數(shù)學(xué)素養(yǎng)：在教學(xué)“等待”中落地

江蘇南京市棲霞區(qū)實驗小學(xué) 張新宇

教師課前的備課設(shè)計往往決定上課的質(zhì)量。筆者作為新教師在備課時，既想讓課堂教學(xué)能上出精彩，又總擔(dān)心學(xué)生是一張白紙，在某些問題中“答不到點子上”。因此，教師在課堂教學(xué)過程中，經(jīng)常會對學(xué)生生拉硬拽，不給學(xué)生充分的時間交流，舍不得將太多的時間留給學(xué)生來表達(dá)，常常將學(xué)生的發(fā)言打斷，把課堂思維向自己的課前預(yù)設(shè)中帶。這就造成了教師一直說個不停，實行“滿堂灌”教學(xué)，導(dǎo)致教學(xué)效果低下，難以完成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。其實，這正是新教師中常見、多發(fā)的心性毛糙、修養(yǎng)缺乏歷練的毛病。

新教師往往比較自我，多把注意力全部集中在如何設(shè)計出精彩的教學(xué)環(huán)節(jié)上，而忽略如何讓學(xué)生學(xué)得出彩。如果換一個角度思考，從學(xué)生視角出發(fā)，課堂中學(xué)生的生成，其實就是最好的教學(xué)資源材料。教師在設(shè)計教學(xué)時，不能僅僅局限于教材、眼睛盯著知識體系，要兼顧學(xué)生，留給學(xué)生充分的交流和表達(dá)的時間，讓學(xué)生在課堂上能夠真正地參與到學(xué)習(xí)中，這樣才能使他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根。筆者在擔(dān)任五年級數(shù)學(xué)教學(xué)的一年里，就多次發(fā)現(xiàn)，其實學(xué)生有時在課堂上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維表現(xiàn)，甚至能夠超出教師的想象，兒童其實是具有無限的發(fā)展?jié)摿Φ摹?/p>

一、抽象思維：對兒童生活經(jīng)驗的深度挖掘

方程是數(shù)學(xué)里的一種重要思想方法，其基礎(chǔ)是用字母表示數(shù)，其實質(zhì)是用一般性代替一個個具體的數(shù)，是思維的假設(shè)和抽象概括。而許多學(xué)生在五年級下冊學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題時，常常不容易適應(yīng)方程思想，他們?nèi)匀痪窒抻趶牡湍昙壱恢毖赜玫牧兴闶接嬎闱蠼Y(jié)果的思維方式，不習(xí)慣將未知數(shù)當(dāng)作與已知數(shù)同樣地參與列式的思考表達(dá)方法。因此，如何培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，讓學(xué)生克服原有列式計算思維方式的約束，順利列出方程，困擾著剛從事五年級數(shù)學(xué)教學(xué)的新教師。

【案例片段1】蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊第78頁的一道思考題：

“買3支圓珠筆和2支鉛筆要8.7元，買2支圓珠筆和3支鉛筆要6.8元，圓珠筆和鉛筆的單價各是多少？”

該題在還沒有學(xué)習(xí)方程時，學(xué)生們能夠解答嗎？他們會怎么解決呢？為了了解學(xué)生對此問題到底能不能解答，又可能采取什么方法解答，筆者決定先找班里幾個思維較為靈活的學(xué)生作為摸底對象，讓他們嘗試思考一番。課間，筆者給他們提出了這道題目。結(jié)果他們不僅解決了這個問題，并且?guī)讉€同學(xué)一起鉆研，竟然呈現(xiàn)出多種的解題方法。有的學(xué)生通過列出表格進行分析，有的畫出線段圖比較數(shù)量關(guān)系，也有的運用已知數(shù)據(jù)帶進去湊算試驗……其中有個學(xué)生很特別，他得意地向大家清晰地解說著他的思路——

“3圓+2鉛=8.7；2圓+3鉛=6.8，將它們合在一起買，就是5圓+5鉛=15.5，那么我們買1圓+1鉛就是3.1元。如果我們買2圓+2鉛就花了6.2元?！惫P者問道：“你求出這個有什么用呢？”“老師你看，題目中買3支圓珠筆和2支鉛筆用了8.7元，比這個多買了一支圓珠筆。多花的8.7-6.2=2.5（元）不就是一支圓珠筆的價錢嗎？同樣的，我們也能根據(jù)第二個條件算出一支鉛筆的價錢是6.8-6.2=0.6（元）?！?/p>

學(xué)生的新穎思路的確十分巧妙難得，其中的思維表現(xiàn)細(xì)細(xì)分析起來有如下的超常之處：一是將圓珠筆和鉛筆分別用“圓”和“鉛”字來簡化代替，以簡練的方法列出兩個含有文字的類似“方程式”；二是解法思考中將題中兩個購買情況合并，從而得到了同樣圓珠筆與鉛筆都是5支的總價為15.5元；三是由此他推導(dǎo)計算得到一支圓珠筆和一支鉛筆是3.1元，進而兩支圓珠筆與兩支鉛筆就是6.2元的結(jié)論；四是用這一結(jié)論與第二種購買情況比較，就推導(dǎo)出一支鉛筆是6角；最后學(xué)生求出了一支圓珠筆是2.5元。思路清晰，過程完整。

對此，筆者不禁陷入了沉思，在筆者思考這道題目的時候，就算不列方程，也會用到等式的性質(zhì)，而沒學(xué)過等式性質(zhì)的學(xué)生，卻能夠聯(lián)系生活情景，做出這樣有序的推理，著實令人贊嘆。這位學(xué)生的思考方法實際上就是解二元一次方程的思想，只是他自己還沒有注意到這一點罷了。之后，也有學(xué)生陸陸續(xù)續(xù)地站起來，向大家說出他們的解題方法，其中不乏通過這樣的方法解題的學(xué)生，竟然能夠運用題中的兩個數(shù)量關(guān)系式相減，用“圓珠筆抵消鉛筆找出它們的單價差為1.9元”為切入點進行解題。更有學(xué)生已經(jīng)接近于找出中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中使用的“消元法”了，只不過學(xué)生暫時不能這么明白地說出這一方法名稱而已。

在該班學(xué)生學(xué)完用字母表示數(shù)第一課時之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生明白，前段時間的思考題，實際上就是用漢字“圓”“鉛”來代替這兩種物品的價格。如果把物體漢字用漢語拼音字母的首字母來表示，可以怎么表示呢？學(xué)生想到了用“Y”和“Q”來列出表示數(shù)量關(guān)系的算式！當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這樣表達(dá)的巧妙后，會為方程的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

二、遷移規(guī)律：抓時機引導(dǎo)類推的巧妙串聯(lián)

小學(xué)階段的簡便計算題，往往是運用四則運算的運算定律來對算式進行轉(zhuǎn)化，使之便于計算。一方面運用運算定律進行簡便計算具有一定的靈活性，對于數(shù)學(xué)能力要求較高，對于學(xué)生來說具有一定的困難。另一方面，運算定律的運用也為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維靈活性提供了極好的機會。以往的簡便計算練習(xí)題的講解，筆者也就是讓學(xué)生說一說運用了哪些運算定律，怎樣轉(zhuǎn)變的，思維要求往往千篇一律。但是在一次課前引入環(huán)節(jié)，筆者出了一道簡便計算題，有一個學(xué)生的解題思路卻深深地吸引了我。

【案例片段2】新授前的引入思考題：簡便計算490÷35。

對于此類題，學(xué)生已經(jīng)不知道做過了多少遍，看見題目迅速動筆計算：490÷35=490÷（7×5）=490÷7÷5=70÷5=14。然后他們自信滿滿地說：“先將35拆成7×5，再去括號，應(yīng)用除法的性質(zhì)這里7和5之間的乘號要改寫成除號！”本以為這題已經(jīng)練習(xí)完畢，可以翻篇進入下一題了。此時，另一個學(xué)生緩緩地舉起了手說：“老師，這題我還有別的方法！”筆者讓她上臺演示了自己的解法。她邊寫邊說：“這里可以用除法中商不變的規(guī)律，將被除數(shù)和除數(shù)同時除以7，也能將算式化簡，從而進行簡便計算！算式是：490÷35=（490÷7）÷（35÷7）=70÷5=14?！边@樣一道“典型的”簡便計算題，也可以運用商不變的規(guī)律，另辟蹊徑來作答。此時學(xué)生能夠跳出思維定式，不拘一格出新意，顯露出不俗的思維表現(xiàn)。

該學(xué)生的另解思維點醒了筆者，同時也在其他學(xué)生的心中留下了深深的烙印。受此啟發(fā)聯(lián)想，在接下來學(xué)習(xí)小數(shù)除法時，不少學(xué)生看到題目就已經(jīng)能聯(lián)想到，可以運用商不變的規(guī)律來進行計算。教師又進一步引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上繼續(xù)類推遷移：一是讓他們編出一些類似于4.8÷1.8的小數(shù)類除法題，嘗試應(yīng)用商不變規(guī)律；二是將被除數(shù)和除數(shù)同時乘一個整數(shù)比如5，使得除法算式變?yōu)檎麛?shù)除法題進行簡便計算，讓學(xué)生完整理解商不變的規(guī)律，在除法計算中實現(xiàn)多層提升。這樣，學(xué)生步步遷移，拾級而上，學(xué)得非常輕松，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就能夠多途徑地應(yīng)用商不變規(guī)律從容應(yīng)對了！

三、幾何直觀：兒童“錯誤”資源的真實捕捉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思想，預(yù)測結(jié)果?！睅缀沃庇^是一種十分重要的數(shù)學(xué)能力，借助于以形示數(shù)的幾何圖示直觀，實現(xiàn)直觀形象思維與抽象邏輯推理思維的結(jié)合，不但能夠促進兒童思維的發(fā)展，還可以幫助學(xué)生更為便捷地解決一些涉及圖形的數(shù)學(xué)問題。

【案例片段3】看圖計算圓外切正方形與內(nèi)接正方形的面積關(guān)系問題。

在蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊《圓》這一單元教學(xué)中，在練習(xí)題中曾經(jīng)出現(xiàn)過這樣一道題目：

如圖1，已知大正方形的面積是40平方厘米，求小正方形的面積。

拿到這個題目，大部分學(xué)生無從下手，有幾個“尖子生”開始動筆了，他們設(shè)大正方形邊長為d,圓的半徑為r,大正方形的邊長就是圓的直徑，那么因為大正方形的面積=邊長×邊長=40，那么可以得出d2=40，實際上就是2r×2r=40，也就是4r2=40，則r2=10。接著，連接對角線（如圖2）之后就會發(fā)現(xiàn)，小正方形面積是由四個小三角形組成的，三角形的面積就是r2÷2，四個就是2r2，那么就能求出小正方形的面積是20平方厘米。

這個時候，班級里傳來一聲：“你圖畫錯了！”筆者循聲看去，原來是我們班的一個小女孩把圖錯畫成了圖3被人提出了糾正意見。“錯畫”圖形的女生堅持說：“那我把這個圓連同里面的小正方形一起轉(zhuǎn)一下不就好了嘛？這樣小正方形的面積不就是大正方形面積的一半嘛？”這個旋轉(zhuǎn)的方法一出，學(xué)生更興奮了。在圖中，添上小正方形的對角線，就清楚地看出，組成小正方形的每一個小三角形，都是組成大正方形的每一個小正方形的一半！借助于旋轉(zhuǎn)45°，運用幾何直觀，使得算式簡單，方法易懂，真是另辟蹊徑，一目了然！

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生并不是知識信息被動的接收者，而是積極主動的構(gòu)建者。每個學(xué)生都是以自己頭腦中已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)，用個人特有的思維方式建構(gòu)對事物的理解、進行檢驗和加以評議批判的。不同的人看到的是事物的不同方面。因此，即使是再好的教學(xué)設(shè)計，也不能保證每個學(xué)生的思維都不會超越教師預(yù)設(shè)的思維軌道。樹立建構(gòu)主義的教學(xué)觀，具備了尊重兒童、相信兒童主體作用的兒童觀，教師在遇上教學(xué)中兒童思維一時卡殼的現(xiàn)象時，應(yīng)耐心等待，給學(xué)生留足思考的時間和機會。

在課堂中，我們不妨放慢腳步，學(xué)會等待。等待不是無為,等待是學(xué)生成長路上的相伴相隨,它是一種寬容；等待是一種睿智,是一種“慢”教育；等待是一種信任,是一種用心贊賞,是一種用愛和學(xué)生的同行。教師站在學(xué)生的角度，重視兒童的奇思妙想，耐心傾聽學(xué)生們的表達(dá)，讓他們真正地成為課堂的主人。通過耐心的課堂等待，興許，精彩就能出現(xiàn)，兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展就會出現(xiàn)飛躍！