再談數(shù)字信號(hào)處理課程中幾種變換的關(guān)系

劉會(huì)衡，張軍

（湖北文理學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖北 襄陽(yáng) 441053）

數(shù)字信號(hào)處理課程是電子信息類(lèi)和電氣類(lèi)專(zhuān)業(yè)本科生繼信號(hào)與系統(tǒng)課程之后，必須學(xué)習(xí)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程．信號(hào)與系統(tǒng)課程主要講解模擬信號(hào)的基本概念、模擬系統(tǒng)的時(shí)域和變換域分析方法[1-4]．?dāng)?shù)字信號(hào)處理課程主要講解數(shù)字信號(hào)的基本概念、數(shù)字系統(tǒng)的時(shí)域和變換域分析方法，以及濾波器的設(shè)計(jì)方法[5-7]．本課程中涉及幾種重要的變換，包括連續(xù)或離散信號(hào)的傅里葉變換（FT）、連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換（LT）、離散信號(hào)的 Z變換（ZT）、連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（FS）、離散周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（DFS），以及離散信號(hào)的離散傅里葉變換（DFT）[8-9]．學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，往往對(duì)這幾種變換及其關(guān)系混淆不清，導(dǎo)致學(xué)習(xí)和理解起來(lái)非常困難，這也是本課程教學(xué)的難點(diǎn)[10]．本文對(duì)數(shù)字信號(hào)處理課程中的這幾種重要變換進(jìn)行了深入的分析，理清其中的關(guān)系，分析各種變換的本質(zhì)，使復(fù)雜的變換理解起來(lái)更加通俗易懂．

1 4種傅里葉變換

信號(hào)從時(shí)域是否連續(xù)、是否周期，將信號(hào)分成四大類(lèi)：連續(xù)非周期信號(hào)、連續(xù)周期信號(hào)、離散非周期信號(hào)和離散周期信號(hào)．本科生分別在信號(hào)與系統(tǒng)和數(shù)字信號(hào)處理課程中學(xué)習(xí)這些內(nèi)容（部分內(nèi)容在有些教材中也有交叉）．對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在變換域進(jìn)行．對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，時(shí)域分析主要是求解微分方程，變換域分析主要是頻域分析法和S域分析法．對(duì)于離散系統(tǒng)，時(shí)域分析主要是求解差分方程，變換域分析主要是頻域分析法和Z域分析法．無(wú)論是連續(xù)信號(hào)還是離散信號(hào)，最重要的變換就是傅里葉變換，具體見(jiàn)表1．信號(hào)在時(shí)域和頻域的周期性和連續(xù)性是交叉一一對(duì)應(yīng)的．一個(gè)域的周期一定會(huì)造成另一個(gè)域的離散，一個(gè)域的非周期一定會(huì)造成另一個(gè)域的連續(xù)；一個(gè)域的連續(xù)一定會(huì)造成另一個(gè)域的非周期，一個(gè)域的離散一定會(huì)造成另一個(gè)域的周期．

表1 4種傅里葉變換

1.1 連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換（FT）

連續(xù)非周期信號(hào)x（t）若滿足絕對(duì)可積條件

則存在傅立葉變換X(jΩ)，其傅里葉變換

其中：Ω為模擬角頻率，單位rad/s．

以單個(gè)方波脈沖為例，假設(shè)脈寬τ=2，即

則其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換為

方波脈沖的波形和頻譜見(jiàn)圖1．從圖1中可以看出，X(jΩ)為連續(xù)非周期的頻譜．

圖1 矩形脈沖及其頻譜

1.2 連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（FS）

連續(xù)周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積的條件，所以它不存在傅里葉變換，但可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)．以指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為例，周期函數(shù)～x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)為

以周期矩形脈沖為例，假設(shè)周期T=8，脈沖寬度為τ=2

則其對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)為

周期矩形脈沖的波形和FS系數(shù)見(jiàn)圖2．從圖2中可以看出，X(jkΩ)為非周期的離散譜．

圖2 周期矩形脈沖及其傅里葉級(jí)數(shù)

1.3 離散非周期信號(hào)的傅里葉變換（FT）

離散非周期信號(hào)x(n)，若滿足絕對(duì)可和條件

則存在傅里葉變換，其傅里葉變換對(duì)為

其中：ω為數(shù)字頻率，單位rad．

以矩形序列RN(n)為例，假設(shè)N=4，即

其傅里葉變換為

矩形序列的序列圖和頻譜見(jiàn)圖3．從圖3中可以看出，序列的傅里葉變換是周期的，周期是2π．由于X(ejω)的周期性，實(shí)際分析過(guò)程中，只關(guān)注一個(gè)周期[02π]或[-π π]內(nèi)的信號(hào)頻譜．由于信號(hào)頻譜一般都是關(guān)于ω=0對(duì)稱(chēng)的，所以分析信號(hào)往往只需要觀察[0 π]范圍內(nèi)的頻譜特征．

1.4 離散周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）

離散周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可和的條件，所以它不存在傅里葉變換，但可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)．從計(jì)算機(jī)處理信號(hào)的角度來(lái)看，計(jì)算機(jī)只能處理數(shù)字信號(hào)，因此要求信號(hào)在時(shí)域和頻域都是離散的．但是前面3種變換至少在一個(gè)域是連續(xù)的，不適合計(jì)算機(jī)處理，而DFS變換在時(shí)域和頻域都是離散的，因此是最適合計(jì)算機(jī)處理的一種變換方式．周期序列的DFS變換對(duì)為

圖3 矩形序列及其頻譜

以周期矩形序列為例

其中：x(n)=R4(n)；周期N=8；m為正數(shù)．周期矩形序列的序列圖和DFS系數(shù)見(jiàn)圖4．從圖4中可以看出，周期序列的頻譜是離散的、周期的．

圖4 周期序列及其離散傅里葉級(jí)數(shù)

2 各種變換之間的關(guān)系

信號(hào)從時(shí)間上是否連續(xù)可以分為兩大類(lèi)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)，各種變換及其關(guān)系見(jiàn)圖5．

圖5 信號(hào)的各種變換及其關(guān)系

2.1 連續(xù)信號(hào)的FT與LT

對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)x（t），如果x（t）滿足絕對(duì)可積的條件，則存在傅里葉變換，也就是非周期信號(hào)的FT．但是有些信號(hào)即使是非周期的，也可能不滿足絕對(duì)可積的條件，此時(shí)就無(wú)法用傅里葉變換來(lái)分析．但是如果給此信號(hào)乘以一個(gè)指數(shù)形式的衰減因子e-σt（σ為實(shí)常數(shù)），在σ滿足一定的條件下，x(t)e-σt能夠滿足絕對(duì)可積的條件

此時(shí)x(t)e-σt的傅里葉變換為

令復(fù)變量s=σ+jω，則可得到Laplace正變換

從分析可知，σ需要滿足一定的條件x(t)e-σt才絕對(duì)可積，σ滿足的這一條件即Laplace變換的收斂域．對(duì)于 Laplace變換，當(dāng)σ=0時(shí)，s=jω，Laplace變換就成了傅里葉變換，即虛軸上的拉普拉斯變換為傅里葉變換．反之，若σ無(wú)法取到 0值，則傅里葉的信號(hào)變換不存在．由此可見(jiàn)，Laplace變換是傅里葉變換的推廣，但并不是所有函數(shù)的Laplace變換都存在，必須滿足收斂域的要求．

2.2 連續(xù)信號(hào)的FT與FS

對(duì)于連續(xù)周期信號(hào)，可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，但是不存在傅里葉變換．為了將周期信號(hào)和非周期信號(hào)的研究統(tǒng)一起來(lái)，引入了奇異函數(shù)δ(Ω)，從而使周期信號(hào)也可以利用傅里葉變換進(jìn)行分析，即廣義傅里葉變換．由FS知

為了表述方便，這里將基波角頻率表示為Ω0．對(duì)式（17）取傅里葉變換

因此，利用奇異函數(shù)δ(Ω)，周期函數(shù)也可進(jìn)行傅里葉變換，其頻譜同傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)一致，只是用沖激函數(shù)表示頻譜分量而已．

另一方面，從周期函數(shù)的頻譜或者傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)可以看出，周期函數(shù)頻譜可以看作是對(duì)非周期信號(hào)頻譜的頻域抽樣，抽樣間隔為基波角頻率頻域抽樣將造成信號(hào)在時(shí)域周期延拓，延拓周期為T(mén)，故而非周期信號(hào)就變成了周期信號(hào)，這就是周期信號(hào)FS和非周期信號(hào)FT的關(guān)系．

2.3 離散信號(hào)的FT與ZT

Z變換的定義為

其存在的條件是冪級(jí)數(shù)收斂，即

滿足此條件z的取值范圍稱(chēng)為Z變換的收斂域．z為復(fù)平面變量，若將其表示為模和幅角的形式

代入式（19），得到

顯然，如果r=1，則Z變換就等于傅里葉變換，即

r=|z|=1，在z平面上即單位圓．因此，單位圓上的Z變換即傅里葉變換．如果ZT的收斂域不包含單位圓，則FT不存在．由此可見(jiàn)，Z變換是傅里葉變換的推廣，但并不是所有函數(shù)的Z變換都存在，必須滿足收斂域的要求．

2.4 離散信號(hào)的FT與DFS

對(duì)于離散周期信號(hào)，可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，但是傅里葉變換不存在．如果引入了奇異函數(shù)δ(ω)，則可將周期序列和非周期序列分析統(tǒng)一起來(lái)．由DFS可知

對(duì)式（24）取傅里葉變換

另一方面，從周期序列的頻譜或者傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)可以看出，周期序列頻譜可以看作是非周期序列的連續(xù)頻譜在頻域抽樣，每個(gè)周期（2π）內(nèi)抽樣N個(gè)點(diǎn)，抽樣間隔，也即基波角頻率．頻域抽樣將造成信號(hào)在時(shí)域周期延拓，延拓周期為N，則非周期序列就變成了周期序列，這就是周期序列的DFS和非周期序列FT的關(guān)系．

3 連續(xù)信號(hào)的FT和離散信號(hào)的FT

要建立連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系，就需要從模擬信號(hào)的數(shù)字化過(guò)程來(lái)分析．模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)的第一步就是抽樣，假設(shè)每隔T秒抽樣一次，有

當(dāng)t=nT時(shí)，連續(xù)變量t就變成了離散變量n，微分就變成了求和．抽樣信號(hào)x(nT)簡(jiǎn)記為x(n)，并考慮到數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω的關(guān)系ω=ΩT，可得到

式（28）即離散信號(hào)的傅里葉變換DFT．

時(shí)域抽樣會(huì)造成頻域周期延拓．從時(shí)域抽樣定理知道，頻域延拓周期為抽樣角頻率Ωs．因此，從連續(xù)信號(hào)的角度來(lái)看，離散信號(hào)的傅里葉變換是周期的，周期是Ωs．而從離散信號(hào)的角度來(lái)看，其頻譜周期是2π，其實(shí)二者并不矛盾．當(dāng)模擬角頻率為Ωs時(shí)，數(shù)字頻率為

因此，從不同角度來(lái)看離散信號(hào)的周期都是一致的．

4 DFT與DFS，ZT，F(xiàn)T的關(guān)系

4.1 DFT與DFS

DFS并不適合計(jì)算機(jī)處理，雖然DFS在時(shí)域和頻域都是離散的，但都是周期的，計(jì)算機(jī)無(wú)法處理無(wú)窮盡的信號(hào)．從周期序列的基本性質(zhì)知道，每個(gè)周期的信號(hào)都是重復(fù)的，因而可以只分析某個(gè)周期的信號(hào)和頻譜，這就是有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換，即離散傅里葉變換DFT．有限長(zhǎng)序列在時(shí)域可以看作周期序列在主值區(qū)間上的主值序列；類(lèi)似地，其頻譜也可以看作離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)在主值區(qū)間上的主值序列．從而可以得到DFT變換對(duì)

其中：N為序列的長(zhǎng)度，也是DFS的周期．從式（30）可以明顯看出，DFT變換就是DFS的主值序列．

這就是DFT和DFS的關(guān)系．

4.2 DFT與ZT

從式（19）和式（30）對(duì)比可以得到DFT與ZT的關(guān)系

4.3 DFT與FT

從式（9）和式（30）對(duì)比可以得到DFT與FT的關(guān)系

以有限長(zhǎng)序列x(n)=R4(n)為例，其8點(diǎn)的DFT為

16點(diǎn)的DFT為

它們對(duì)應(yīng)的DFT幅頻特性見(jiàn)圖6，其中虛線為x(n)的FT變換．從圖6中可以明顯看出，DFT變換就是對(duì)FT變換在[02π]上等間隔采樣，將連續(xù)頻譜轉(zhuǎn)換為了離散頻譜．

圖6 x（n）的DFT和FT的關(guān)系

5 結(jié)語(yǔ)

從信號(hào)的連續(xù)與離散、周期與非周期，可以將傅里葉變換分為4類(lèi)，即連續(xù)非周期信號(hào)的FT，離散非周期信號(hào)的FT，連續(xù)周期信號(hào)的FS和離散周期信號(hào)的DFS．將連續(xù)非周期信號(hào)的FT推廣就得到拉普拉斯變換，而虛軸上的LT即FT．將離散信號(hào)的FT推廣就得到了Z變換，而單位圓上的ZT即FT．連續(xù)信號(hào)x(t)抽樣后就成了離散信號(hào)x(n)，對(duì)二者分別作傅里葉變換就得到了二者的傅里葉變換（FT）X(jΩ)和X（ejω），時(shí)域抽樣造成頻域周期延拓，所以X（ejω）是X(jΩ)以2π為周期的周期延拓信號(hào)．離散信號(hào)的DFT變換可看作是周期序列傅里葉級(jí)數(shù)主值區(qū)間上的系數(shù)值，而離散序列則可看作是周期序列的主值序列．另一方面，DFT變換是Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔抽樣，也是FT變換在區(qū)間[02π]內(nèi)的N點(diǎn)等間隔抽樣．通過(guò)理清各種變換之間的關(guān)系，學(xué)生可以更好地學(xué)習(xí)和理解數(shù)字信號(hào)處理課程中幾種重要的變換，從而更好地掌握數(shù)字信號(hào)處理的基本理論和基本方法．