讓概念的核心內(nèi)涵在層層對(duì)比中自然呈現(xiàn)

張緬 高叢林

【課前慎思】

“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”是蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第七單元起始課。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)把一個(gè)物體或圖形平均分成若干份，用分?jǐn)?shù)表示這樣的一份或幾份，在生活中也積累了很多平均分一個(gè)物體，用分?jǐn)?shù)表示分的結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容既豐富了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，也是今后進(jìn)一步抽象分?jǐn)?shù)的意義、理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的重要支撐。

“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”對(duì)于三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常抽象。首先，就分?jǐn)?shù)外形來(lái)說(shuō)，本節(jié)課學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)和以前的分?jǐn)?shù)沒(méi)有差別。把一個(gè)桃子平均分成兩份，每份用表示，把一盤桃子平均分成兩份，每份也用表示?？墒撬鼈儗?duì)應(yīng)的數(shù)量卻不同，前者是半個(gè)，后者可以是1個(gè)，可以是2個(gè)、3個(gè)，甚至100個(gè)……這一改變?cè)趯W(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)方面將帶來(lái)思維上的飛躍。以前數(shù)表示的大小是固定的，數(shù)與量的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)，而現(xiàn)在同一個(gè)分?jǐn)?shù)可以對(duì)應(yīng)不同的數(shù)量，不同的分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)量也可能是相同的。這對(duì)學(xué)生認(rèn)知造成很大的沖突。其次，就分?jǐn)?shù)的意義來(lái)說(shuō)，把幾個(gè)物體組成的整體平均分成若干份，用分?jǐn)?shù)表示這樣的一份，僅僅是部分和整體間的關(guān)系，其結(jié)果與一份的實(shí)際數(shù)量在形式上完全不同。比如，把6個(gè)桃子平均分成3份，每份是這盤桃的，這里表示一份和這盤桃子的關(guān)系，這與原有經(jīng)驗(yàn)“每份有2個(gè)桃子”存在很大的認(rèn)知差異。

“難道同一個(gè)分?jǐn)?shù)卻有兩種甚至更多種意義？”“究竟什么是分?jǐn)?shù)？”學(xué)生認(rèn)知上產(chǎn)生很大困惑。面對(duì)這些既有聯(lián)系又有區(qū)別的新舊概念，“比較”是有效的教學(xué)方法。順應(yīng)學(xué)生思維，一次次引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作、觀察、思考，從不同角度、不同層面開(kāi)展對(duì)比和辨析，對(duì)比中，學(xué)生層層突破對(duì)分?jǐn)?shù)原有的單一認(rèn)識(shí)，去偽存真，漸漸逼近分?jǐn)?shù)的本質(zhì);對(duì)比中，學(xué)生悟到分?jǐn)?shù)與具體個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，只和平均分的份數(shù)有關(guān)。不管是一個(gè)物體還是多個(gè)物體，只要把它或它們看作一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是這個(gè)整體的幾分之一。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在層層對(duì)比中自然地浮出水面，學(xué)生的思維在層層對(duì)比中不斷進(jìn)階。

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 在具體情境中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，知道把一些物體看成一個(gè)整體平均分成若干份，每份可以用幾分之一來(lái)表示。

2. 通過(guò)動(dòng)手操作、合作交流、提問(wèn)釋疑、自主探索等學(xué)習(xí)活動(dòng)，經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)“用分?jǐn)?shù)表示一些物體的幾分之一”的知識(shí)獲取過(guò)程，能用自己的語(yǔ)言來(lái)描述分?jǐn)?shù)的含義。

3. 在有趣的情境中參與對(duì)分?jǐn)?shù)的新探索、新發(fā)現(xiàn)、新認(rèn)識(shí)活動(dòng)，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，體會(huì)分?jǐn)?shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。

【教學(xué)過(guò)程】

對(duì)比一：溝通新舊知識(shí)，初步感受一個(gè)整體的幾分之一

師：（播放視頻）夏天到了，尼克又做了許多爪爪冰分給小倉(cāng)鼠們。只剩一個(gè)爪爪冰了，卻有兩只小倉(cāng)鼠等著要。想想怎樣分公平？

生：平均分。

師：你能用一個(gè)分?jǐn)?shù)表示分的結(jié)果嗎？為什么？

生：把一個(gè)爪爪冰平均分成2份，每份是半個(gè)，每份是這個(gè)爪爪冰的。

師：兩只小倉(cāng)鼠各吃了半個(gè)很不過(guò)癮，第二天尼克又準(zhǔn)備了一些爪爪冰，他想平均分給這兩只倉(cāng)鼠。每只小倉(cāng)鼠能分得這盤爪爪冰的幾分之幾呢？

教師課前給學(xué)生每人準(zhǔn)備一個(gè)裝有爪爪冰圖的信封，爪爪冰數(shù)不同。請(qǐng)學(xué)生“分一分”“涂一涂”，表示出每只小倉(cāng)鼠分得這盤爪爪冰的幾分之幾。

展示，請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)把作品貼在黑板上。

生1：我的這盤爪爪冰一共有6個(gè)，把它平均分成2份，每份是3個(gè)，這3個(gè)就是這盤爪爪冰的。

師：這3個(gè)爪爪冰（指涂色部分）就是這盤的，這3個(gè)爪爪冰呢（指沒(méi)涂色部分）？是這盤的幾分之幾？

師：咦，奇怪了，分的是6個(gè)爪爪冰，涂了色的有3個(gè)，怎么會(huì)用表示？

生：我們是把這6個(gè)爪爪冰看作一個(gè)整體（師相機(jī)用紅筆在圖中畫(huà)集合圈）平均分成2份，所以每份就是這盤爪爪冰的。

師：回顧一下，剛剛平均分一個(gè)爪爪冰和現(xiàn)在平均分一盤爪爪冰，兩次分有什么相同和不同？

生：都是平均分成2份，取其中一份。

生：一個(gè)是把一個(gè)爪爪冰平均分2份，一個(gè)是把6個(gè)爪爪冰當(dāng)作一個(gè)整體平均分成2份。

【點(diǎn)評(píng)：從一個(gè)物體的幾分之一到一個(gè)整體的幾分之一，這是分?jǐn)?shù)含義的一次主要拓展。將新舊知識(shí)融合在同一個(gè)有趣的情境中，充分利用“都平均分成兩份”這個(gè)連接點(diǎn)，突出重點(diǎn)，化難為易。把一個(gè)爪爪冰平均分成兩份，每份是個(gè)，是一個(gè)爪爪冰的，這里前一個(gè)是量，后一個(gè)才是一份和整體的關(guān)系，具有分?jǐn)?shù)最本質(zhì)的含義。把6個(gè)爪爪冰平均分成兩份，每份不可能再是個(gè)了，每份的個(gè)數(shù)變了，但每份仍然是一個(gè)整體的，平均分的份數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)的本質(zhì)沒(méi)變。由分一個(gè)爪爪冰到分一盤爪爪冰，抓住了新舊知識(shí)的同化和順應(yīng)，啟發(fā)學(xué)生用原有的經(jīng)驗(yàn)探索新知，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移?！?/p>

對(duì)比二：變化中的不變，再次體驗(yàn)一個(gè)整體的幾分之一

師：再看看其他同學(xué)分的情況。

生1：我的這盤爪爪冰一共有4個(gè)，把它們看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份是2個(gè)，這2個(gè)爪爪冰就是這盤爪爪冰的。

師：為什么這兩個(gè)爪爪冰就是這盤的？

生1：因?yàn)槲野?個(gè)爪爪冰看作一個(gè)整體。

生2：我的這盤爪爪冰一共有8個(gè)，我把它們看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份是4個(gè)，每份就是這盤爪爪冰的。

生3：我的這盤爪爪冰一共有10個(gè)，我把它們看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份是5個(gè)，每份就是這盤爪爪冰的。

生4：我的這盤爪爪冰一共有5個(gè)，我把它們看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份是兩個(gè)半，每份也是這盤爪爪冰的。

師：這位同學(xué)分的結(jié)果很特別，每份出現(xiàn)了半個(gè)的情況，為什么？每份也能用表示嗎？

師：觀察這些分的情況，有什么相同和不同的地方？

生：相同點(diǎn)是都把盤子里所有爪爪冰看成一個(gè)整體;都是平均分成2份;每份都用表示。

生：不同點(diǎn)是總個(gè)數(shù)不同;每份的個(gè)數(shù)也不同。

【點(diǎn)評(píng)：在探索新知的過(guò)程中，教師為學(xué)生提供了多樣的學(xué)材，組織了豐富的活動(dòng)。每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷了從圖到分?jǐn)?shù)，再到根據(jù)分?jǐn)?shù)畫(huà)圖的過(guò)程，從正反兩個(gè)方面理解將一個(gè)整數(shù)平均分成2份都用來(lái)表示。當(dāng)不同的作品展示出來(lái)，學(xué)生通過(guò)觀察比較，發(fā)現(xiàn)盡管每份的爪爪冰數(shù)各不相同，但都是兩份中的一份，都可以用表示。這樣在變化中發(fā)現(xiàn)不變，有利于學(xué)生洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)?！?/p>

對(duì)比三：不變中的變化，歸納概括一個(gè)整體的幾分之一

師：這時(shí)，又來(lái)了一只小倉(cāng)鼠。尼克要想把這6個(gè)爪爪冰平均分給3只小倉(cāng)鼠，每只小倉(cāng)鼠分得這盤爪爪冰的幾分之幾？

（學(xué)生再次“分一分”“涂一涂”，表示出每只小倉(cāng)鼠分得這盤爪爪冰的幾分之幾）

生：我是把這6個(gè)爪爪冰看作一個(gè)整體，平均分成3份，所以每份就是這盤爪爪冰的。

師：我們之前也分了6個(gè)爪爪冰，都是6個(gè)爪爪冰，為什么卻用了不同分?jǐn)?shù)表示？

生：因?yàn)槠骄值姆輸?shù)不同，之前是平均分成2份，每份是這盤爪爪冰的，現(xiàn)在平均分成3份，每份是這盤爪爪冰的。

師：尼克還有一盤爪爪冰，他想再邀請(qǐng)幾個(gè)小倉(cāng)鼠來(lái)品嘗，你要是尼克會(huì)邀請(qǐng)幾只小倉(cāng)鼠呢？看，這盤里有12只爪爪冰，請(qǐng)你幫忙把這些爪爪冰平均分給邀請(qǐng)來(lái)的小倉(cāng)鼠吧。

生：把12個(gè)爪爪冰看作一個(gè)整體，平均分成3份，每份4個(gè)，是這盤爪爪冰的。

生：把12個(gè)爪爪冰看作一個(gè)整體，平均分成4份，每份3個(gè)，是這盤爪爪冰的。

……

師：平均分的都是12個(gè)爪爪冰，為什么表示每份的分?jǐn)?shù)卻不一樣呢？

生：平均分的份數(shù)不同。平均分成幾份，每份就是這個(gè)整體的幾分之一。

師：對(duì)了，剛剛有同學(xué)想要邀請(qǐng)5只、10只倉(cāng)鼠的，你們?cè)趺锤闹饕饬耍?/p>

生：分得不方便。

師：能分嗎？分的結(jié)果怎么表示？

師：是的，平均分成幾份，每份就是幾分之一。只是在實(shí)際分的時(shí)候我們還要考慮數(shù)據(jù)特點(diǎn)，不然尼克分得不方便，倉(cāng)鼠吃得也不過(guò)癮。

師：今天我們又認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，（板書(shū)課題：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)2）這些分?jǐn)?shù)有什么共同之處？

生：都是把一個(gè)整體平均分成幾份，每份是這個(gè)整體的幾分之一。

師：今天學(xué)的分?jǐn)?shù)和之前有什么不同？

【點(diǎn)評(píng)：經(jīng)過(guò)之前的比較和概括，學(xué)生已經(jīng)將關(guān)注點(diǎn)放在了研究部分和整體之間的關(guān)系上，不再受具體個(gè)數(shù)的干擾。先思考同樣6個(gè)爪爪冰，平均分成3份，每份怎么用表示，讓學(xué)生初步感受分?jǐn)?shù)和爪爪冰總數(shù)無(wú)關(guān)，只和平均分的份數(shù)相關(guān)。再出示12個(gè)爪爪冰圖，讓學(xué)生自主操作，變換平均分的份數(shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)整體不變，但平均分的份數(shù)變了，那么表示每份的分?jǐn)?shù)也變了。通過(guò)對(duì)分子分母意義的思考，逐步完善分?jǐn)?shù)意義的建構(gòu)。這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)共融合了四次小對(duì)比，都是分6個(gè)爪爪冰和分12個(gè)爪爪冰所得到不同分?jǐn)?shù)的對(duì)比、今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)之間對(duì)比以及今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)和之前學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)之間的對(duì)比。在一系列對(duì)比下， “把一些物體看作一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一”自然地浮出水面?！?/p>

對(duì)比四：變式練習(xí)，深度理解一個(gè)整體的幾分之一 。

1.分完爪爪冰，尼克又給倉(cāng)鼠們分了水果和積木。你能用分?jǐn)?shù)表示涂色部分嗎？

追問(wèn)：①和②對(duì)比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：每一份都是1個(gè)，但是表示每份的分?jǐn)?shù)卻不一樣。

師：看來(lái)不同分?jǐn)?shù)表示的數(shù)量可以相同。

師：再看①和③，他們都是用表示，為什么一個(gè)涂了1個(gè)，另一個(gè)涂了2個(gè)？

生：因?yàn)榭倲?shù)不同。

師：看來(lái)相同分?jǐn)?shù)表示的數(shù)量可以不同。

師：再比較③和④，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是8個(gè)小正方體看成一個(gè)整體，平均分的份數(shù)不同，每份不同，表示每份的分?jǐn)?shù)也不同。

【點(diǎn)評(píng)：一道習(xí)題組織了三個(gè)層次的對(duì)比：（1）通過(guò)①和②對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每份雖然都是一個(gè)物體但卻用不同分?jǐn)?shù)表示，突出了“不同分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)的物體數(shù)量可能是相同的”。（2）通過(guò)①和③對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是，有的是1個(gè)物體，有的是2個(gè)物體，突出“同一個(gè)分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)的物體數(shù)量也可以是不一樣的”。 （3）再通過(guò)③和④的對(duì)比，同樣是8個(gè)小正方體，每份可以是，也可以是，突出了“平均分成幾份每份就是幾分之一”。三個(gè)角度的對(duì)比，倒逼學(xué)生深度理解幾分之一的本質(zhì)，促使學(xué)生知識(shí)的內(nèi)化，引領(lǐng)學(xué)生思維不斷進(jìn)階?！?/p>

2.分爪爪冰游戲

師：尼克給我們帶來(lái)9個(gè)爪爪冰，我們一起玩?zhèn)€小游戲。誰(shuí)能取走這些爪爪冰的？（拿走3個(gè)）

師：誰(shuí)還能取出剩下爪爪冰的？（拿走2個(gè)）

師：都是，為什么有人取了3個(gè)，有人卻取了2個(gè)呢？

師（指出）：盡管都是，但因?yàn)檎w變了，所以整體的所表示的數(shù)量也就跟著變了。

師：誰(shuí)再來(lái)取走剩下的？（拿走2個(gè)）

師（追問(wèn)）：為什么又拿走了2個(gè)？

師：再取走剩下的？（拿走1個(gè)）再取走呢？（拿走）……

師：像這樣，不停取下去，能取得完嗎？

【點(diǎn)評(píng)：結(jié)尾部分的游戲設(shè)計(jì)是全課的點(diǎn)睛之筆。首先，它依然統(tǒng)一在分爪爪冰的情境中，保持著全課故事的連貫性。其次，它具有很強(qiáng)的操作性，學(xué)生興趣盎然。最重要的是，它是一組綜合性練習(xí)，也體現(xiàn)了3次對(duì)比。取和再取剩下的對(duì)比，突出整體變了，同一個(gè)分?jǐn)?shù)表示的數(shù)量也變了;取和取對(duì)比，突出整體變了，同樣數(shù)量可以用不同分?jǐn)?shù)表示;再取剩下、再取剩下……引發(fā)學(xué)生思考整體可以是多個(gè)物體，也可以是1個(gè)物體，甚至可以不足1個(gè)物體，整體的數(shù)量不重要，只要看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份都是這個(gè)整體的幾分之一。不僅直擊分?jǐn)?shù)本質(zhì)，還滲透無(wú)限思想，意蘊(yùn)深長(zhǎng)?！?/p>