殊到一般的方法，那么我們先研究哪一類角呢？

生：先研究頂點在圓上的角，這類角比較特殊，因為頂點的運動軌跡是確定的。

追問4：那么你能類比圓心角概括這類角的概念和特征嗎？并給這類角起個名字。

同桌之間交流并請代表回答。

師：同學(xué)們已經(jīng)掌握了圓周角的概念，類比我們之前學(xué)習(xí)幾何圖形的過程，想一想我們接下來還要研究圓周角的什么呢？

生：還要研究判定、性質(zhì)和應(yīng)用。

師：很好！那怎樣來判定是不是圓周角呢？

生：定義法。

辨一辨：判斷下列圖形是否為圓周角，并說明理由。

【設(shè)計意圖】在復(fù)習(xí)圓心角的基礎(chǔ)上又為類比出圓周角的特征打下良好的基礎(chǔ)，讓學(xué)生通過觀察類比思考合作交流探究圓周角的特征。通過練習(xí)加深學(xué)生對圓周角定義理解。

2.合作交流，探求新知

接著我們來研究圓周角的性質(zhì)

探究二：同弧所對的圓周角與它所對的圓心角的大小關(guān)系

師：試著畫一畫同一段弧所對的圓心角和圓周角，可以畫幾個圓心角，幾個圓周角呢？

生：可以畫一個圓心角和無數(shù)個圓周角。

追問1：同弧所對的圓周角和圓心角之間有沒有關(guān)系？又怎樣來研究呢？

生：類比剛才研究圓周角概念的過程，我們可以將圓周角進行分類研究。

生：依照我們學(xué)習(xí)幾何的經(jīng)驗，同弧影響著角的特殊位置，我們也猜測存在著特殊的數(shù)量關(guān)系。

生：我們之前學(xué)習(xí)幾何時，經(jīng)常先用工具測量一下，先猜想再證明。

量一量：同桌合作，量角器度量圓周角和圓心角，并記錄下數(shù)據(jù)。

猜一猜：你得出了什么猜想？

師：同學(xué)們通過測量得到的數(shù)據(jù)可能存在誤差，老師用幾何畫板演示一下，注意觀察圓周角和圓心角的大小關(guān)系。

得出猜想的結(jié)論后，我們必須要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C。我們沒有辦法一一證明無數(shù)個圓周角和一個圓心角，按照剛才同學(xué)們的研究思路，我們要先分類，依據(jù)是什么呢？

分一分：教師利用幾何畫板動態(tài)演示讓學(xué)生感知圓周角的頂點在圓周上運動時，圓心與圓周角不同的位置關(guān)系，啟迪學(xué)生對三種位置關(guān)系認(rèn)識。

師：我們分成了三類，那么先研究哪一類呢？

生：從特殊到一般，先研究有直徑的那種情況。

證一證：引導(dǎo)學(xué)生分析特殊情況時推理思路，并板書推理過程。

師：我們在遇到未知的問題時常常要轉(zhuǎn)化為已知。那么其他兩種情況怎樣來證明呢？

學(xué)生充分思考后開展小組討論探究二、三兩種情況，教師巡視點撥，最后歸納板演圓周角定理。

說一說：用數(shù)學(xué)語言來總結(jié)得出的結(jié)論。

幾何語言：

∵∠BAC和∠BOC是同弧所對的圓周角和圓心角

∴∠BAC=∠BOC

【設(shè)計意圖】在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的基礎(chǔ)上，使學(xué)生體會從特殊到一般的解決問題的方法，滲透化歸思想，從而也培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和創(chuàng)造性解決問題的能力。

隨堂練習(xí)：基礎(chǔ)題：求圓周角X的度數(shù)

當(dāng)∠BOC=a°時，X=? ? ? ? ?;

當(dāng)∠BOC=70°時，X=? ? ? ? ?;

當(dāng)∠BOC=120°時，X=? ? ? ? ?;

當(dāng)∠BOC=180°時，X=? ? ? ? ?;

追問：直徑所對的圓周角是90°嗎？請說明理由。

追問：反過來成立嗎？90°的圓周角所對的弦是直徑嗎？請說明理由。

從而得到圓周角性質(zhì)定理的推論1。

【設(shè)計意圖】整個探究活動是為了讓學(xué)生動眼、動手、動腦、動口積極參與學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生深切感受到合情推理與演繹推理在探索問題時所發(fā)揮的重要作用，注重引導(dǎo)學(xué)生形象思維向理性思維的過渡，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力。

3.運用新知，解決問題

鞏固題：如圖1，AB是⊙O的直徑，∠A=10°，則∠ABC=________.

提高題：如圖2，AB是⊙O的直徑，⊙O外一點C，連接BC、AC， BC交⊙O于點D，且DC=BD，則△ABC是_____________三角形.

【設(shè)計意圖】根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進地設(shè)計有目的、有坡度、有層次的練習(xí)題。拓展了學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，真正提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

4.歸納小結(jié)，反思提高

引導(dǎo)學(xué)生從知識、思想方法、如何添加輔助線、疑惑和評價等方面進行小結(jié)，并利用思維導(dǎo)圖，建構(gòu)有關(guān)圓的知識體系。

【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生總結(jié)出自己的收獲，理清思路、整理經(jīng)驗，從而形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時也提出自己的疑問和困惑便于教師及時反饋。

二、基于課例的教學(xué)評析與思考

（一）抓住生長點，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

如果將本節(jié)課探究活動放在本節(jié)課中看其生長點：課堂中設(shè)置兩個探究活動，探究一是圓周角概念，探究二是圓周角定理。課堂預(yù)設(shè)中我分析學(xué)生，在尋找證明思路上會出現(xiàn)這樣的問題：1.不知分類畫圖2.不曉由特殊入手3.不懂做輔助線，所以探究一中概念的引入并沒有創(chuàng)設(shè)常見的足球射門的情境來引出圓周角，而是在學(xué)生已有的經(jīng)驗上，利用概念同化的方式來學(xué)習(xí)新概念，并且在學(xué)生的頭腦中種下了類比、分類、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想種子。這樣探究一的活動就為學(xué)生積累了探究二的活動經(jīng)驗，第二個探究活動是第一個探究活動中數(shù)學(xué)思想、探究方法的傳承和延續(xù)。當(dāng)學(xué)生知道從特殊到一般是研究問題的方法時，解決第一種類型的證明后，自然能想到轉(zhuǎn)化，得到輔助線。探究二使學(xué)生頭腦中的種子醒過來，讓它生根、發(fā)芽、生長，在學(xué)生思維生長過程中有效突破了本節(jié)課的重點和難點。

如果將本節(jié)課探究活動放在整個初中數(shù)學(xué)中看其生長點：本節(jié)課屬于原理性命題課，探究的基本思路是確定研究對象——下定義——合情推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)—演繹推理證明性質(zhì)——研究特例得到圓周角定理的推論。這種研究思路學(xué)生并不陌生。例如：學(xué)習(xí)等腰三角形時，先下定義——發(fā)現(xiàn)性質(zhì)——證明性質(zhì)——研究判定——到研究特殊性得到等邊三角形;研究平行四邊形時同樣是這樣的探究思路，先學(xué)習(xí)平行四邊形的定義——利用測量或中心對稱發(fā)現(xiàn)性質(zhì)——證明性質(zhì)——將平行四邊形特殊化又得到了矩形、菱形、正方形，這是從三角形到四邊形再到圓的和諧擴展，是探究方法的再生長。

（二）引導(dǎo)自主探究，內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)的提出對課堂教學(xué)提出了更高的要求。本節(jié)課在探究中通過動手畫圖、操作、觀察、小組討論、合作交流、動畫演示等活動，讓學(xué)生參與完整的知識形成過程，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng)。從合情推理到演繹推理，體會證明的必要性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f理意識，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過探究得到了圓周角及定理的幾何模型，又利用該模型去解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。生長數(shù)學(xué)視角下課堂教學(xué)，應(yīng)在關(guān)注知識生長、生命成長的活動過程中，內(nèi)化知識技能，積累活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）融入信息技術(shù)，助力活力生長

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂的深度融合，為“教”與“學(xué)”帶來了全新的方式。本節(jié)課中幾何畫板的應(yīng)用，彌補了傳統(tǒng)教學(xué)的不足，激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。本節(jié)課共三次應(yīng)用了幾何畫板：移動頂點，構(gòu)建概念階段;操作觀察，引發(fā)猜想階段;分類說理，證明猜想階段。動靜結(jié)合地講解為幾何教學(xué)注入了活力。