淺談高考中的數(shù)列求和問題

王雪

摘 要：數(shù)列在高中數(shù)學(xué)知識體系中的地位極其重要，通過對近幾年的高考試題的整理分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)列求和問題在其中扮演著“樞紐”的作用.因此，本文對常見數(shù)列求和方法進(jìn)行整理、分析，并歸納其適用題目所具備的特征.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);數(shù)列;求和

高考中關(guān)于數(shù)列求和的考查較為常見，題型的主要方向有正向、逆向（由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式或其他量）、數(shù)列求和與函數(shù)（將數(shù)列前n項(xiàng)和看作關(guān)于n的函數(shù)）、不等式綜合應(yīng)用（求取數(shù)列和的最值或證明不等式成立）.

數(shù)列求和的常用方法有公式法求和、倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和、分組轉(zhuǎn)化法求和等.在解題中，學(xué)生常常分不清何時(shí)采用何方法，下面通過幾道典型例題，對幾種方法的適用特征進(jìn)行總結(jié).

1 公式法求和

若一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減運(yùn)算構(gòu)成的數(shù)列，則其可以使用相應(yīng)的等差數(shù)列或等比數(shù)列的公式直接進(jìn)行求和運(yùn)算.

例1 （2016年全國Ⅰ卷文科第17題）已知an的通項(xiàng)公式an=3n-1，數(shù)列bn滿足b1=1，b2=1 3，anbn+1+bn+1=nbn.求bn的前n項(xiàng)和.

分析 此題在判斷出該數(shù)列為等比數(shù)列的基礎(chǔ)上，直接應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算，屬于簡單題.解題的關(guān)鍵在于熟練地掌握及應(yīng)用公式.

解析 因?yàn)閍n=3n-1，所以（3n-1）bn+1+bn+1=nbn.整理，得bn+1=bn 3.

所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為1 3的等比數(shù)列.

設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Sn，則

Sn=1-（1 3）n 1-1 3=3 2-1 2×3n-1.

總結(jié) （1）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=n（a1+an） 2（公式1），Sn=na1+n（n-1） 2d（公式2）在解題時(shí)需要根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式更為簡便：若已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)時(shí)，則選擇公式1;若已知首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)時(shí)，則選擇公式2.

（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

Sn=na1， q=1，a1（1-qn） 1-q=a1-anq 1-q， q≠1.

易錯(cuò)點(diǎn) 在解題時(shí)需要對q的取值進(jìn)行分類討論.

拓展 由奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成的等差或等比數(shù)列以及等差數(shù)列各項(xiàng)的絕對值構(gòu)成的數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)乘（-1）n構(gòu)成的數(shù)列可以適用公式法進(jìn)行數(shù)列求和.

2 倒序相加法求和

若一個(gè)數(shù)列中與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和相等，則可使用倒序相加法來求此類數(shù)列的和.該方法的本質(zhì)思想是消項(xiàng).

例2 已知f（x）=x3 1+x3，求f（1 2020）+f（1 2019）+…+f（1）+f（2）+…+f（2020）的值.

分析 由于該式的第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)互為倒數(shù)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)互為倒數(shù)，依次類推.考慮f（x）+f（1 x）的結(jié)果，f（x）+f（1 x）=x3 1+x3+1 x3 1+1 x3=x3 1+x3+1 x3+1=1.

解析 令所求式子和為S，則S=f（1 2020）+f（1 2019）+…+f（1）+…+f（2020）.①

S=f（2020）+f（2019）+…+f（1）+…+f（1 2020） .②

兩式相加，得2S=1+1+…+14039個(gè)

所以S=4039 2.

總結(jié) 解決此題的關(guān)鍵是通過觀察題目所給的表達(dá)式的形式，發(fā)現(xiàn)問題的答案（f（x）+f（1 x）=1），此類問題的答案往往在問題之中，我們在解答時(shí)要注意從問題入手，之后應(yīng)用倒序相加法求和.應(yīng)用倒序相加法求和的步驟是：

（1）令所求式子和為S，S=a1+a2+a3+…+an;

（2）將S的表達(dá)式等式右端進(jìn)行倒置：S=an+an-1+an-2+…+a1;

（3）將以上兩式相加得2S，進(jìn)而求得S的值.

拓展 由此例題我們發(fā)現(xiàn)，若能在所給要求和的題目中得到某表達(dá)式的和為常數(shù)，例如f（x）+f（-x）=c， f（x）+f（1 x）=c，…此種情況下，我們可以應(yīng)用倒序相加法來解題.

由此可以得出結(jié)論：非等差數(shù)列也可以使用倒序相加法進(jìn)行求和[1].

3 錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和適用于an·bn型數(shù)列，其中an，bn分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列（即cn=（an+b）qn-1（q≠1））.我們首次接觸錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，通過錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，可使數(shù)列求和計(jì)算化繁為簡.

例3 （2016年山東高考理科第18題）已知數(shù)列an=6n+5，bn=3n+1，令cn=（an+1）n+1 （bn+2）n，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.

分析 此題經(jīng)過化簡后發(fā)現(xiàn)是差比型數(shù)列，所以我們可以應(yīng)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和計(jì)算.

解析 由題意，可知cn=（6n+6）n+1 （3n+3）n=3（n+1）·2n+1.

則數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn=c1+c2+…+cn.

所以Tn=3×[2×22+3×23+…+（n+1）×2n+1].①

2Tn=3×[2×23+3×24+…+（n+1）×2n+2].②

①-②，得 -Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-（n+1）×2n+2]

=3×[4+4（1-2n） 1-2-（n+1）×2n+2]=-3n·2n+2.

所以Tn=3n·2n+2.

總結(jié) 應(yīng)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和的步驟是：

（1）寫出Tn=c1+c2+…+cn;

（2）等式兩邊同乘等比數(shù)列的公比q，即qTn=qc1+qc2+…+qcn;

（3）將兩式作差，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，應(yīng)用公式進(jìn)行求和;

（4）兩邊同時(shí)除以1-q，整理得到最后結(jié)果.

易錯(cuò)點(diǎn) 在書寫過程中，為了準(zhǔn)確寫出Tn-qTn的表達(dá)式，提高解題的準(zhǔn)確性，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”.同時(shí)，要對等比數(shù)列的公比進(jìn)行討論，若q=1，則不能應(yīng)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

拓展 學(xué)生在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，最大的困難在于最后結(jié)果的化簡整理.此處將拓展一個(gè)公式幫助學(xué)生進(jìn)行計(jì)算：形如（An+B）·qn-1型數(shù)列求和，其結(jié)果為Sn=（αn+β）·qn-β，

其中α=A q-1，β=B q-1-A （q-1）2.（此公式只是驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的輔助公式，不能寫在答題卡上）

4 裂項(xiàng)相消法求和

形如bn=1 anan+1（an為等差數(shù)列或an=1 n+k+n）型的數(shù)列可使用裂項(xiàng)相消法求和，其基本原理通俗來講是將數(shù)列的某一項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)或多項(xiàng)，在求和時(shí)使前后項(xiàng)能夠相互抵消，達(dá)到消項(xiàng)化簡的目的.

例4 （2017年全國Ⅲ卷文科第17題）若an=2 2n-1，求數(shù)列an 2n+1的前n項(xiàng)和.

分析 解決此題的關(guān)鍵是通過對該數(shù)列的通項(xiàng)公式的觀察發(fā)現(xiàn)其分母可拆分，之后將其裂項(xiàng)相抵消.

解析 設(shè)數(shù)列an 2n+1的前n項(xiàng)和為Sn.

an 2n+1=2 （2n+1）（2n-1）=1 2n-1-1 2n+1.

則Sn=1 1-1 3+1 3-1 5+…+1 2n-1-1 2n+1=1-1 2n+1=2n 2n+1.

總結(jié) 在運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和過程中，要注意以下幾個(gè)問題：

（1）在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要檢驗(yàn)裂項(xiàng)前后等式兩端是否相等，若不相等，可通過添加系數(shù)，使等式的左右兩端保持相等;

（2）在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，前后剩余項(xiàng)數(shù)是具有對稱性的.

拓展 常用的裂項(xiàng)公式：

（1）1 n（n+k）=k（1 n-1 n+k）;

（2）1 （2n-1）（2n+1）=1 2（1 2n-1-1 2n+1）;

（3）1 n（n+1）（n+2）=1 2[1 n（n+1）-1 （n+1）（n+2）];

（4）1 n+n+k=1 k（n+k-n）;

（5）loga（1+1 n）=loga（n+1）-logan.

5 分組轉(zhuǎn)化法求和

此方法是針對一些特殊的數(shù)列，從它們的通項(xiàng)公式上來看，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但是，若將其拆分開來，可分為幾個(gè)等差、等比或常見數(shù)列.因此，對于這樣的數(shù)列在進(jìn)行求和時(shí)，應(yīng)該先將其拆分，之后分別求和，最后將其合并.

例5 （2015年福建高考文科第17題）等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n+2，設(shè)bn=2an-2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值.

分析 解決此題的關(guān)鍵是將該數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行拆分后，發(fā)現(xiàn)其是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，之后分別應(yīng)用各自的求和公式進(jìn)行計(jì)算求和.

解析 由題意，可得bn=2an-2+n=bn=2n+n.

所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+（23+3）+…+（210+10）

=（2+22+23+…+210）+（1+2+3+…+10）=2×（1-210） 1-2+（1+10）×10 2=2103.

總結(jié) 能夠應(yīng)用分組轉(zhuǎn)化求和法進(jìn)行求和的數(shù)列類型[2]：

（1）an=bn±cn，bn，cn為等差或等比數(shù)列;

（2）通項(xiàng)公式為an=bn，n為奇數(shù)，cn，n為偶數(shù)，bn，cn為等差或等比數(shù)列.

6 結(jié)論

高考中對于數(shù)列知識的考查是必考點(diǎn)，近年來數(shù)列在高考中的地位更是突出，數(shù)列求和問題的考查頻率也很高，但是不難.因此，在平時(shí)的教學(xué)中，僅僅給出簡略的說明是不夠的，應(yīng)該讓學(xué)生掌握每種方法適用題目所應(yīng)具有的特征，這樣才能“對癥下藥”，順利解決數(shù)列求和問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]秦秀紅.揭開“倒序相加法”的神秘面紗[J] .中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2008（07）：36-37.

[2]董興勇.高中數(shù)列求和的有效方法初探[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（05）：142-143.

（收稿日期：2020-02-17）