追本溯源：找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系的落腳點(diǎn)

陳文

摘要：筆者在對本校師生的測試和訪談中獲知，學(xué)生對“植樹問題”的解答基本停留在一知半解、應(yīng)用公式的淺層理解上?；谝陨蠁栴}，筆者在學(xué)習(xí)新課標(biāo)、教參以及大量參考文獻(xiàn)后，首先對植樹問題的教學(xué)誤區(qū)進(jìn)行了調(diào)查歸因，然后針對誤區(qū)改進(jìn)學(xué)習(xí)材料，形成“情境比較——自主畫圖——感知‘L型——理解‘L型——應(yīng)用‘L型一教學(xué)流程。利用“L型”畫圖突出植樹問題中“點(diǎn)段對應(yīng)”的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模，取得了較好的效果，具有一定的推廣價值。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);植樹問題;模型構(gòu)建

植樹問題研究的是“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是點(diǎn)與段的對應(yīng)問題。點(diǎn)段模型就是把“植樹問題”根據(jù)“樹”與“間隔”所呈現(xiàn)出來的內(nèi)在規(guī)律，簡化后得到一個抽象結(jié)構(gòu)——點(diǎn)與段的一一對應(yīng)關(guān)系。因此，筆者才會想到用“L型畫圖”幫助學(xué)生理解點(diǎn)段之間的關(guān)系。

一、情境比較——理清均分，感知對應(yīng)

筆者汲取了斯苗兒老師以及特級教師俞正強(qiáng)、汪培新從除法的本質(zhì)人手探索“植樹問題”的經(jīng)驗(yàn)，在教授“植樹問題”時直接從除法的意義人手，結(jié)合學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，從除法問題引申到植樹問題。

【教學(xué)片段】

出示：20米小路，每5米分一段，共分幾段？

生：20÷5=4（段）。

師：為什么用除法呢？

生：因?yàn)槭恰捌骄?米一段”。

師（引導(dǎo)）：因?yàn)槭且患裁词虑榘。?/p>

師生共答：是一件平均分的事情，所以用除法。

出示：20米路，每5米種一棵樹，可以種幾棵樹？

師：這兩道題目有什么不同嗎？

生：第一題分段，第二題種樹。（答到點(diǎn)子上就行）

師：這道題目你會做嗎？先認(rèn)真思考，然后把想法和同桌說說。

通過“20米，每5米分一段，共分幾段”和“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹”這兩道題的比較分析，一來幫助學(xué)生理解這兩道題都是平均分，二來讓學(xué)生明白兩者的區(qū)別在于平均分是一段一段地分，而植樹問題是需要解決的新內(nèi)容，進(jìn)而讓學(xué)生認(rèn)識到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸。

二、自主畫圖——理清位置，思辨點(diǎn)段

通過上面的平均分引導(dǎo)，繼而讓學(xué)生畫圖尋找植樹的位置，對于一部分學(xué)生出現(xiàn)植樹植在段上的問題，我們將適時引導(dǎo)學(xué)生走上“正途”。

【教學(xué)片段】

師：你能把你的想法擺出來嗎？

預(yù)設(shè)1： （ ）;預(yù)設(shè)2：（ ）（我們可以給它取個名）;預(yù)設(shè)3： （ ）（我們可以給它取個名）;預(yù)設(shè)4：（ ）（我們可以給它取個名）;預(yù)設(shè)5： （ ） （我們可以給它取個名）。

如出現(xiàn)預(yù)設(shè)1，這種情況是對的，但由于這種情況還有很多，所以這里不一一列舉，可以把這幾棵樹移到旁邊，也就是像后面這兩種情況。

出現(xiàn)預(yù)設(shè)2、3、4、5，你能給它取個名嗎？（適時講解植樹問題三種情況的命名。）從而總結(jié)出植樹問題的三種情況：只種一端、兩端都種和兩端都不種。

對于預(yù)設(shè)2：我們先來看這種情況，你能列出算式嗎？

生：20÷5=4（棵）

創(chuàng)設(shè)情境時，要用最短的時間把學(xué)生的興趣聚焦到要解決的問題上。因此，筆者認(rèn)為應(yīng)重在讓學(xué)生理解植樹的位置和初步概括植樹問題的三種情況。通過第一次猜測錯誤，引導(dǎo)學(xué)生理解植樹問題的“樹”應(yīng)“植”在點(diǎn)上;通過第二次驗(yàn)證的正確和后續(xù)猜測，引導(dǎo)學(xué)生初步建立植樹問題三種情況的表征，進(jìn)入“思辨”狀態(tài)。

三、感知“L型”——理清點(diǎn)段，完善對應(yīng)

一線教師都認(rèn)同“植樹問題”的實(shí)質(zhì)是“一一對應(yīng)”，但這種認(rèn)同更多地停留在較模糊、“貼標(biāo)簽”的層面，只能用抽象、形式化的語言描述，很難通過形象直觀的方法進(jìn)一步解釋。筆者為了突破難點(diǎn)，在教學(xué)中借助“L型”畫圖，強(qiáng)化點(diǎn)段一一對應(yīng)，創(chuàng)建了直觀的只種一端的“L型模型”——“正L”與“反L”。如下圖：

只種一端：

當(dāng)剛好4個L型時就是只種一端的情況，棵樹=L個數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生用畫L型圖來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的給線段分段。

【教學(xué)片段】

師：上面算出來的是4段，這里為什么變成4棵了呢？和你的同桌說一說為什么。

生：單位變了。

師：單位為什么會變了呢？（生思考，并回答。）

師總結(jié)：剛才我們都發(fā)現(xiàn)單位變了一段路種一棵樹，路平均分成了4段，樹也就有4棵了，換句話說，平均分成幾段，樹就有幾棵。

師：其實(shí)一棵樹和一段路剛好是一個整體，我們可以把一棵樹看作一豎，一段路看成一橫，這一豎一橫就組成了英文字母中的L，所以這里有4個L。那么誰來找找（預(yù)設(shè)3）這里的L呢？（生上臺演示。）

師：是的，我們可以通過畫L的方法來理清植樹問題的棵數(shù)，同學(xué)們跟著我畫一畫只種一端的情況。（師黑板演示，生畫在草稿本上）

由“單位為什么會變”讓學(xué)生感知單位變化下隱藏的深意。單位變了，意味著所解決的問題變了，由解決段數(shù)問題轉(zhuǎn)變成解決棵數(shù)問題。只種一端的情形剛好是棵數(shù)與段數(shù)相等的模型，所以筆者采用了這個模型先讓學(xué)生進(jìn)行段數(shù)和棵數(shù)的一一對應(yīng)，從而引申出利用“L型”畫圖來理解一一對應(yīng)。通過說一說、畫一畫等活動，直觀地讓學(xué)生理解一一對應(yīng)的思想。

四、理解“L型”——逐步建模，深化對應(yīng)

（一）基于“L型”——初次建模，減輕記憶負(fù)擔(dān)

在學(xué)生牢固掌握只種一端的“L型”模型后，再讓他們在兩端都種和兩端都不種的情形中找“L”。當(dāng)4個L表示完后，還有1豎（如下圖1），表示比L的個數(shù)多1棵樹，棵數(shù)=L個數(shù)+1;當(dāng)4個L少1豎時（如下圖2），就表示比L的個數(shù)少1棵樹，棵數(shù)=L個數(shù)-1。用課件動態(tài)演示加1減1的過程，使學(xué)生在經(jīng)歷畫圖的過程中加深印象。

【教學(xué)片段】

師：已經(jīng)會畫只種一端的情況了，那么其他兩種情況該怎么畫呢？（生草稿紙作畫，師巡查，并挑選個別實(shí)物投影。）

師：那么兩端都種的情況用算式怎么表示呢？

生：20÷5+1=5（棵），加了頭上或者尾上那一棵。

師：兩端都不種的情況，用算式怎么表示呢？

生：20÷5-1=3（棵），減去頭上或者尾上的那一棵。

由只種一端的“L型”模型，深化到其他兩種情形，只要在前面的基礎(chǔ)上增加或者減少其中一棵，讓學(xué)生感知“中間部分”的“L”仍一一對應(yīng)，只要關(guān)注旁邊的情況即可。這樣的教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生從直觀的線段圖中理解對應(yīng)思想，從而總結(jié)出植樹問題的公式，大大減輕了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。

（二）基于“L型”——再次建模，關(guān)聯(lián)圖式結(jié)合

通過讓學(xué)生再次分段，深化一一對應(yīng)思想的同時，建立植樹問題的三種模型，從數(shù)形結(jié)合的直觀理解到概括情形的虛擬模型，再次加深學(xué)生的認(rèn)知，拓展學(xué)生的思維。

【教學(xué)片段】

課件出示

師：這里有一幅圖，但是不知道這里種了幾棵樹，你能告訴我嗎？

生：因?yàn)橹环N一端，15個L就有15棵樹。

師：如果現(xiàn)在題目改為這條路有100米，每5米種一棵樹，可以種幾棵樹？你會怎么解答？（可采用任何方法）

師：仔細(xì)看看，同學(xué)們這里都計(jì)算了一個東西，這一個算出來的是什么？

生：段數(shù)。

師：也就是說在分段以后再考慮是植樹問題的那種情況，是這樣嗎？

生：是的。

師：仔細(xì)觀察，種的棵數(shù)和段數(shù)有什么關(guān)系？

得出結(jié)論，教師總結(jié)：只種一端：棵數(shù)=段數(shù);兩端都種：棵數(shù)=段數(shù)+1;兩端都不種：棵數(shù)=段數(shù)-1。

學(xué)生通過認(rèn)知，在數(shù)字很大的情況下，我們不可能再通過畫圖來解決，但是可以通過“L型”畫圖為載體，滲透以小見大的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)長100米的小路，每5米種一棵樹時，可以種幾棵樹？至此考查學(xué)生是否能清晰認(rèn)識點(diǎn)段對應(yīng)。通過“L型”畫圖，讓植樹問題真正在學(xué)生腦海中構(gòu)建模型。

五、應(yīng)用“L型”——活用模型，聯(lián)接變式

練習(xí)設(shè)計(jì)應(yīng)該體現(xiàn)一定的層次性和靈活性，目的之一是夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)性知識和基本技能;另一方面讓學(xué)生的思維走向深刻，著眼后續(xù)發(fā)展。

【教學(xué)片段】

1.在一條長300米的公路一側(cè)從頭到尾每隔6米栽1棵樹，共分（ ）段。需要（ ）棵樹苗。栽樹的棵數(shù)比段數(shù)（ ）。

2.一條馬路長45米，現(xiàn)在要在這條馬路的兩邊每隔5米栽一棵梧桐樹，兩端都不栽，一共要栽（ ）棵梧桐樹？（觀察點(diǎn)7） A.9 B.8 C.16 D.10

為了檢測學(xué)生掌握情況，筆者設(shè)計(jì)了兩個練習(xí)。第二個練習(xí)，在兩邊都種的情況下，讓學(xué)生思考“兩邊”是否兩邊都畫“L型”。對于“兩邊”這樣高頻率出錯的詞，讓學(xué)生明白可以通過圈一圈的方式，提醒自己要注意。

這種層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)方式，不僅促進(jìn)了學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)的了解，培養(yǎng)了學(xué)生的推理和抽象思維能力，還幫助學(xué)生積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了真正意義上的有效學(xué)習(xí)，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展提供內(nèi)生力。

參考文獻(xiàn)

[1]章宏俊.從“段數(shù)”入手探究植樹問題[J]教學(xué)月刊.小學(xué)版，2013（21）.

[2]程月明.植樹問題教材解讀[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013 （18）.