非周期系統(tǒng)的局域化現(xiàn)象研究

李宗威，紀(jì)剛，周其斗

海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院，湖北武漢430033

0 引 言

傳統(tǒng)的潛艇耐壓殼結(jié)構(gòu)采取等間距肋骨的布置形式，亦稱周期結(jié)構(gòu)。周期結(jié)構(gòu)在不同的頻段內(nèi)具有不同的振動特性，例如：在某些頻段內(nèi)，振動傳遞不隨傳播距離的增加而衰減，這些頻段則被稱為通頻帶；在另一些頻段，振動傳遞隨著傳播距離的增加而呈指數(shù)衰減，此時，振動能量被局限于振源附近，即振動被“局域化”，而發(fā)生振動局域化的頻段被稱為止頻帶。研究表明，周期結(jié)構(gòu)的通頻帶與止頻帶是交替出現(xiàn)的［1］。與周期結(jié)構(gòu)不同，非周期結(jié)構(gòu)的振動在所有頻段都表現(xiàn)為局域化特征。也就是說，不存在通頻帶，在所有頻帶內(nèi)，振動傳遞都隨傳播距離的增加而衰減。非周期結(jié)構(gòu)的局域化效應(yīng)與波在非周期結(jié)構(gòu)中的散射相關(guān)，而與結(jié)構(gòu)中的能量耗散無關(guān)。在國外，Anderson［2］在研究電子傳播規(guī)律時首次發(fā)現(xiàn)了局域化效應(yīng)，但研究僅限于電子傳播的層面而并未擴展到結(jié)構(gòu)層面。Hodges 等［3］首先運用類比的方法發(fā)現(xiàn)了在結(jié)構(gòu)動力學(xué)領(lǐng)域中也存在局域化效應(yīng)；Pierre 等［4］通過實驗證明了在無序剛性簡支梁中存在局域化效應(yīng)；Bouzit 和Pierre［5］通過實驗對周期和非周期簡支支撐梁結(jié)構(gòu)的振動特性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)非周期結(jié)構(gòu)中振動傳遞與激勵源的距離越遠(yuǎn)，衰減程度越大。Photiadis 等［6］對有限長的不等間距加肋圓柱殼進(jìn)行了局域化研究，將對稱圓柱殼簡化為一維問題，然后應(yīng)用單頻帶近似的方法將一維周期結(jié)構(gòu)近似為固有頻率不同的振子系統(tǒng)進(jìn)行研究。在國內(nèi)，劉文璽和譚路等［7-8］通過具體實例，研究了結(jié)構(gòu)不等間距布置對圓柱殼振動特性與聲學(xué)性能的影響，研究表明，不等間距布置具有一定的減振作用。

雖然上述學(xué)者的研究都發(fā)現(xiàn)了非周期結(jié)構(gòu)中存在局域化效應(yīng)，但均是對有限長的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，既未擴展到無限長的結(jié)構(gòu)，也未對局域化效應(yīng)進(jìn)行定量分析計算。對于局域化效應(yīng)，在數(shù)值上可以使用局域化因子來表征。Furstenberg［9］提出了隨機矩陣乘積的極限定理，并指出無序結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài)可以通過隨機傳遞矩陣來建立聯(lián)系，此定理對于在一維系統(tǒng)中定量計算局域化因子有著重要意義。

本文將從波傳遞的角度，從數(shù)學(xué)上分析周期結(jié)構(gòu)通頻帶和止頻帶的產(chǎn)生原理，基于Furstenberg 定理解釋非周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生局域化的原因，并給出非周期結(jié)構(gòu)局域化因子的計算方法。

具體而言，針對無限長的彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)進(jìn)行波傳遞分析，導(dǎo)出相應(yīng)周期系統(tǒng)的通、止頻帶和非周期系統(tǒng)的局域化因子數(shù)學(xué)表達(dá)式。為定量研究局域化因子隨頻率的變化規(guī)律，針對質(zhì)量無序的彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)給出局域化因子隨頻率的變化曲線，分析局域化因子隨頻率的變化規(guī)律，并對所得相關(guān)結(jié)論的正確性及本質(zhì)含義通過數(shù)值模擬的方法予以驗證和說明。

1 一維周期結(jié)構(gòu)中的波傳遞特性分析

現(xiàn)將一維單耦合周期結(jié)構(gòu)抽象為如圖1 所示的周期系統(tǒng)。對于第j號單元的狀態(tài)，需用2 個參數(shù)來表征，以構(gòu)造第j號單元右端點的狀態(tài)量，并以列向量的形式表示為xj=[uj vj]T，其中x為該單元的狀態(tài)向量，u和v分別為該單元的位移和力。

圖1 單耦合周期系統(tǒng)及單元Fig.1 Mono-coupled periodic system and one element

周期系統(tǒng)具有傳遞特性，其傳遞規(guī)律可以通過矩陣描述。例如，第j號單元的狀態(tài)可視為由第j-1 號單元的狀態(tài)傳遞而來，故xj與xj-1的關(guān)系可表示為

式中，T為狀態(tài)傳遞矩陣，其與頻率ω相關(guān)，即

T( )

ω是頻率的函數(shù)矩陣，表征了周期系統(tǒng)端點狀態(tài)的傳遞關(guān)系，并由具體周期結(jié)構(gòu)的力學(xué)關(guān)系來決定。

為能使用Furstenberg 定理，在利用力學(xué)關(guān)系建立式（1）時，xj需經(jīng)合理構(gòu)造，以使T矩陣行列式為單位1 的矩陣，即 ||T=1。

式（1）以遞歸形式給出了離散周期系統(tǒng)的波動方程，各單元具體狀態(tài)應(yīng)結(jié)合邊界條件給出。

Fahy 等［10］對一維有界媒質(zhì)中的強迫振動分析表明，有界媒質(zhì)的振動響應(yīng)可視為由擾動源發(fā)出的左、右傳播波及其在邊界多次反射波疊加的結(jié)果。因此，有界媒質(zhì)在遠(yuǎn)離擾動源處的響應(yīng)衰減特征被歸結(jié)為無界媒質(zhì)中自由行進(jìn)波的衰減特征。為此，需要針對式（1）進(jìn)行波動分析。

因 ||T=1，故其可分解為

圖6 所示為采用1%無因次質(zhì)量離散度生成隨機質(zhì)量鏈的波形，其中無因次頻率ωˉ=1，其處于周期彈簧質(zhì)量鏈的通頻帶?？梢?，由于質(zhì)量隨機分布，導(dǎo)致系統(tǒng)成為了非周期系統(tǒng)，即使在通頻帶，仍導(dǎo)致了入射波不能無損的自由傳播。

圖5 周期彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)在選定頻率下的波形Fig.5 Traveling and attenuated wave shapes at selected frequencies for an ordered mass-spring chain system

圖6 隨機質(zhì)量鏈的波形Fig.6 Waveform of random mass-spring chain

對于特定的非周期系統(tǒng)實例，利用HN的結(jié)果還可以給出局域化因子γN。為計算單元數(shù)趨于無窮的局域化因子γ，可采用如下2 種方法：

1）通過增加單元數(shù)量給出γN隨N的逼近規(guī)律，從而給出單元數(shù)趨于無窮的局域化因子γ。

2）基于蒙特卡羅方法，首先采用大量的隨機波傳遞矩陣進(jìn)行乘積計算出γN，然后再由每次模擬的獲得平均值，即利用式（15）計算局域化因子γ。

圖7 所示為無因次質(zhì)量離散度為1%和ωˉ=1時多組彈簧質(zhì)量鏈實例的γN隨N的變化規(guī)律。由圖可見，在給定的N時，該多組彈簧質(zhì)量鏈實例的γN可能各不相同，特別是在N偏小時，γN的偏離程度很大，不過隨著N的增加，γN偏離某個值的概率會逐漸降低，并逐漸向某個極限逼近，即“以概率1 收斂”。為了對比，圖7 還給出了采用蒙特卡羅方法取平均（式（15））和理論公式（22）算出的γ值，由圖可看出，這些值具有一致性。

圖7 局域化因子在不同計算方法下的值Fig.7 The values of localizing factors under different calculation methods

圖8 局域化因子γ 在離散度不同時的理論與模擬結(jié)果Fig.8 Theoretical and simulation results of localizing factor ondifferent degrees of dispersion

5 結(jié) 論

本文采用理論分析、模型實例和數(shù)值仿真的方法，研究了非周期結(jié)構(gòu)的局域化效應(yīng)，得到如下主要結(jié)論：

1）當(dāng)周期結(jié)構(gòu)通過參數(shù)的隨機擾動成為非周期系統(tǒng)后，即使在通頻帶，入射波也會衰減傳播，即產(chǎn)生了局域化效應(yīng)。局域化效應(yīng)帶來的衰減效果可采用局域化因子來表征，具體計算可采取理論和蒙特卡羅模擬方法給出。

2）本文采用彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)實例驗證了不規(guī)則擾動所形成的非周期結(jié)構(gòu)中局域化效應(yīng)的存在性，證實了局域化因子的極限收斂性含義：不同的隨機質(zhì)量鏈模型實例的局域化因子可能會互不相同，具有概率分布特點，但隨著質(zhì)量彈簧數(shù)量的增加，不同隨機質(zhì)量鏈模型實例的局域化因子逐漸向某個極限逼近，即“以概率1 收斂”。

3）利用理論與數(shù)值對比方法，驗證了局域化因子理論計算方法的有效性和適用范圍。

4）針對彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)的分析結(jié)果表明，局域化因子與隨機擾動的方差相關(guān)：方差越大，局域化因子越大；局域化因子與頻率相關(guān)，無因次頻率越接近通-止頻帶交界頻率，局域化因子就越大。該結(jié)論對工程中振動傳遞的控制具有重要意義。若要對周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動傳遞的控制，通過對某個結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行隨機擾動以形成非周期結(jié)構(gòu)是一種有效途徑。具體而言，可以采取增加擾動參數(shù)的隨機擾動方差或者結(jié)合結(jié)構(gòu)設(shè)計方式，使激振源頻率處于通-止頻帶交界頻率等，二者都可以增加局域化因子，從而實現(xiàn)對振動傳遞的有效控制。